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第1讲 二次函数的定义及三种形式 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解二次函数的概念，能判断一个函数是否为二次函数
· · 掌握二次函数y=ax2的图像与性质
· · 掌握顶点式y=a(x-h)2+k的图像与性质
· · 掌握一般式y=ax2+bx+c的图像与性质
· · 会用配方法在一般式、顶点式、交点式三种形式间互化
知识梳理
☆ 1.二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数叫二次函数
a是二次项系数，a≠0是关键条件
b是一次项系数，c是常数项
右边必须是整式，且x的最高次数为2
概念辨析例题：函数y=(m-2)x|m|+3x-1是二次函数，求m
解析：|m|=2且m-2≠0，故m=-2
☆ 2.二次函数y=ax 的图像与性质
图像是抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴
a>0开口向上，x=0时y最小=0
a<0开口向下，x=0时y最大=0
|a|越大开口越小
概念辨析例题：抛物线y=ax2过点(2,8)，求a
解析：8=a·22=4a，a=2
☆ 3.顶点式y=a(x-h) +k的图像与性质
顶点坐标(h,k)，对称轴直线x=h
a>0开口向上，x=h时y最小=k
a<0开口向下，x=h时y最大=k
左右平移改h（左加右减），上下平移改k（上加下减）
概念辨析例题：y=-(x-1)2+3的顶点坐标和对称轴
解析：h=1,k=3，对称轴x=1
☆ 4.一般式y=ax +bx+c与交点式
对称轴x=-，顶点坐标(-, )
与y轴交点(0,c)；配方法y=a(x+)2+
交点式y=a(x-x1)(x-x2)，x1,x2为抛物线与x轴交点横坐标
已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与x轴交点设交点式
概念辨析例题：y=x2-4x+2配方成顶点式
解析：y=x2-4x+4-4+2=(x-2)2-2
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
二次函数定义 y=ax2+bx+c(a≠0) a≠0
开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|定开口大小
对称轴 x=- 顶点式x=h
顶点坐标 (-, ) 顶点式(h,k)
三种形式 一般式/顶点式/交点式 按已知条件选择设法
与y轴交点 (0,c) c是常数项
配方法 加一次项系数一半的平方 先提二次项系数
核心考点
【考点1】二次函数的定义（第1-4题）
· · 必须是整式
· · 二次项系数a≠0
· · 最高次为2
· · 列方程+不等式联立
1．（2026春 浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C． D．
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合y＝ax2+bx+c（a≠0，整式函数）的特征．
【解答】解：A、不是整式，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y是二次函数，故此选项符合题意；
D、不是整式，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），并能据此判断函数类型．
2．（2024秋 内黄县期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．
C．y＝x2+5 D．y＝2x﹣7
【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可．
【解答】解：当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，则A不符合题意；
y不符合二次函数的定义，则B不符合题意；
y＝x2+5符合二次函数的定义，则C符合题意；
y＝2x﹣7不符合二次函数的定义，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2025秋 香洲区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　 ．
【分析】根据二次函数的定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2026 七星关区校级模拟）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　0　 ．
【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值．
【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
根据二次函数的定义，
得，
解方程k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3．
由k﹣3≠0得k≠3，
因此k＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【考点2】二次函数y=ax 的图像与性质（第5-8题）
· · 顶点原点对称轴y轴
· · a定开口方向
· · |a|定开口大小
· · 增减性看对称轴两侧
5．（2025秋 江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 　　 ．
【分析】根据顶点为（﹣3，2），可设该抛物线的顶点式，即y＝a（x+3）2+2，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，从而可以得到该抛物线的解析式．
【解答】解：∵该抛物线的顶点为（﹣3，2），
∴设此抛物线解析式为y＝a（x+3）2+2，
∵抛物线y＝a（x+3）2+2的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
∴此抛物线解析式为，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
6．（2026 芜湖模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题．
【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a，
消去y得，ax2+a＝0，
∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确；
令ax2+bx＝0，
解得：x1＝0，，
∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意；
A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意；
C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．（2025 浦东新区校级模拟）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝3x2 D．y＝﹣3x2
【分析】根据正比例函数y＝kx，k＜0时，y随x的增大而减小，k＞0时，y随x的增大而增大，二次函数y＝ax2（a≠0），a＞0时，开口向上，在x＜0上，y随x的增大而减小，在x＞0上，y随x的增大而增大，a＜0时，开口向下，在x＜0上，y随x的增大而增大，在x＞0上，y随x的增大而减小，解答即可．
【解答】解：A、正比例函数y＝3x的y随x的增大而增大，故A错误；
B、正比例函数y＝﹣3x的y随x的增大而减小，故B正确；
C、二次函数y＝3x2的对称轴为x＝0，且开口向上，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，故C错误；
D、二次函数y＝﹣3x2的对称轴为x＝0，且开口向下，x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，掌握以上性质是解题的关键．
8．（2026 湖州一模）定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b（a＜b）范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
（1）对于一次函数y＝2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值．
（2）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在0≤x≤3的范围内，M＝0，m＝﹣3．” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M﹣m＝4，则M＝0，m＝﹣4．”
甲、乙两位同学的说法正确吗？请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由．
【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可；
（2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可．
【解答】解：（1）由条件可知：当x＝3时，M＝2×3+1＝7；当x＝0时，m＝2×0+1＝1．
（2）甲同学说法错误；乙同学说法正确．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
