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第2讲 二次函数一般式(1) 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像
· · 掌握开口方向、对称轴、顶点坐标与增减性
· · 能根据图像判断a,b,c及相关代数式的符号
· · 会利用对称性比较抛物线上点的函数值大小
· · 会用数形结合求方程根的个数与不等式解集
知识梳理
☆ 1.二次函数y=ax +bx+c的图像
图像是抛物线，用描点法：列表→描点→连线
与y轴交点(0,c)，与x轴交点令y=0解一元二次方程
方程ax2+bx+c=m的根即抛物线与直线y=m交点横坐标
与一次函数共存时，由公共点(0,c)和开口方向综合判断
概念辨析例题：已知y=|x2-4|，方程|x2-4|=m恰有3个不等实根，求m
解析：y=|x2-4|与y轴交于(0,4)，直线y=4恰与其有3个交点
☆ 2.二次函数的性质
对称轴x=-，顶点(-, )
a>0开口向上顶点取最小值，a<0开口向下顶点取最大值
a>0时对称轴左侧递减右侧递增，a<0时相反
顶点式y=a(x-h)2+k直接读出顶点(h,k)与对称轴x=h
概念辨析例题：y=x2-bx+c对称轴为x=2，c=-4时求顶点坐标
解析：由对称轴得b=4，y=(x-2)2-8，顶点(2,-8)
☆ 3.图像与系数a,b,c的关系
a定开口方向与大小，b与a共同定对称轴位置（左同右异）
c定与y轴交点：c>0交正半轴，c<0交负半轴
对称轴x=-，由2a+b=0等判断b与a的关系
x=1看a+b+c，x=-1看a-b+c，Δ=b2-4ac定与x轴交点个数
概念辨析例题：对称轴x=1且开口向下，判断abc的符号
解析：a<0，b=-2a>0，c>0，故abc<0
☆ 4.图像上点的坐标特征
关于对称轴x=h对称的两点函数值相等，横坐标之和为2h
比较y值：a>0时离对称轴越远y越大，a<0时相反
两点纵坐标相同时，对称轴为两横坐标的平均数
点在抛物线上等价于坐标满足解析式，代入即得方程
概念辨析例题：A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)在y=-(x+1)2+m上，比较y1,y2,y3
解析：开口向下对称轴x=-1，A最近C最远，故y1最大y3最小
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
图像画法 列表→描点→连线 对称取点更简便
对称轴 x=- 顶点式为x=h
顶点坐标 (-, ) 顶点式(h,k)
a的符号 a>0向上，a<0向下 |a|定开口大小
b的符号 左同右异 与a共同定对称轴
c的符号 与y轴交于(0,c) 交y轴位置
判别式Δ Δ=b2-4ac 定与x轴交点个数
核心考点
【考点1】二次函数的图像（第1-6题）
· · 描点法先找顶点与坐标轴交点
· · 与一次函数共存看a符号和(0,c)
· · 方程根个数等于图像交点个数
· · 不等式解集看图像在x轴上下方
1．（2026 七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026 兴庆区校级一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025秋 虹口区期末）小丽为了画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出了如表（信息不全），那么m的值是_____ ．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 m …
y … 10 5 1 5 10 …
4．（2024 福田区模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 _____ ．
5．（2025秋 垦利区期中）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则m＝ _____ ．
6．（2025秋 海珠区校级期中）已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴相交于点（0，3）．
（1）m＝_____ ，该抛物线的顶点坐标为________________ ；
（2）在直角坐标系中画出图象：列表取点；
x … …
y … …
（3）根据图象，直接写出不等式﹣x2+（m﹣1）x+m＜0的解集是_____________ ．
【考点2】二次函数的性质（第7-16题）
· · 对称轴x=-
· · 顶点式直接读(h,k)
· · a定开口与增减方向
· · 顶点处取最值
7．（2026 成都模拟）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列说法正确的是（　　）
A．b＝2
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．c＜﹣5
D．当c＝﹣4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣8）
8．（2025秋 沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
9．（2025秋 平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
10．（2026春 金华期末）关于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣2
C．顶点坐标是（2，4）
D．x＞2时，y随x增大而增大
11．（2025秋 临高县期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025秋 海淀区校级期中）若抛物线y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1
13．（2026 洛阳二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2026 安阳县一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：_____________ ．
15．（2025秋 丰南区期末）如图，抛物线L1，L2与直线y＝7分别交于A，C和B，D四点，且AB＝10，BC＝5，CD＝6．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则PQ的长是_____ ．
16．（2025秋 通州区期末）抛物线y＝﹣x2+1的顶点坐标是__________ ．
【考点3】图像与系数的关系（第17-22题）
· · a定开口，c定y轴交点
· · 对称轴定b与a关系
· · x=±1特殊点代入
· · Δ=b2-4ac判断交点
17．（2026 凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b+4a＝0
C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞0
18．（2026 宿州二模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a+2b+4c＞0
D．对任意实数m，都有a（1﹣m2）+b（1﹣m）≤0恒成立
19．（2025秋 顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．2c﹣b＝0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＜0 D．3a+c＜0
20．（2026 西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2025秋 包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是____________________ ．
22．（2025 邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ________ ．
【考点4】图像上点的坐标特征（第23-32题）
· · 对称点横坐标之和=2h
· · 比大小看到对称轴距离
· · 纵坐标相同定对称轴
· · 点在抛物线上代入验证
23．（2026 海州区二模）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4）
24．（2026 中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
25．（2026 黄冈模拟）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2上有三点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
26．（2026春 海淀区校级期末）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3
27．（2026 广宁县二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为___________________ ．