由条件可知当x＝1时，函数最小值为m＝﹣4，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴在0≤x≤3的范围内函数最大值M＝0；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
如图：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），即m＝﹣4，
当x＝0时，y＝﹣3，
∵M﹣m＝4，
∴M＝0，
故乙说法正确，
即甲同学说法错误，乙同学说法正确．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
【考点3】y=a(x+m) +h的图像与性质（第9-19题）
· · 顶点(h,k)对称轴x=h
· · 比较y值看离对称轴远近
· · 左右平移左加右减
· · 上下平移上加下减
9．（2025秋 徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1
【分析】根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，
∴抛物线开口向上，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟记当二次项系数大于零时，抛物线开口向上是解题的关键．
10．（2025秋 南宫市期末）设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（1，y2）点离直线x＝﹣1最近，
∴y2＞y3＞y1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
11．（2026春 金华期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）图象上有M（0，m）和N（3，n）两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（　　）
A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n
【分析】先求出抛物线对直线x＝1，开口向上，点到对称轴越远函数值越大，分别算出M、N到对称轴的距离，对比距离判断m，n大小．
【解答】解：对于y＝ax2﹣2ax+b，对称轴x1，a＞0，抛物线开口向上，
M（0，m），点到对称轴的距离为|0﹣1|＝1，N（3，n），|3﹣1|＝2，
距离1＜2，离对称轴越近函数值越小，故m＜n，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数对称轴与增减性，熟练掌握开口向上时到对称轴距离与函数值的关系是解题关键．
12．（2026 南岗区校级二模）二次函数y＝﹣2（x+2）2﹣1与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，﹣9） D．（0，﹣7）
【分析】y轴上所有点的横坐标为0，将x＝0代入二次函数解析式，计算得到y的值，即可确定交点坐标．
【解答】解：令x＝0，代入得y＝﹣2×（0+2）2﹣1＝﹣2×4﹣1＝﹣9，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣9）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2026 青羊区校级模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＞y2，t的范围为　　 ．
【分析】根据已知条件判断出点A（x1，y1）、B（x2，y2）在对称轴同侧或在对称轴异侧，即点A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点在对称轴左侧，利用中点比较法即可求得答案．
【解答】解：∵t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4，
∴x1＜x2，
∴，
由抛物线表达式可得对称轴为直线x＝1，开口向上，
∵对于x1＜x2，都有y1＞y2，
∴点A（x1，y1）、B（x2，y2）在对称轴同侧或在对称轴异侧，
即点A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点在对称轴左边即可，
故只需使成立即可，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
14．（2025秋 金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 .（用“＜”连接）．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据x＜3时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，
A（4，y3）关于直线x＝3的对称点是（2，y3），
∵﹣1＜1＜2＜3，
在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3，．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
15．（2026 南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），
∴a﹣b＝m且a+b＝m+2，
∴2a＝2m+2．
∴a＝m+1＜0．
∴m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．（2025秋 门头沟区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+2的图象上，若0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1与y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】先将二次函数化为顶点式，分析其对称轴、单调性，再结合x1、x2的范围，比较y1与y2的大小．
【解答】解：将二次函数y＝x2﹣2x+2化为顶点式：y＝（x﹣1）2+1，
抛物线的对称轴为x＝1，
当x＜1时，y随x的增大而减小，
当x＞1时，y随x的增大而增大，
已知0＜x1＜1，取x1关于对称轴为直线x＝1的对称点x′＝2﹣x1，
由于0＜x1＜1，则1＜x1′＜2，
根据对称性，y1＝y（x1）＝y（x1′），
又∵x＞1时y随x增大而增大，且x1′＜2＜x2＜3，
∴y（x1′）＜y（x2），即y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称性，解题的关键是利用对称轴将不在同一单调区间的点转化到同一区间．
17．（2025 徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把B点坐标代入求出a，从而确定抛物线解析式；
（2）先利用抛物线解析式确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣2x+5，则可确定直线AC与y轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD进行计算即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
把B（0，2）代入得2＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）把抛C（3，t）代入y＝﹣（x﹣1）2+3得t＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，
∴C（3，﹣1），
延长CA交y轴于D点，如图，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），C（3，﹣1）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+5，
当x＝0时，y＝﹣2x+5＝5，
∴D（0，5），
∴S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD（5﹣2）×3（5﹣2）×1＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
18．（2026春 莱芜区期末）用配方法把二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式．
【解答】解：yx2﹣2x+3
（x2+4x+4）+2+3
（x+2）2+5．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
19．（2026 兰州一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t的图象经过点A（﹣1，t）．
（1）求证：a＝t；
（2）若该二次函数的最小值为a2﹣4．
①求二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，且m≠﹣2，求证：．
【分析】（1）把点A（﹣1，t）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t进行证明即可；
（2）①把二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t利用配方法写成顶点式，再根据二次函数的最小值列出关于a的一元二次方程，解方程求出a，再把a的值代入y＝ax2﹣2ax﹣2t即可；
②根据M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，得到点M，N关于对称轴x＝1对称，从而求出x1+x2，再把x1用x2表示出来，再把M（x1，m）代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，把m+2用x2表示出来，最后将x1＝2﹣x2代入求出m+2，最后把m+2用x2表示出来，最后代入进行证明即可．