28．（2026 南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ．
29．（2026春 海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1_____ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
30．（2026 成都模拟）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若A（a，16）是“偶点”，则a＝ _______ ；若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ____________________ ．
31．已知函数．
（1）画出这个函数的图象．
（2）观察画出的函数图象，自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？
（3）观察画出的函数图象，函数y的值能否小于0？点（﹣2，3）在不在这个函数的图象上？
32．（2026 禄丰市二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象经过点（0，25）．
（1）求a的值；
（2）点P（m，n）在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标．
五．【创新及压轴题】（共3小题）
33．（2025秋 周村区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5，其中a≠0．
（1）写出该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求2x1+x2的值；
（3）若a＝﹣1，当m≤x≤m+2时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求m的值．
34．（2024秋 新城区校级月考）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣3|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）函数y＝||的自变量x的取值范围是 _________ ；
（2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中m＝__________________ ，n＝__________________ ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 9 0 m 3 n 0 9 …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（﹣1，m），（1，n）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
（3）下列关于该函数的说法，错误的是 _____ ．
A．函数图象是轴对称图形
B．当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大
C．函数值y都是非负数
D．若函数图象经过点（m，a）与（﹣m，b），则a＝b
（4）若点A（e，p），B（f，q）均在该函数图象上，且|f|＜|e|＜2，则p与q的大小关系是 ________ ．
35．（2025秋 北仑区期末）已知函数，其中n，a0，a1，a2， ，an都为正整数，且a0+a1+a2+ +an＝4，例如n＝1时，函数为y＝a0+a1x，且a0+a1＝4．
（1）若函数y是一次函数，请直接写出它的所有解析式；
（2）若a0＝2，且函数y是二次函数，求证：y＞0；
（3）小仑发现（1）（2）条件下的函数都相交于同一点，小仑猜想：不论n为何值，函数y的图象都经过一个定点．请你写出这个定点，并说明理由．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 _____________ ．（请用“＞”连接）
【练习 2】（2025秋 舟山期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜3时，则x的取值范围是 _____________ ．
【练习 3】（2026 常州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c，对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b，若该抛物线过点A（4﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 ____________________ ．
【练习 4】（2024秋 靖江市期末）已知点（﹣4，m），（﹣3，n）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上．若m＞n，则a_____ 0．（用“＞”或“＜”连接）
【练习 5】（2026春 浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则当x＝2时对应的函数值y＝_______ ．
课后巩固
复习建议
· · 画图像先定顶点、对称轴、与坐标轴交点，再对称取点
· · a定开口，c定y轴交点，b由对称轴和a共同决定
· · 比较y值先找对称轴，再比各点到对称轴的水平距离
· · 方程根个数、不等式解集都转化为图像交点与上下方
· · 见x=1想a+b+c，见x=-1想a-b+c，见对称轴想2a+b
【作业 1】（2026 高新区模拟）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3（m＜0），当﹣1≤x≤3时，2≤y≤n，则n的值为（　　）
A． B．3 C． D．
【作业 2】（2025秋 渝中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0
C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0
【作业 3】（2026 雁塔区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业 4】（2026 高新区校级三模）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【作业 5】（2026 靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【作业 6】（2024秋 吉林期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝_______ ．
【作业 7】（2023秋 金湾区校级月考）已知一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（2，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 ____________________ ．
【作业 8】（2026 香坊区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④4ac＜b2；⑤2a+b＝0．其中正确的结论的序号有________ ．
【作业 9】（2026 沛县模拟）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________ ．
【作业 10】（2025秋 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点．
（1）当y1＝y2＝c时，求x1+x2的值；
（2）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【作业 11】（2025秋 怀仁市月考）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）经过点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点（﹣2，y1）和点（2，y2）均在该抛物线上，请你比较y1，y2的大小．
第1页（共1页）第2讲 二次函数一般式(1) 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像
· · 掌握开口方向、对称轴、顶点坐标与增减性
· · 能根据图像判断a,b,c及相关代数式的符号
· · 会利用对称性比较抛物线上点的函数值大小
· · 会用数形结合求方程根的个数与不等式解集
知识梳理
☆ 1.二次函数y=ax +bx+c的图像
图像是抛物线，用描点法：列表→描点→连线
与y轴交点(0,c)，与x轴交点令y=0解一元二次方程
方程ax2+bx+c=m的根即抛物线与直线y=m交点横坐标
与一次函数共存时，由公共点(0,c)和开口方向综合判断
概念辨析例题：已知y=|x2-4|，方程|x2-4|=m恰有3个不等实根，求m
解析：y=|x2-4|与y轴交于(0,4)，直线y=4恰与其有3个交点
☆ 2.二次函数的性质
对称轴x=-，顶点(-, )
a>0开口向上顶点取最小值，a<0开口向下顶点取最大值
a>0时对称轴左侧递减右侧递增，a<0时相反
顶点式y=a(x-h)2+k直接读出顶点(h,k)与对称轴x=h
概念辨析例题：y=x2-bx+c对称轴为x=2，c=-4时求顶点坐标
解析：由对称轴得b=4，y=(x-2)2-8，顶点(2,-8)
☆ 3.图像与系数a,b,c的关系
a定开口方向与大小，b与a共同定对称轴位置（左同右异）
c定与y轴交点：c>0交正半轴，c<0交负半轴
对称轴x=-，由2a+b=0等判断b与a的关系
x=1看a+b+c，x=-1看a-b+c，Δ=b2-4ac定与x轴交点个数
概念辨析例题：对称轴x=1且开口向下，判断abc的符号
解析：a<0，b=-2a>0，c>0，故abc<0
☆ 4.图像上点的坐标特征
关于对称轴x=h对称的两点函数值相等，横坐标之和为2h
比较y值：a>0时离对称轴越远y越大，a<0时相反
两点纵坐标相同时，对称轴为两横坐标的平均数
点在抛物线上等价于坐标满足解析式，代入即得方程
概念辨析例题：A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)在y=-(x+1)2+m上，比较y1,y2,y3
解析：开口向下对称轴x=-1，A最近C最远，故y1最大y3最小
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
图像画法 列表→描点→连线 对称取点更简便
对称轴 x=- 顶点式为x=h
顶点坐标 (-, ) 顶点式(h,k)
a的符号 a>0向上，a<0向下 |a|定开口大小
b的符号 左同右异 与a共同定对称轴
c的符号 与y轴交于(0,c) 交y轴位置
判别式Δ Δ=b2-4ac 定与x轴交点个数
核心考点
【考点1】二次函数的图像（第1-6题）
· · 描点法先找顶点与坐标轴交点
· · 与一次函数共存看a符号和(0,c)
· · 方程根个数等于图像交点个数
· · 不等式解集看图像在x轴上下方
1．（2026 七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】联立函数得，解得x＝0或x＝1，得到二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a），即可得出答案．
【解答】解：联立得：，
∴ax2﹣a＝ax﹣a，
∴x2﹣x＝0，
解得：x＝0或x＝1，
当x＝0时，y＝﹣a，当x＝1时，y＝0，
∴二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a），
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象与交点问题，掌握相关知识是解题的关键．
2．（2026 兴庆区校级一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】解法一：分a＞0和a＜0，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；
解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：解法一：当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax+a的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确；
当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax+a的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误．
解法二：A项，由一次函数的增减性，知a＜0，由一次函数图象与y轴的交点，知a＞0，故A不符合题意；
B项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＞0，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知a＜0，由一次函数的图象，知a＞0，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＜0，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
3．（2025秋 虹口区期末）小丽为了画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出了如表（信息不全），那么m的值是　1　 ．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 m …
y … 10 5 1 5 10 …
【分析】根据二次函数的对称性，由点（﹣4，5）和（0，5）确定对称轴，再利用点（﹣5，10）和（m，10）关于对称轴对称求解m即可．
【解答】解：由点（﹣4，5）和（0，5）纵坐标相同，对称轴为．
所以，点（﹣5，10）和（m，10）也关于对称轴对称，
因此，
﹣5+m＝﹣4，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2024 福田区模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 　4　 ．
【分析】利用数形结合的数学思想，将方程的实数根转化为两个图象的交点问题即可解决问题．
【解答】解：令x＝0得，
y＝4，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与y轴的交点坐标为（0，4）．
方程|x2﹣4|＝m的实数根可以看成函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m有3个不同的交点．
如图所示，
当m＝4时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的图象，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
5．（2025秋 垦利区期中）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则m＝ 　3　 ．
【分析】由图知，抛物线与x轴交于（3，0），代入y＝﹣x2+2x+m求出m的值即可．
【解答】解：由图知，抛物线与x轴交于点（3，0），
将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m，得0＝﹣9+6+m，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
6．（2025秋 海珠区校级期中）已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴相交于点（0，3）．
（1）m＝　3　 ，该抛物线的顶点坐标为y＝﹣（x﹣1）2+4　 ；
（2）在直角坐标系中画出图象：列表取点；
x … …
y … …
（3）根据图象，直接写出不等式﹣x2+（m﹣1）x+m＜0的解集是x＜﹣1或x＞3　 ．
【分析】（1）先将x＝0，y＝3代入解析式即可求出m的值，再将二次函数写成顶点式即可．
（2）列表，然后画出函数图象；
（3）利用函数图象求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）
∴将x＝0，y＝3代入解析式，3＝﹣02+（m﹣1）×0+m，
∴解得m＝3，
此时抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，化为顶点式，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
故答案为：3，y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）先求抛物线与x轴交点，令y＝0，解方程﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，因式分解解得（x﹣3）（x+1）＝0，得x＝3或x＝﹣1，
列表取点，见下表：
根据表格描点、连线，画出抛物线（开口向下，顶点（1，4）），如图所示：
；
（3）不等式﹣x2+2x+3＜0的几何意义是：抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴下方的部分对应的x范围，由图象可知，抛物线在x＜﹣1或x＞3时位于x轴下方，
∴解集为x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了抛物线的解析式求解、顶点坐标计算、图象绘制，以及利用图象解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【考点2】二次函数的性质（第7-16题）
· · 对称轴x=-
· · 顶点式直接读(h,k)
· · a定开口与增减方向
· · 顶点处取最值
7．（2026 成都模拟）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列说法正确的是（　　）
A．b＝2
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．c＜﹣5
D．当c＝﹣4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣8）