【解答】（1）证明：把点A（﹣1，t）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t得：
a+2a﹣2t＝t，
a+2a＝t+2t，
3a＝3t，
∴a＝t；
（2）①y＝ax2﹣2ax﹣2t
＝a（x2﹣2x）﹣2t
＝a（x2﹣2x+1﹣1）﹣2t
＝a（x﹣1）2﹣a﹣2t，
当x＝1时，y＝﹣a﹣2t，
∵该二次函数的最小值为a2﹣4，
∴a2﹣4＝﹣a﹣2t，
由（1）可知a＝t，
∴a2﹣4＝﹣a﹣2a，
a2+3a﹣4＝0，
（a+4）（a﹣1）＝0，
a+4＝0或a﹣1＝0，
解得：a＝﹣4或1，
∵a＞0时有最小值，
∴a＝1，
把a＝t＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣2t得：y＝x2﹣2x﹣2，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣2；
②证明：∵M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，
∴点M，N关于对称轴x＝1对称，
∴，
∴x1+x2＝2，
x1＝2﹣x2，
∵M（x1，m）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上，
∴，
∴，
将x1＝2﹣x2代入得：
m+2
＝x2（x2﹣2），
∴
．
【点评】本题主要考查了二次函数，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式．
【考点4】y=ax +bx+c的图像与性质（第20-33题）
· · 对称轴x=-
· · a,b,c符号判断
· · 特殊点代入x=±1
· · 配方法化顶点式
20．（2026 雁塔区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；利用二次函数的性质可判断②；由x＝1时y取最大值可判断③；由x＝﹣2时y＞0可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，③正确；
由图象可知x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
21．（2026 靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可．
【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越远则函数值越小，
题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．
22．（2025秋 静安区期末）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】判断抛物线上点的纵坐标大小，核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据点到对称轴的水平距离判断．
【解答】解：已知抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m，
二次项系数﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴处取最大值，
点到对称轴距离越近，y值越大，二次函数对称轴公式x，
其中a＝﹣3，b＝12，对称轴为直线x＝2，
各个点到对称轴的距离：
点A：|﹣1﹣2|＝3，
点B：|4﹣2|＝2，
点C：|6﹣2|＝4，
又开口向下，距离越小，y越大，
∵2＜3＜4，
故y2＞y1＞y3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
23．（2026 崂山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线开口向上得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；由x＝1时，y＞0得a+b+c＞0，再结合b＝2a得3a+c＞0，由于a＞0，所以5a+c＞0，即可判断②；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值，所以a﹣b+c≤at2+bt+c，化简后即可判断③；根据对称性得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（﹣3，2），所以x1＝﹣3，x2＝1，代入x1+2x2中即可判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，即，
∴，故①正确；
②∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴a+b+c＞0，
而b＝2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴5a+c＞0，故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，故③正确；
④∵点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴抛物线与直线y＝2的一个交点为（1，2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与直线y＝2的一个交点为（﹣3，2），
即x1＝1，x2＝﹣3，
∴x1+2x2＝﹣3+2×1＝﹣1，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
24．（2026 枣阳市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＞0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0．
由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故该结论错误；
②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x1，则2a+b＝0．
故该结论正确；
③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0．
故该结论正确；
④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0．
故该结论正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
25．（2026春 渝中区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1＜y2＜y3 ．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为二次函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣5，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向下，
则抛物线上的点，离对称轴越远，其纵坐标约小．
因为点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，
则1﹣（﹣2）＝3，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1且3＞2＞1，
所以y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
26．（2025秋 包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是k　 ．
【分析】根据抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，可知二次函数的开口向下，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，
∴抛物线开口向下，
∴2k﹣1＜0，
解得k．
故答案为：k．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解答此题的关键．
27．（2025 邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 m≥4　 ．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤2时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴直线x2，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴直线x2，即2
解得m≥4．
故答案为：m≥4．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
28．（2024秋 津南区校级期末）将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 y＝（x﹣2）2﹣2　 ．
【分析】直接利用配方法确定答案即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．解题的关键在于利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式．
29．（2025秋 松滋市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　2　 ．