【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当x＝﹣1时，y＞0，即可判断C选项，当c＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4，结合二次函数的性质即可判断D选项．
【解答】解：由题意可得：，
∴b＝4，故A选项错误；
∵二次函数y＝x2﹣bx+c的图象开口向上，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故B选项错误；
由图象可得当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+c＞0，
∴c＞﹣5，故C选项错误；
当c＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，此时抛物线的顶点坐标为（2，﹣8），故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
8．（2025秋 沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解．
【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意；
C、顶点坐标为，说法正确，符合题意；
D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．（2025秋 平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（2026春 金华期末）关于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣2
C．顶点坐标是（2，4）
D．x＞2时，y随x增大而增大
【分析】根据二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4，∴该函数图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝2，故选项B错误；
顶点坐标为（2，4），故选项C正确；
当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．（2025秋 临高县期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出二次函数函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断．
【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，，
∴对称轴在y轴左侧，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键．
12．（2025秋 海淀区校级期中）若抛物线y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1
【分析】求出函数的顶点坐标为（m+1，2m+4），再由第二象限点的坐标特点得到：m+1＜0，2m+4＞0即可求解．
【解答】解：∵y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4，
∴顶点为（m+1，2m+4），
∵顶点在第二象限，
∴m+1＜0，2m+4＞0，
∴﹣2＜m＜﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合第二象限内点的坐标特点求解是关键．
13．（2026 洛阳二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用抛物线对称轴判断即可．
【解答】解：抛物线对称轴为直线x0，
∴﹣b＞0，c＞0，
∴一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，
故不经过第四象限，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确掌握相关图形的性质是解题关键．
14．（2026 安阳县一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：　1（答案不唯一）　 ．
【分析】由当x＜1时，y随着x的增大而减小可知抛物线开口向上，据此写出一个a的值即可．
【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，a＞0，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15．（2025秋 丰南区期末）如图，抛物线L1，L2与直线y＝7分别交于A，C和B，D四点，且AB＝10，BC＝5，CD＝6．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则PQ的长是　8　 ．
【分析】如图，作两条抛物线的对称轴PE，QF，E，F在直线y＝7上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可．
【解答】解：如图，作两条抛物线的对称轴PE，QF，E，F在直线y＝7上，
由条件可知PQ＝EF，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
∴AC＝AB+BC＝15，BD＝BC+CD＝11，
结合抛物线的对称性可得：
AE＝CE＝7.5，BF＝DF＝5.5，
∴BE＝CE﹣BC＝2.5，
∴EF＝BE+BF＝8，
∴PQ＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（2025秋 通州区期末）抛物线y＝﹣x2+1的顶点坐标是　（0，1）　 ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式求解即可得．
【解答】解：由二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），则它的顶点坐标为（h，k）可得：
抛物线y＝﹣x2+1的顶点坐标是（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），则它的顶点坐标为（h，k）”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．
【考点3】图像与系数的关系（第17-22题）
· · a定开口，c定y轴交点
· · 对称轴定b与a关系
· · x=±1特殊点代入
· · Δ=b2-4ac判断交点
17．（2026 凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b+4a＝0
C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞0
【分析】观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，则可判断A选项；由图象可得对称轴为直线x＝﹣2，可判断B选项；由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为1，此时a+b+c＝0，可判断C选项；观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，可判断D选项．
【解答】解：观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，
故abc＜0，则A选项错误；
由图象可得对称轴为直线x2，
故b＝4a，则B选项错误；
由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣5）＝1，
此时a+b+c＝0，即a+4a+c＝0，
即5a+c＝0，则C选项错误；
观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，则D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性质，增减性质，掌握二次函数与系数的关系并准确从图象中获取信息是解题关键．
18．（2026 宿州二模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a+2b+4c＞0
D．对任意实数m，都有a（1﹣m2）+b（1﹣m）≤0恒成立
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，
抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故A正确，不符合题意；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＞0，故B正确，不符合题意；
∴﹣3a＜c，
∴a+2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c＜c+4c＝5c＜0，故C错误，符合题意；
∵当x＝1时，函数值最小，最小值为a+b+c，
∴对任意实数m，都有a+b+c≤am2+bm+c恒成立，即a+b≤am2+bm恒成立，
∴对任意实数m，都有a（1﹣m2）+b（1﹣m）≤0恒成立，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关键，正确进行计算是解题关键．