【分析】先依据配方法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到BD＝AC，然后确定出AC的最小值即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，2），
∴当x＝2时，y有最小值2，
∴AC的最小值为2．
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键．
30．（2026 城厢区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）．
（1）若m＝1，求a的值．
（2）求证：am+an＞0．
【分析】（1）根据题意当m＝1时，将点（4，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）即可得出a的值；
（2）首先，把点（4，m），（p，n）分别代入函数y＝a（x﹣1）（x﹣3），得m＝3a，n＝a（p﹣1）（p﹣3），然后，再将m，n代入am+an，得am+an＝a2[（p﹣2）2+2]，最后，由a2＞0，（p﹣2）2+2＞0可证得结论．
【解答】（1）解：当m＝1，点坐标（4，m）即为（4，1），
∵二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）的图象过点（4，1），
∴1＝a（4﹣1）（4﹣3），
解得；
（2）证明：根据题意，m＝a（4﹣1）（4﹣3）＝3a，n＝a（p﹣1）（p﹣3），
则am+an＝3a2+a2（p﹣1）（p﹣3）＝a2（p2﹣4p+6）＝a2[（p﹣2）2+2]，
∵a≠0，
∴a2＞0，
又∵（p﹣2）2≥0，
∴（p﹣2）2+2＞0，
∴a2[（p﹣2）2+2]＞0，
∴am+an＞0．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
31．已知二次函数，解答下列问题：
（1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）；
（2）判断点（﹣2，﹣4）是否在这个函数图象上，说明理由；
（3）观察图象，直接写出当y＝8时对应的函数图象上的点的坐标．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入y＝8即可求出坐标．
【解答】解：（1）这个函数图象的另一部分如图所示；
（2）点（﹣2，﹣4）不在这个函数图象上；理由如下：
当x＝﹣2时，y2，
∴点（﹣2，﹣4）不在这个函数图象上；
（3）当y＝8时，8，
∴x＝±4
∴y＝8时，对应的函数图象上的点的坐标为：（4，8）和（﹣4，8）
【点评】本题考查了二次函数的图象，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
32．（2026 蚌埠模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＞0），a，b满足2a+b＝0，抛物线的最低点纵坐标为p．
（1）若p＝﹣5，求该抛物线的顶点坐标；
（2）已知（m，n）是该抛物线上的一点：
①若n＝16a+p，求m的值；
②点A（m+t，n+t）与点B（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，求的值．
【分析】（1）先根据已知求出抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的最低点纵坐标为p，且p＝﹣5，即可得出答案；
（2）①由（1）可知该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+p，将（m，n）代入得n＝a（m﹣1）2+p，结合n＝16a+p，得出方程求解即可；
②将A（m+t，n+t），B（2﹣m+t，n﹣2t）代入y＝a（x﹣1）2+p，得到n+t＝a（m+t﹣1）2+p，n﹣2t＝a（2﹣m+t﹣1）2+p，消去n和p，得到，再结合n＝a（m﹣1）2+p，n+t＝a（m+t﹣1）2+p，消去n和p，得到2a（m﹣1）+at＝1，可求得2at＝﹣1，再计算即可．
【解答】解：（1）∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∴对称轴为直线，
又∵最低点纵坐标为p，且p＝﹣5，
∴顶点坐标为（1，﹣5）；
（2）①由（1）可知该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+p，
∵（m，n）在函数y＝a（x﹣1）2+p的图象上，
∴n＝a（m﹣1）2+p，
又∵n＝16a+p，a＞0，
∴16a+p＝a（m﹣1）2+p，
整理，得（m﹣1）2＝16，
解得m1＝5，m2＝﹣3；
②∵点A（m+t，n+t）和点B（2﹣m+t，n﹣2t）都在函数y＝a（x﹣1）2+p的图象上，
∴n+t＝a（m+t﹣1）2+p，n﹣2t＝a（2﹣m+t﹣1）2+p，
两式相减，得3t＝a（m+t﹣1）2﹣a（2﹣m+t﹣1）2，
化简，得3t＝4at（m﹣1），
∵t≠0，
∴，
∵（m，n）在函数y＝a（x﹣1）2+p的图象上，
∴n＝a（m﹣1）2+p，
又∵n+t＝a（m+t﹣1）2+p，
两式相减，得t＝at（2m+t﹣2），
∵t≠0，
∴2a（m﹣1）+at＝1，
∴，
∴，
∴2at＝﹣1，
∴．
∴点A（m+t，n+t）与点B（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，则．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
33．（2026 广州校级模拟）我们约定：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；我们发现：若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，那么我们称抛物线C2是抛物线C1的“派生抛物线”．
（1）点A（3，4）的“衍生点”是　（3，7）　 ；抛物线l：y＝x2+3x﹣2的“派生抛物线”是y＝x2+4x﹣2　 ；
（2）已知点A（x，y）在抛物线C1：y＝x2+bx+c图象上，点A的“衍生点”为点B（﹣2，2）．该抛物线的“派生抛物线”C2的顶点为（m，n）．当0≤c≤4时，求n的取值范围；
（3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据“衍生点”和“派生抛物线”的定义即可求解；
（2）根据点A（x，y）的“衍生点”为点B（﹣2，2）．求得y＝4，进而可得c＝2b，根据“派生抛物线”的定义得C2的方程为y＝x2+（b+1）x+2b，求得，即进而可得，根据二次函数的性质，即可得出n的取值范围；
（3）若t＜0，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有y1＜y2，与y1＞y2矛盾，舍去；若t＞0，符合题意，由题意得到，结合4＜x3＜5，据此求解即可．
【解答】解：（1）若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；
根据“衍生点”定义，点A（3，4）的“衍生点”坐标为：横坐标不变为3，
纵坐标为3+4＝7，
故“衍生点”为：（3，7）；
原抛物线y＝x2+3x﹣2，
设其上任意点A的坐标为（a，a2+3a﹣2），其“衍生点”B的坐标为（a，a+a2+3a﹣2），即（a，a2+4a﹣2），
∴“派生抛物线”的解析式为y＝x2+4x﹣2；
故答案为：（3，7），y＝x2+4x﹣2；
（2）∵点A（x，y）的“衍生点”为点B（﹣2，2）．
∴x＝﹣2，x+y＝2，
∴y＝4，
∴点A（﹣2，4），
代入抛物线C1：y＝x2+bx+c，
得4＝4﹣2b+c，
∴c＝2b，
∴C1：y＝x2+bx+2b，
设C1上点A（m，n）：n＝m2+bm+2b，“衍生点”为点B（x，y）＝（m，m+n），
则x＝m，y＝m+n，
∴y＝m+m2+bm+2b＝x2+（b+1）x+2b，
C2：y＝x2+（b+1）x+2b，顶点纵坐标为，
由c＝2b，0≤c≤4，
得0≤2b≤4，
∴0≤b≤2，
当b＝0时，n的最小值为，
当b＝2时，n的最大值为，
故n的取值范围为．
（3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，
原抛物线C1：y＝tx2﹣（2t2+1）x+1，
设A（m，n）在C1，则n＝tm2﹣（2t2+1）m+1，
“衍生点”P（x3，y3）＝（m，m+n），即x3＝m，y3＝m+n，
，
“派生抛物线”C2：y＝tx2﹣2t2x+1，对称轴为，
M（t﹣4，y1）和N（t+2，y2）横坐标到对称轴x＝t的距离为：|t﹣4﹣t|＝4，|t+2﹣t|＝2，
当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，分情况讨论：
若t＞0，抛物线开口向上：离对称轴越远函数值越大，y1＞y2符合距离4＞2；
y1＞y3＞y2等价于x3到对称轴距离在2和4之间，2＜|x3﹣t|＜4，4＜x3＜5，
∴，
对于|x3﹣t|＜4，即t﹣4＜x3＜t+4，对所有4＜x3＜5成立，
∴，解得1≤t≤8；
对于|x3﹣t|＞2，即x3＞t+2或x3＜t﹣2，对所有4＜x3＜5成立，
若x3＞t+2，即t+2≤4，解得t≤2；
若x3＜t﹣2，即t﹣2≥5，解得t≥7；
结合t＞0与1≤t≤8，得1≤t≤2或7≤t≤8．
若t＜0，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有y1＜y2，与y1＞y2矛盾，舍去；
综上，t的取值范围为1≤t≤2或7≤t≤8．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