19．（2025秋 顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．2c﹣b＝0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＜0 D．3a+c＜0
【分析】根据二次函数图象与系数的关系对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，即1，
∴b＝﹣2a，a，
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴cb，
∴2c＜3b，
∴2c﹣b＜2b，
∴无法判定2c﹣b＝0成立，故A错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故B错误；
由图象可知当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故C错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
20．（2026 西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3，
∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴m．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键．
21．（2025秋 包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是k　 ．
【分析】根据抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，可知二次函数的开口向下，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，
∴抛物线开口向下，
∴2k﹣1＜0，
解得k．
故答案为：k．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解答此题的关键．
22．（2025 邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 m≥4　 ．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤2时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴直线x2，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴直线x2，即2
解得m≥4．
故答案为：m≥4．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
【考点4】图像上点的坐标特征（第23-32题）
· · 对称点横坐标之和=2h
· · 比大小看到对称轴距离
· · 纵坐标相同定对称轴
· · 点在抛物线上代入验证
23．（2026 海州区二模）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4）
【分析】由抛物线的对称性求得对称轴为直线x＝0，即可得到0，即a2﹣4a＝0，求得a＝4，即可求得a﹣5＝﹣1，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
【解答】解：∵（﹣m，n）和（m，n）两点关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x0，
∴0，即a2﹣4a＝0，
解得a＝4或a＝0（舍去），
∴a﹣5＝﹣1，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用对称轴公式求得a的值是解题的关键．
24．（2026 中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
【分析】根据抛物线的性质得：抛物线y＝﹣（x+1）2+m（m为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远，
∴y1最大，y3最小，
∴y3＜y2＜y1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
25．（2026 黄冈模拟）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2上有三点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
【分析】先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小判断纵坐标的大小关系．
【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1．
点（﹣2，y1）到对称轴的距离为|﹣2﹣1|＝3；
点（﹣1，y2）到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2；
点（2，y3）到对称轴的距离为|2﹣1|＝1；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且3＞2＞1，
∴y1＞y2＞y3；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（2026春 海淀区校级期末）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为二次函数的解析式为y，
所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1，
则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大．
因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上，
则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3，
所以y2＞y3＞y1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
27．（2026 广宁县二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　　 ．
【分析】根据对称轴可知a，b的关系式，进而即可求解．
【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线，
即，
解得b＝﹣3a，
将点（1，2c）代入二次函数得a+b+c＝a﹣3a+c＝2c，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
28．（2026 南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），
∴a﹣b＝m且a+b＝m+2，
∴2a＝2m+2．
∴a＝m+1＜0．
∴m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
29．（2026春 海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】先求出抛物线对称轴x＝2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，分别判断x1、x2到对称轴的距离长短，对比y1，y2大小，
【解答】解：y＝x2﹣4x+2，对称轴x2，
∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上，
1＜x1＜2，x1到对称轴距离：0＜|x1﹣2|＜1，
3＜x2＜4，x2到对称轴距离：1＜|x2﹣2|＜2，
x2离对称轴更远，函数值更大，故y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数对称轴、开口方向与函数值大小比较，熟练掌握抛物线上点到对称轴距离和函数值的变化规律是解题的关键．
30．（2026 成都模拟）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若A（a，16）是“偶点”，则a＝ 　14　 ；若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 　﹣1≤c　 ．
【分析】根据A（a，16）是“偶点”，根据“偶点”定义，点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），将x＝a，y＝16代入解方程组得到a＝14．由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，求得y＝x+2，得到“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线y＝x+2与抛物线y＝﹣3x2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤内有交点，将y＝x+2代入抛物线方程得得到，设，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为，当x＝2时，当x＝﹣1时，当x＝4时，求得f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为，于是得到结论．
【解答】解：已知A（a，16）是“偶点”，根据“偶点”定义，点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），
将x＝a，y＝16代入可得：，
解得a＝14或a＝﹣16，
∵x+y≠0，当a＝﹣16时，x+y＝﹣16+16＝0，不符合条件，舍去，
∴a＝14．
由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，
∴（x﹣y）（x+y）+2（x+y）＝0，
即（x+y）（x﹣y+2）＝0，
∵x+y≠0，
∴x﹣y+2＝0，即y＝x+2，
∴“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，
∴抛物线上至少存在一个“偶点”，
即直线y＝x+2与抛物线y＝﹣3x2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤4内有交点，
将y＝x+2代入抛物线方程得：，
整理得，
设，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为，
当x＝2时，；
当x＝﹣1时，f（﹣1）（﹣1）2﹣3×（﹣1）+2，
当x＝4时，f（4）42﹣3×4+2＝2．
∴f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为，
∵x+y≠0，
∴x≠﹣1，
∴c的取值范围是﹣1≤c．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．
31．已知函数．
（1）画出这个函数的图象．
（2）观察画出的函数图象，自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？
（3）观察画出的函数图象，函数y的值能否小于0？点（﹣2，3）在不在这个函数的图象上？
【分析】（1）根据所给函数解析式，画出函数图象即可；
（2）结合（1）中所画函数图象即可解决问题；
（3）根据所画函数图象进行观察即可．
【解答】解：（1）函数图象，如图所示，
；
（2）由函数图象可知，
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小；
（3）由函数图象可知，
函数y的值不能小于0；点（﹣2，3）不在这个函数的图象上．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
32．（2026 禄丰市二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象经过点（0，25）．
（1）求a的值；
（2）点P（m，n）在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标．
【分析】（1）把（0，25）代入表达式求出结论即可；
（2）先得出表达式，把P（m，n）代入表达式，根据分析得出m﹣2可取﹣3，﹣1，1，3，进而求出结论．
【解答】解：（1）把（0，25）代入y＝ax2﹣4ax﹣5a中得：
﹣5a＝25，
解得：a＝﹣5；
（2）∵a＝﹣5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣5x2+20x+25，
把P（m，n）代入y＝﹣5x2+20x+25得：n＝﹣5m2+20m+25，
∴n＝﹣5（m﹣2）2+45，
T
＝25（m﹣2）3+1，
∵m为整数，
∴25（m﹣2）3+1为整数，
又∵T的值为整数，
∴为整数，
∴m﹣2可取﹣3，﹣1，1，3，
①当m﹣2＝﹣3时m＝﹣1，此时n＝﹣5×（﹣1﹣2）2+45＝0，
∴P（﹣1，0），
②当m﹣2＝﹣1时m＝1，此时n＝﹣5×（1﹣2）2+45＝40，
∴P（1，40），
③当m﹣2＝1时m＝3，此时n＝﹣5×（3﹣2）2+45＝40，
∴P（3，40），
④当m﹣2＝3时m＝5，此时n＝﹣5×（5﹣2）2+45＝0，
∴P（5，0），
综上所述，点P的坐标为：（﹣1，0）或（1，40）或（3，40）或（5，0）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，
五．【创新及压轴题】（共3小题）
33．（2025秋 周村区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5，其中a≠0．
（1）写出该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求2x1+x2的值；
（3）若a＝﹣1，当m≤x≤m+2时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求m的值．
【分析】（1）利用对称轴公式可以得解；
（2）依据题意得，y＝ax2﹣4ax+5＝a（x2﹣4x）+5，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，又令x2﹣4x＝0，即x＝0或x＝4，则y＝5，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝4，进而代入计算可以得解；
（3）依据题意得，当a＝﹣1时，当a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，故当x＝2时，y取最大值为9；当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减，故可分①当m≥2时、②当m＜2＜m+2时和③当m+2≤2时，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣4ax+5
∴对称轴是直线x2；
（2）由题意得，y＝ax2﹣4ax+5＝a（x2﹣4x）+5，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣4x＝0，即x＝0或x＝4，则y＝5．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝4．
∴2x1+x2＝2×0+4＝4；
（3）由题意得，当a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9．
∴当x＝2时，y取最大值为9；当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
①当m≥2时，当x＝m时，y取最大值，y＝﹣m2+4m+5；当x＝m+2时，y取最小值，y＝﹣（m+2）2+4（m+2）+5＝﹣m2+9，
∴﹣m2+4m+5﹣（﹣m2+9）＝3．
∴m（不合题意，舍去），
②当m＜2＜m+2时，即0＜m＜2．
∴当x＝2时，y取最大值为9．
又当x＝m时，y取最小值，y＝﹣m2+4m+5或当x＝m+2时，y取最小值，y＝﹣（m+2）2+4（m+2）+5＝﹣m2+9，
∴9﹣（﹣m2+4m+5）＝3或9﹣（﹣m2+9）＝3．
∴m＝±或m＝2±，
∵0＜m＜2，
∴m和m＝2不合题意，舍去，
③当m+2≤2时，即m≤0时，当x＝m时，y取最小值，y＝﹣m2+4m+5；当x＝m+2时，y取最大值，y＝﹣m2+9，
∴﹣m2+9﹣（﹣m2+4m+5）＝3．
∴m（不合题意，舍去）．
综上，m或m＝2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键．
34．（2024秋 新城区校级月考）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣3|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）函数y＝||的自变量x的取值范围是 　任意实数　 ；
（2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中m＝　　 ，n＝　　 ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 9 0 m 3 n 0 9 …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（﹣1，m），（1，n）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
（3）下列关于该函数的说法，错误的是 B ．
A．函数图象是轴对称图形
B．当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大
C．函数值y都是非负数
D．若函数图象经过点（m，a）与（﹣m，b），则a＝b
（4）若点A（e，p），B（f，q）均在该函数图象上，且|f|＜|e|＜2，则p与q的大小关系是 p＜q ．
【分析】（1）由函数y＝||得x为任意实数．
（2）①当x＝﹣1时，y＝|x2﹣3|，即m，当x＝1时，y＝|x2﹣3|，即n．
②见解答过程．
③见解答过程．