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【练习 1】（2026春 让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　﹣3　 ．
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：如果函数是关于x的二次函数，
由题意，可得 ，
解方程k2﹣7＝2，得k2＝9，
解得k＝3或k＝﹣3；
由k﹣3≠0，得k≠3，
故k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的定义，正确进行计算是解题关键．
【练习 2】（2026 萨尔图区校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当自变量x的取值范围为p≤x≤q（p＜q）时，对应的函数值y的取值范围也恰好是p≤y≤q，我们称p≤x≤q为该二次函数的“保值范围”．若二次函数y＝x2﹣2x+m存在“保值范围”p≤x≤q，且p＜1＜q，则实数m的取值范围是　0≤m＜2　 ．
【分析】先得到二次函数的顶点坐标为（1，m﹣1），结合条件可知最小值可取到顶点处，再根据二次函数的性质和最值解题．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，顶点坐标为（1，m﹣1）；
∴当p＜1＜q且p≤x≤q时，二次函数的最小值为m﹣1，
∵函数y＝x2﹣2x+m存在“保值范围”p≤x≤q，
∴p≤y≤q，
∴p＝m﹣1；
则或，
对于，则p2﹣2p+m≤q2﹣2q+m，
整理得：（p﹣q）（p+q﹣2）≤0，
∵p＜1＜q，
∴p﹣q＜0，q﹣1＞0，
此情况对应p+q﹣2≥0，
由q2﹣2q+m＝q及p＝m﹣1，可得p＝﹣q2+3q﹣1，
∴（﹣q2+3q﹣1）+q﹣2≥0，
即（q﹣1）（q﹣3）≤0，
由于q﹣1＞0，则q﹣3≤0，
∴q≤3，
∵p＜1＜q，
∴1＜q≤3；
∴，
∴，
又∵p＜1，
∴m﹣1＜1，即m＜2，
故此情况下0≤m＜2；
对于，则（q﹣p）（q+p﹣2）≤0，
∵p＜1＜q，
此情况对应p+q﹣2≤0，
由p2﹣2p+m＝q及p＝m﹣1，得p2﹣p+1＝q，
∴p2﹣p+1＞1，
∴p2﹣p＞0，
∴p（p﹣1）＞0，
∵p＜1，即p﹣1＜0，
∴p＜0，
∵p+q﹣2≤0，
∴p+p2﹣p+1﹣2≤0，
解得﹣1≤p≤1，
又∵p＜0，
∴﹣1≤p＜0，即﹣1≤m﹣1＜0，
则0≤m＜1；
综上所述，合并两种情况的范围，可得0≤m＜2．
故答案为：0≤m＜2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
【练习 3】（2024秋 东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 f（x）＝﹣4x2+16x﹣11　 ．
【分析】把三个已知点的坐标分别代入f（x）＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．
∴，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣4x2+16x﹣11．
故答案为：f（x）＝﹣4x2+16x﹣11．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
【练习 4】（2026 虹口区二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　2或3　 ．
【分析】依据题意，由抛物线（x﹣k）2+3可得其顶点为（k，3），结合抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，从而C2为y＝（x﹣3）2+k，结合C1的顶点在C2上，可得（k﹣3）2+k＝3，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线（x﹣k）2+3，
∴其顶点为（k，3）．
∵抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，
∴C2为y＝（x﹣3）2+k，
又∵C1的顶点在C2上，
∴（k﹣3）2+k＝3．
∴k＝2或3．
故答案为：2或3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【练习 5】（2026 闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　直线x＝0　 ．
【分析】根据题意可得，然后即可得到a+c＝0，b＝0，再求出二次函数的对称轴即可．
【解答】解：由题意可得，
，
由上可得a+c＝0，b＝0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x0，
故答案为：直线x＝0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、新定义，解答本题的关键是明确二次函数图象的对称轴公式．
课后巩固
复习建议
· · 二次函数三要素：a定开口，b和a共同定对称轴，c定与y轴交点
· · 顶点式最快看出顶点和对称轴
· · 比较y值：离对称轴越远，a>0越大，a<0越小
· · 配方法：先提a，再配一次项系数一半的平方
· · 三种形式按条件选：三点设一般式、顶点设顶点式、与x轴交点设交点式
【作业 1】（2025秋 渝中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0
C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
根据二次函数图象可知，开口向上，
则a＞0，
由于该函数图象与y轴负半轴有交点，
则c＜0，
由图可知，对称轴为直线x1＞0，
则b＝﹣2a＜0，
故abc＞0，故A错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝4a＞0，故C错误；
由图象可知，当x＝2时，对应的函数值在x轴下方，
则4a+2b+c＜0，
故B正确，
根据图片可知，当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
所以D错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
【作业 2】（2026 柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，3）
D．x＞1时，y随x增大而增大
【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3中，根据解析式逐项分析判断如下；
A．因为﹣2＜0，所以抛物线开口向下，不符合题意；
B．由题意知：抛物线的对称轴为直线x＝1，不符合题意；
C．由题意知：抛物线的顶点坐标是（1，3），符合题意；
D．x＞1时，y随x增大而减小，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【作业 3】（2026 思明区校级二模）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　）
A．当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2
B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
C．当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2
D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
【解答】解：由条件可知抛物线的开口向上，
则对称轴为直线，
把x＝1代入y＝ax2﹣2ax，得y＝a﹣2a＝﹣a，
∴顶点为（1，﹣a），
∵两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），
∴当x1＜0且y1 y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方），
故y2＜0，
此时0＜x2＜2
故A选项的结论正确，符合题意；
当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减，
故x2越大，y2越小，
即y1＞y2，
故B选项的结论错误，不符合题意；
当x1＜0且y1 y2＞0时，y2＞0，
此时x2应满足x2＜0或x2＞2，
故C选项的结论错误，不符合题意；
当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增，
故x1越大，y1越大，
即y1＞y2，
故D选项的结论错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 4】（2026春 渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依据题意，令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，
∴两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∴一次函数y＝ax+b经过第一三象限，
∴A选项错误，C选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【作业 5】（2026 安徽模拟）函数y＝kx+b和抛物线y＝kx2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象判断k，b的符号，再验证二次函数y＝kx2+bx+c的开口方向、对称轴是否与k、b的符号一致．
【解答】解：一次函数图象斜率为负，得k＜0，
但二次函数开口向上，要求k＞0，矛盾，A错误，