（3）观察图形为轴对称图形，故A正确．当x＞0时，即＜0＜2这一段时，函数值y随在自变量x的增大而减小，故B错误．由绝对值≥0，知C正确．由图形关于y轴对称，故x＝m和x＝﹣m时，a＝b，故D正确．
（4）观察图形，当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．又|f|＜|e|＜2，故p＜q．
【解答】解：（1）由函数y＝||得x为任意实数，
故答案为：任意实数．
（2）①当x＝﹣1时，y＝|x2﹣3|，即m，
当x＝1时，y＝|x2﹣3|，即n，
故答案为：，．
②如图：A、B即为所描．
③如图．
（3）观察图形为轴对称图形，故A正确．
当x＞0时，即＜0＜2这一段时，函数值y随在自变量x的增大而减小，故B错误．
由绝对值≥0，知C正确．
由图形关于y轴对称，故x＝m和x＝﹣m时，a＝b，故D正确．
故选：B．
（4）观察图形，当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，
当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．
∵|f|＜|e|＜2，
∴p＜q．
故答案为：p＜q．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称图形，正确运用这些知识是解题关键．
35．（2025秋 北仑区期末）已知函数，其中n，a0，a1，a2， ，an都为正整数，且a0+a1+a2+ +an＝4，例如n＝1时，函数为y＝a0+a1x，且a0+a1＝4．
（1）若函数y是一次函数，请直接写出它的所有解析式；
（2）若a0＝2，且函数y是二次函数，求证：y＞0；
（3）小仑发现（1）（2）条件下的函数都相交于同一点，小仑猜想：不论n为何值，函数y的图象都经过一个定点．请你写出这个定点，并说明理由．
【分析】（1）由题意可知一次函数为y＝a0+a1x，且a0+a1＝4，a0、a1是正整数，则a0＝1时，a1＝3；a0＝2时，a1＝2；a0＝3时，a1＝1，即可求得函数的解析式为y＝1+3x，y＝2+2x，y＝3+x；
（2）若a0＝2，且函数y是二次函数，则y＝2+a1x+a2x2，由于2+a1+a2＝4，a1、a2是正整数，即可得出a1＝1，a2＝1，故二次函数为y＝x2+x+2，由于抛物线开口向上，Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，即可证得：y＞0；
（3）由a0+a1+a2+ +an＝4，可知函数，在x＝1时，y＝a0+a1+a2+ +an，所以函数图象都经过一个定点（1，4）．
【解答】（1）解：∵函数y是一次函数，
∴y＝a0+a1x，且a0+a1＝4，a0、a1是正整数，
∴a0＝1时，a1＝3；a0＝2时，a1＝2；a0＝3时，a1＝1，
∴函数的解析式为y＝1+3x，y＝2+2x，y＝3+x；
（2）证明：若a0＝2，且函数y是二次函数，
∴y＝2+a1x+a2x2，
∵2+a1+a2＝4，
∴a1+a2＝2，
∵a1、a2是正整数，
∴a1＝1，a2＝1，
∴二次函数为y＝x2+x+2，
∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴抛物线开口向上，且与x轴无交点，
∴对任意实数x，y＞0；
（3）解：不论n为何值，函数y的图象都经过一个定点（1，4），
理由：∵在函数中，x＝1时，y＝a0+a1+a2+ +an＝4，
∴函数图象都经过一个定点（1，4）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
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【练习 1】（2025秋 安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 a2＞a3＞a1 ．（请用“＞”连接）
【分析】画出直线x＝1与三条抛物线的交点，再结合图形即可解决问题．
【解答】解：作直线x＝1，与三条抛物线分别交于点A，B，C，
则点A坐标为（1，a2），点B坐标为（1，a3），点C坐标为（1，a1）．
由图象可知，
点A在点B的上方，点B在点C的上方，
所以a2＞a3＞a1．
故答案为：a2＞a3＞a1．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【练习 2】（2025秋 舟山期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜3时，则x的取值范围是 x＜﹣2或x＞0　 ．
【分析】先根据对称轴求出当y＝3时x的值，再求出y＜3时，x的取值即可．
【解答】解：∵对称轴为x＝﹣1，
∴当y＝3时，x＝0或﹣2，如图，
∴当y＜3时，x＜﹣2或x＞0．
故答案为：x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根据对称轴求出x的值是解题关键．
【练习 3】（2026 常州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c，对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b，若该抛物线过点A（4﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 m　 ．
【分析】根据题意可判断出抛物线的对称轴，开口方向，再由y1＜y2，可得|4﹣m﹣2|＜|m+1﹣2|，化简即可解答．
【解答】解：∵ax2+bx＞4a+2b，
可知当x＝2时，ax2+bx＝4a+2b，
ax2+bx+c＞4a+2b+c，
∴当x＝2时，抛物线函数值最小，
∴x＝2是对称轴，a＞0，开口向上，
∵y1＜y2，
∴|4﹣m﹣2|＜|m+1﹣2|，
∴|2﹣m|＜|m﹣1|
∴（2﹣m）2＜（m﹣1）2，
∴m2﹣4m+4＜m2﹣2m+1，
∴﹣2m＜﹣3，
∴．
故答案为：m．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是判断出抛物线的对称轴及开口方向．
【练习 4】（2024秋 靖江市期末）已知点（﹣4，m），（﹣3，n）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上．若m＞n，则a　＞　 0．（用“＞”或“＜”连接）
【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线x＝1，据此得出点（﹣4，m）和（﹣3，n）都在对称轴的左侧，最后根据m＞n即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax+c，
所以抛物线的对称轴为直线x．
因为﹣4＜﹣3＜1，且m＞n，
则在对称轴左侧y随x的增大而减小，
所以a＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【练习 5】（2026春 浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则当x＝2时对应的函数值y＝　﹣8　 ．
【分析】根据表格中的数据可以得到该函数图象的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到x＝2对应的函数值．
【解答】解：由表格可得，
当x＝﹣3时，y＝7，当x＝5时，y＝7，
∴该函数图象的对称轴为直线x1，
∴当x＝2和x＝0对应的函数值相等，
∵x＝0时，y＝﹣8，
∴x＝2时，y＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
课后巩固
复习建议
· · 画图像先定顶点、对称轴、与坐标轴交点，再对称取点
· · a定开口，c定y轴交点，b由对称轴和a共同决定
· · 比较y值先找对称轴，再比各点到对称轴的水平距离
· · 方程根个数、不等式解集都转化为图像交点与上下方
· · 见x=1想a+b+c，见x=-1想a-b+c，见对称轴想2a+b
【作业 1】（2026 高新区模拟）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3（m＜0），当﹣1≤x≤3时，2≤y≤n，则n的值为（　　）
A． B．3 C． D．
【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数性质判断给定区间内最小值和最大值的位置，利用最小值为2求出参数m，再计算最大值n即可
【解答】解：二次函数配方得：y＝mx2﹣4mx+3＝m（x﹣2）2+3﹣4m，
∵m＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴x＝2在区间﹣1≤x≤3内，开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，|3﹣2|＝1，|﹣1﹣2|＝3，
∴x＝﹣1处函数取得最小值，
∵﹣1≤x≤3时2≤y≤n，
∴x＝﹣1时，y＝2代入得 y＝m （﹣1）2﹣4m （﹣1）+3＝5m+3＝2，
解得 ，
∵开口向下的抛物线，顶点处取得最大值，即n为顶点的函数值，
∴顶点横坐标为x＝2，代入得：，
综上，当﹣1≤x≤3时，2≤y≤n，则n的值为．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 2】（2025秋 渝中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0