一次函数图象斜率为正，得k＞0，
二次函数开口向上，符合k＞0，
一次函数与y轴交于正半轴，得b＞0，
二次函数对称轴x，由k＞0，b＞0得对称轴在y轴左侧，与图象中对称轴在右侧矛盾，B错误；
一次函数图象斜率为正，得k＞0，
二次函数开口向上，符合k＞0，
一次函数与y轴交于负半轴，得b＜0，
二次函数对称轴x，由k＞0，b＜0得对称轴在y轴右侧，与图象一致，故C正确，
一次函数图象斜率为正，得k＞0，
但二次函数开口向下，要求k＜0，矛盾，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质及参数符号判断．熟练掌握一次函数的斜率、截距与二次函数的开口方向、对称轴和参数的关系，是解决本题的关键．
【作业 6】（2025秋 武都区期末）若抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 m＜1　 ．
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m），
∴顶点坐标为（2，1﹣m），
∵顶点在第一象限，
∴1﹣m＞0，
∴m的取值范围为m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【作业 7】（2025秋 长春期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 …
则该二次函数图象与x轴除（﹣1，0）外的交点坐标是　（4，0）　 ．
【分析】根据所给表格中的数据，得出抛物线的对称轴，据此求出抛物线与x轴的另一个交点坐标即可．
【解答】解：由所给表格可知，
当x＝1和x＝2时，函数值都是﹣6，
所以抛物线的对称轴为直线x．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
则，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【作业 8】（2026 沛县模拟）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　3≤k＜4　 ．
【分析】由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，求得直线与抛物线相切时和直线过点（3，0）时的k的值，结合图象即可求得．
【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，
令y＝﹣x2+3x＝0，解得x＝0或3，
∴二次函数y＝﹣x2+3x的图象与x轴的交点为（0，0），（3，0），
令﹣x2+3x＝k﹣x，
方程整理得x2﹣4x+k＝0，
当直线y＝k﹣x与抛物线相切时，Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
当直线过点（3，0）时，0＝k﹣3，
解得k＝3，
∴若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为3≤k＜4．
故答案为：3≤k＜4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
【作业 9】（2026 北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1　＜　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合m＞0判断两点横坐标的位置，即可比较1与y2的大小．
【解答】解：对函数解析式配方得y＝x2+4x+4＝（x+2）2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∵m＞0，
∴m+1＞m＞0＞﹣2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【作业 10】（2025秋 黄浦区期末）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是　﹣1＜yM＜3　 ．
【分析】首先求得两抛物线的对称轴，然后求得两函数的交点横坐标，确定点M横坐标的范围，进而确定此范围内的M的纵坐标的最大值和最小值即可．
【解答】解：如图，∵L1：y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线L1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，3），
∵L2：yx2x，
∴抛物线L2的对称轴为直线x，
令﹣x2+2x+2x2x，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴两函数的交点的横坐标为﹣1和2，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2x+2得y＝﹣1，
把x＝2代入y＝﹣x2+2x+2得y＝2，
∴两函数的交点为（﹣1，﹣1）和（2，2），
∴在﹣1＜x＜2范围内，点M的纵坐标yM的取值范围是﹣1＜yM＜3．
故答案为：﹣1＜yM＜3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
【作业 11】（2024秋 浦东新区期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），且1＜2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【作业 12】（2026 拱墅区一模）设二次函数（b，c是常数），已知函数y1的图象经过点（2，c）．
（1）求b的值．
（2）设二次函数y1的最小值为t，二次函数y2的最小值为s，求证：t＝s+6．
（3）若函数y1的图象过点A（m，n），函数y2的图象过点B（p，q），且满足m+p＝3，探索n与q之间满足的等量关系．
【分析】（1）将点（2，c）代入y1进行计算即可；
（2）分别求出y1和y2的最小值，据此可进行证明；
（3）将点A和点B坐标分别代入y1和y2，再结合m+p＝3进行计算即可．
【解答】解：（1）将点（2，c）代入y1得，
8+2b+c＝c，
解得b＝﹣4；
（2）由（1）知，
2（x﹣1）2+c﹣2，
则y1的最小值为t＝c﹣2．
因为，
所以y2的最小值为s＝c﹣8，
两式相减得，
t﹣s＝c﹣2﹣（c﹣8），
整理得，t＝s+6；
（3）将点A和点B坐标分别代入y1和y2，
则2m2﹣4m+c＝n，2p2﹣8p+c＝q，
两式相减得，
2（m+p）（m﹣p）﹣4m+8p＝n﹣q，
因为m+p＝3，
则6（m﹣p）﹣4m+8p＝n﹣q，
2m+2p＝n﹣q，
n﹣q＝6，
所以n与q之间满足的等量关系为n﹣q＝6．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【作业 13】（2025秋 浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1
＝2（x﹣1）2﹣1，
∴y＝2（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝2（x﹣1）2﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的三种形式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 14】（2025秋 龙湾区期中）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数），
（1）若函数图象对称轴为直线x＝2，求b的值．
（2）若该函数解析式可以写成y＝﹣（x﹣h）2+1，求证：c+b2＝1．
（3）设m＞0，n＞0，在（2）的条件下，当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可；
（2）先将函数解析式展开，得到﹣x2+2hx﹣h2+1＝﹣x2+2bx+c，从而得到b＝h，c＝﹣h2+1，即可得出结论；
（3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为﹣9，解出，，得到，，从而得出结果．
【解答】（1）解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数），
∴对称轴为直线xb，
∵函数图象对称轴为直线x＝2，
∴b＝2；
（2）证明：∵y＝﹣（x﹣h）2+1＝﹣x2+2hx﹣h2+1＝﹣x2+2bx+c，
∴b＝h，c＝﹣h2+1，
∴b2＝h2，
∴c＝﹣b2+1，
∴c+b2＝1；
（3）解：∵y＝﹣（x﹣h）2+1，m＞0，n＞0，h﹣n≤x≤h+m，
∴当x＝h时，函数最大值为1，
∵函数的最大值与最小值差为10，
∴函数最小值为﹣9，
∴﹣9＝﹣（x﹣h）2+1，
∴（x﹣h）2＝10，
∴，，
∵h﹣n≤x≤h+m，
∴，，且两个等号至少有一个可取，
∴，，
∴m+n的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识为解题关键．
【作业 15】（2026 浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E．
（1）直接写出抛物线C2的表达式y＝ax2+4ax+4a﹣3　 ；
（2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式；
（3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值．
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据题意可得方程4a﹣3＝﹣1，求出a的值即可求函数解析式；