C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
根据二次函数图象可知，开口向上，
则a＞0，
由于该函数图象与y轴负半轴有交点，
则c＜0，
由图可知，对称轴为直线x1＞0，
则b＝﹣2a＜0，
故abc＞0，故A错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝4a＞0，故C错误；
由图象可知，当x＝2时，对应的函数值在x轴下方，
则4a+2b+c＜0，
故B正确，
根据图片可知，当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
所以D错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
【作业 3】（2026 雁塔区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；利用二次函数的性质可判断②；由x＝1时y取最大值可判断③；由x＝﹣2时y＞0可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，③正确；
由图象可知x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【作业 4】（2026 高新区校级三模）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论．
【解答】解：已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+m，
∴a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．
分别计算三个点到对称轴的距离：
点（﹣1，y1）的距离：|﹣1﹣2|＝3，
点（2，y2）的距离：|2﹣2|＝0，
点（4，y3）的距离：|4﹣2|＝2．
∵0＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键．
【作业 5】（2026 靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可．
【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越远则函数值越小，
题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．
【作业 6】（2024秋 吉林期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝　﹣6　 ．
【分析】由已知的图象可知二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，即可求出b，由二次函数图象与y轴交点即可求解．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交点为（0，3），
即c＝3，
对称轴为直线x＝﹣1，即，
解得：b＝﹣2，
∴bc＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的对称性是解答此题的关键．
【作业 7】（2023秋 金湾区校级月考）已知一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（2，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 y＝﹣2x2+8x﹣1（答案不唯一）．　 ．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y＝ax2﹣1，由开口向下知a＜0，据此写出一个即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝﹣2x2+8x﹣1，
故答案为：y＝﹣2x2+8x﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
【作业 8】（2026 香坊区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④4ac＜b2；⑤2a+b＝0．其中正确的结论的序号有　③④⑤　 ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②由图象可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
故②错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故④正确；
⑤对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
【作业 9】（2026 沛县模拟）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　3≤k＜4　 ．
【分析】由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，求得直线与抛物线相切时和直线过点（3，0）时的k的值，结合图象即可求得．
【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，
令y＝﹣x2+3x＝0，解得x＝0或3，
∴二次函数y＝﹣x2+3x的图象与x轴的交点为（0，0），（3，0），
令﹣x2+3x＝k﹣x，
方程整理得x2﹣4x+k＝0，
当直线y＝k﹣x与抛物线相切时，Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
当直线过点（3，0）时，0＝k﹣3，
解得k＝3，
∴若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为3≤k＜4．
故答案为：3≤k＜4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
【作业 10】（2025秋 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点．
（1）当y1＝y2＝c时，求x1+x2的值；
（2）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）求出抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合y1＝y2＝c得出点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝2对称，即可得出结果；
（2）分两种情况：若a＞0，则a+2＞2；若a＜0，则a+2＜2；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果．
【解答】解：（1）由条件可知抛物线的对称轴为直线．
∵y1＝y2＝c，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝2对称．
∴x1+x2＝4．
（2）若a＞0，则a+2＞2．
当x≤2时，y随着x的增大而减小；当x≥2时，y随着x的增大而增大．
∵当a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3时，y1＜y2总成立，且﹣a+4是a关于对称轴直线x＝2的对称点的横坐标，
∴﹣a+4≤a+2或a≥2．
∴a≥1．
若a＜0，则a+2＜2．
当x≤2时，y随着x的增大而增大；当x≥2时，y随着x的增大而减小．
∵当a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3时，y1＜y2总成立，且1﹣a是a+3关于对称轴直线x＝2的对称点的横坐标，
∴1﹣a≥a+2或a+3≤2．
∴．
综上，a的取值范围是a≥1或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【作业 11】（2025秋 怀仁市月考）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）经过点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点（﹣2，y1）和点（2，y2）均在该抛物线上，请你比较y1，y2的大小．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据（1）所求得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）经过点A（2，1）．
∴1＝4a﹣4+1，
解得：a＝1；
（2）∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵|﹣2﹣1|＝3，|2﹣1|＝1，3＞1，点（﹣2，y1）和点（2，y2）均在该抛物线上，
∴y1＞y2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出a＝1是解题的关键．
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