（3）根据对称轴和范围的位置关系分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a＞0）的“孪生抛物线”为C2，
∴y＝ax2+4ax+4a﹣3；
故答案为：y＝ax2+4ax+4a﹣3；
（2）当x＝0时，y＝4a﹣3，
∴E（0，4a﹣3），
∵E（0，﹣1），
∴4a﹣3＝﹣1，
解得a，
∴yx2+2x﹣1；
（3）∵C2的解析式为y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3；
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ，当a﹣4＜﹣2＜a﹣2时，0＜a＜2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；
函数的最小值为﹣3．
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，
解得a＝2或a＝2（舍）或a＝0（舍）；
当1＜a＜2时，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为﹣3．
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，
解得a或a（舍）或a＝0（舍）；
II，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3，
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a（舍）或a＝0（舍）；
III，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去．
综上，a的值为2或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．
第1页（共1页）第1讲 二次函数的定义及三种形式 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解二次函数的概念，能判断一个函数是否为二次函数
· · 掌握二次函数y=ax2的图像与性质
· · 掌握顶点式y=a(x-h)2+k的图像与性质
· · 掌握一般式y=ax2+bx+c的图像与性质
· · 会用配方法在一般式、顶点式、交点式三种形式间互化
知识梳理
☆ 1.二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数叫二次函数
a是二次项系数，a≠0是关键条件
b是一次项系数，c是常数项
右边必须是整式，且x的最高次数为2
概念辨析例题：函数y=(m-2)x|m|+3x-1是二次函数，求m
解析：|m|=2且m-2≠0，故m=-2
☆ 2.二次函数y=ax 的图像与性质
图像是抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴
a>0开口向上，x=0时y最小=0
a<0开口向下，x=0时y最大=0
|a|越大开口越小
概念辨析例题：抛物线y=ax2过点(2,8)，求a
解析：8=a·22=4a，a=2
☆ 3.顶点式y=a(x-h) +k的图像与性质
顶点坐标(h,k)，对称轴直线x=h
a>0开口向上，x=h时y最小=k
a<0开口向下，x=h时y最大=k
左右平移改h（左加右减），上下平移改k（上加下减）
概念辨析例题：y=-(x-1)2+3的顶点坐标和对称轴
解析：h=1,k=3，对称轴x=1
☆ 4.一般式y=ax +bx+c与交点式
对称轴x=-，顶点坐标(-, )
与y轴交点(0,c)；配方法y=a(x+)2+
交点式y=a(x-x1)(x-x2)，x1,x2为抛物线与x轴交点横坐标
已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与x轴交点设交点式
概念辨析例题：y=x2-4x+2配方成顶点式
解析：y=x2-4x+4-4+2=(x-2)2-2
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
二次函数定义 y=ax2+bx+c(a≠0) a≠0
开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|定开口大小
对称轴 x=- 顶点式x=h
顶点坐标 (-, ) 顶点式(h,k)
三种形式 一般式/顶点式/交点式 按已知条件选择设法
与y轴交点 (0,c) c是常数项
配方法 加一次项系数一半的平方 先提二次项系数
核心考点
【考点1】二次函数的定义（第1-4题）
· · 必须是整式
· · 二次项系数a≠0
· · 最高次为2
· · 列方程+不等式联立
1．（2026春 浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C． D．
2．（2024秋 内黄县期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．
C．y＝x2+5 D．y＝2x﹣7
3．（2025秋 香洲区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为_______ ．
4．（2026 七星关区校级模拟）如果函数是关于x的二次函数，则k＝_____ ．
【考点2】二次函数y=ax 的图像与性质（第5-8题）
· · 顶点原点对称轴y轴
· · a定开口方向
· · |a|定开口大小
· · 增减性看对称轴两侧
5．（2025秋 江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 ____________________ ．
6．（2026 芜湖模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025 浦东新区校级模拟）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝3x2 D．y＝﹣3x2
8．（2026 湖州一模）定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b（a＜b）范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
（1）对于一次函数y＝2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值．
（2）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在0≤x≤3的范围内，M＝0，m＝﹣3．” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M﹣m＝4，则M＝0，m＝﹣4．”
甲、乙两位同学的说法正确吗？请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由．
【考点3】y=a(x+m) +h的图像与性质（第9-19题）
· · 顶点(h,k)对称轴x=h
· · 比较y值看离对称轴远近
· · 左右平移左加右减
· · 上下平移上加下减
9．（2025秋 徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1
10．（2025秋 南宫市期末）设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
11．（2026春 金华期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）图象上有M（0，m）和N（3，n）两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（　　）
A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n
12．（2026 南岗区校级二模）二次函数y＝﹣2（x+2）2﹣1与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，﹣9） D．（0，﹣7）
13．（2026 青羊区校级模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＞y2，t的范围为____________________ ．
14．（2025秋 金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 _____________ .（用“＜”连接）．
15．（2026 南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ．
16．（2025秋 门头沟区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+2的图象上，若0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1与y2的大小关系是y1_____ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
17．（2025 徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积．
18．（2026春 莱芜区期末）用配方法把二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
19．（2026 兰州一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t的图象经过点A（﹣1，t）．
（1）求证：a＝t；
（2）若该二次函数的最小值为a2﹣4．
①求二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，且m≠﹣2，求证：．
【考点4】y=ax +bx+c的图像与性质（第20-33题）
· · 对称轴x=-
· · a,b,c符号判断
· · 特殊点代入x=±1
· · 配方法化顶点式
20．（2026 雁塔区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2026 靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
22．（2025秋 静安区期末）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
23．（2026 崂山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2026 枣阳市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＞0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
25．（2026春 渝中区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_____________ ．
26．（2025秋 包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是____________________ ．
27．（2025 邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ________ ．
28．（2024秋 津南区校级期末）将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 _______________ ．
29．（2025秋 松滋市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____ ．
30．（2026 城厢区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）．
（1）若m＝1，求a的值．
（2）求证：am+an＞0．
31．已知二次函数，解答下列问题：
（1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）；
（2）判断点（﹣2，﹣4）是否在这个函数图象上，说明理由；
（3）观察图象，直接写出当y＝8时对应的函数图象上的点的坐标．
32．（2026 蚌埠模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＞0），a，b满足2a+b＝0，抛物线的最低点纵坐标为p．
（1）若p＝﹣5，求该抛物线的顶点坐标；
（2）已知（m，n）是该抛物线上的一点：
①若n＝16a+p，求m的值；
②点A（m+t，n+t）与点B（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，求的值．
33．（2026 广州校级模拟）我们约定：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；我们发现：若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，那么我们称抛物线C2是抛物线C1的“派生抛物线”．
（1）点A（3，4）的“衍生点”是__________ ；抛物线l：y＝x2+3x﹣2的“派生抛物线”是______________ ；
（2）已知点A（x，y）在抛物线C1：y＝x2+bx+c图象上，点A的“衍生点”为点B（﹣2，2）．该抛物线的“派生抛物线”C2的顶点为（m，n）．当0≤c≤4时，求n的取值范围；
（3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．
随堂检测
【练习 1】（2026春 让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝_______ ．
【练习 2】（2026 萨尔图区校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当自变量x的取值范围为p≤x≤q（p＜q）时，对应的函数值y的取值范围也恰好是p≤y≤q，我们称p≤x≤q为该二次函数的“保值范围”．若二次函数y＝x2﹣2x+m存在“保值范围”p≤x≤q，且p＜1＜q，则实数m的取值范围是__________ ．
【练习 3】（2024秋 东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 ____________________ ．
【练习 4】（2026 虹口区二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是________ ．
【练习 5】（2026 闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为__________ ．
课后巩固
复习建议
· · 二次函数三要素：a定开口，b和a共同定对称轴，c定与y轴交点
· · 顶点式最快看出顶点和对称轴
· · 比较y值：离对称轴越远，a>0越大，a<0越小
· · 配方法：先提a，再配一次项系数一半的平方
· · 三种形式按条件选：三点设一般式、顶点设顶点式、与x轴交点设交点式
【作业 1】（2025秋 渝中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0
C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0
【作业 2】（2026 柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，3）
D．x＞1时，y随x增大而增大
【作业 3】（2026 思明区校级二模）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　）
A．当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2
B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
C．当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2
D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
【作业 4】（2026春 渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　）
A． B．
C． D．
【作业 5】（2026 安徽模拟）函数y＝kx+b和抛物线y＝kx2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【作业 6】（2025秋 武都区期末）若抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ________ ．
【作业 7】（2025秋 长春期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 …
则该二次函数图象与x轴除（﹣1，0）外的交点坐标是__________ ．
【作业 8】（2026 沛县模拟）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________ ．
【作业 9】（2026 北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1_____ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【作业 10】（2025秋 黄浦区期末）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是____________ ．
【作业 11】（2024秋 浦东新区期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1_____ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【作业 12】（2026 拱墅区一模）设二次函数（b，c是常数），已知函数y1的图象经过点（2，c）．
（1）求b的值．
（2）设二次函数y1的最小值为t，二次函数y2的最小值为s，求证：t＝s+6．
（3）若函数y1的图象过点A（m，n），函数y2的图象过点B（p，q），且满足m+p＝3，探索n与q之间满足的等量关系．
【作业 13】（2025秋 浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
【作业 14】（2025秋 龙湾区期中）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数），
（1）若函数图象对称轴为直线x＝2，求b的值．
（2）若该函数解析式可以写成y＝﹣（x﹣h）2+1，求证：c+b2＝1．
（3）设m＞0，n＞0，在（2）的条件下，当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值．
【作业 15】（2026 浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E．
（1）直接写出抛物线C2的表达式___________________ ；
（2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式；
（3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值．
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