资源简介

第4讲 二次函数与一元二次方程 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种形式及互化
· · 会用配方法把一般式化为顶点式
· · 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用Δ判断交点个数
· · 会由抛物线与x轴交点求对应方程的根
· · 会用图象法（函数值符号变化）估计一元二次方程的近似根
知识梳理
☆ 1.二次函数的三种形式与互化
一般式y=ax2+bx+c（a≠0）
顶点式y=a(x-h)2+k，顶点(h,k)，对称轴x=h
交点式y=a(x-x1)(x-x2)，x1,x2为与x轴交点横坐标
配方法：先提a，再配一次项系数一半的平方
概念辨析例题：把y=-2x2+4x+3化成顶点式
解析：y=-2(x2-2x)+3=-2(x-1)2+2+3=-2(x-1)2+5
☆ 2.抛物线与x轴的交点
令y=0得ax2+bx+c=0，方程的根即交点横坐标
Δ=b2-4ac>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点
两交点间距离|x1-x2|=
与y轴交点恒为(0,c)
概念辨析例题：抛物线y=x2-2x+1与坐标轴有几个交点
解析：Δ=0与x轴切于(1,0)，与y轴交于(0,1)，共2个
☆ 3.二次函数与一元二次方程的关系
方程ax2+bx+c=0的根等价于抛物线与x轴交点横坐标
方程ax2+bx+c=m的根等价于抛物线与直线y=m交点横坐标
由表格对称数据可反推对称轴与方程根
y<0（或>0）的解集等价于图像在x轴下方（或上方）的x范围
概念辨析例题：表格中x=0和x=2时y都=-3，求ax2+bx+c=-9的根
解析：对称轴x=1，点(3,-9)关于x=1的对称点为(-1,-9)
☆ 4.图象法求一元二次方程的近似根
若区间端点函数值异号，则区间内必有一个根
取y=0两侧最近的两个x，根在它们之间
函数值越接近0，对应的x越接近根
连续抛物线从负变正（或正变负）处必有零点
概念辨析例题：x=1.2时y=-0.49，x=1.3时y=0.04，求方程ax2+bx+c=0根的范围
解析：函数值由负变正，根在1.2与1.3之间
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知三点待定
顶点式 y=a(x-h)2+k 读顶点(h,k)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 需已知两交点
判别式Δ Δ=b2-4ac 定与x轴交点个数
交点与方程根 方程根=交点横坐标 令y=0
与直线y=m交点 解方程ax2+bx+c=m 数形结合
近似根 端点函数值异号区间 取最接近0处
核心考点
【考点1】二次函数的三种形式（第1-10题）
· · 一般式/顶点式/交点式互化
· · 配方法先提a再配方
· · 顶点式直接读顶点对称轴
· · 展开比较系数求b,c,k
1．（2025秋 沭阳县校级月考）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
【分析】先利用配方法把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6
＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2（x2﹣2x+1）﹣8
＝2（x﹣1）2﹣8．
故此函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣8）．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．
2．把二次函数y＝2x2﹣（x+1）2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
【分析】利用完全平方公式、合并同类项把二次函数化为一般形式，再根据二次项系数、一次项系数、常数项的概念解答．
【解答】解：y＝2x2﹣（x+1）2
＝2x2﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x﹣1，
二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确理解二次函数的一般式化是解题的关键
3．（2025 泸县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式即可；
（2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后用描点法画出二次函数图象；
（3）分别计算出自变量为﹣2和2对应的函数值，由于x＝1时，y有最大值4，从而可确定当﹣2＜x＜2时y的取值范围为﹣5＜x≤4．
【解答】解；（1）y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（3）∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
而x＝1时，y有最大值，最大值为4，
∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣5＜x≤4．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：熟练掌握用一般式、顶点式或交点式表示二次函数是解决问题的关键．也考查了二次函数的图象与性质．
4．（2025秋 承德月考）一道习题及其错误的解答过程如下：
将二次函数y＝﹣2x2+4x+3通过配方化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 解：y＝﹣2x2+4x+3 ＝﹣2（x2+2x）+3…第①步 ＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3…第②步 ＝﹣2（x+1）2﹣1+3…第③步 ＝﹣2（x+1）2+2…第④步
（1）这道习题的解答过程最先开始出现错误的步骤是第　①　 （填序号）步，正确值为　1　 ，k的值为　5　 ；
（2）用配方法解一元二次方程：﹣2x2+4x+3＝0．
【分析】（1）分析二次函数配方过程中的错误步骤，再正确配方得到h和k的值；
（2）利用配方法将一元二次方程转化为完全平方式求解．
【解答】解：（1）①出现错误的是第①步，
正确过程：
y＝﹣2x2+4x+3
＝﹣2（x2﹣2x）+3
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝﹣2（x﹣1）2+2+3
＝﹣2（x﹣1）2+5
故h＝1，k＝5
故答案为：①，1，5；
（2）﹣2x2+4x+3＝0，
，
，
即，
，
解得或．
【点评】本题考查了二次函数的配方变形及一元二次方程的配方法求解，解题的关键是掌握配方时的系数处理规则．
5．（2026 大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把含x的项提取二次项的系数，再整理成完全平方式，进而整理成和原来的式子相等的式子即可．
【解答】解：yx2﹣6x+21
（x2﹣12x+36）﹣18+21
（x﹣6）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查和二次函数的三种形式相关的问题．用到的知识点为：把二次函数的一般形式整理成顶点式，应先把含x的项提取二次项的系数；整理成完全平方形式的时候，常数应该是一次项系数一半的平方．要注意得到的式子应该和原来的式子相等．
6．已知两个正数的和为50，设其中一个数为x，它们的积为y，则y关于x的函数表达式为y＝　﹣x2+50x ，当x＝　25　 时，y最大＝　625　 ．
【分析】两个正数的和为50，设其中一个数为x，另一个数为（50﹣x），根据题意列出解析式进行解答即可．
【解答】解：由题意，得y＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x2﹣50x+625）+625＝﹣（x﹣25）2+625，
∴当x＝25时，y最大＝625．
故答案为：﹣x2+50x，25，625．
【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式、二次函数的图象与性质，熟练掌握三种表达式是解答本题的关键．
7．（2025秋 西城区校级期中）用配方法将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y　 ．
【分析】据配方法求解即可．
【解答】解：
．
故答案为：y．
【点评】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
8．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，当x＝　1　 时，y的值最小，最小值是　﹣6　 ．
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值是﹣6，
故答案为：1，﹣6．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
9．（2025秋 拱墅区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数．
（1）分别求b，c，x1，k的值；
（2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小．
【分析】（1）利用二次函数的三种形式，把顶点式和交点式展开后，即可得到b＝﹣（x1+1）＝4，c＝x1＝﹣4+k，解得b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1；
（2）求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，
∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+（x1+1）x﹣x1＝﹣x2+4x﹣4+k，
∴b＝x1+1＝4，c＝﹣x1＝﹣4+k，
∴b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1；
（2）∵b＝4，c＝﹣3，
∴y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3）在函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象上，
∴点A（﹣1，y1），C（5，y3）关于直线x＝2对称，
∴y2＞y1＝y3．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2025秋 右玉县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点A，点B（m，1）在抛物线上．
（1）将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式．
（2）直接写出△OAB的面积．
【分析】（1）二次函数的顶点形式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），据此即可获得答案；
（2）首先确定点A坐标，易得OA＝4，再确定点B的坐标为（﹣1，1）或（3，1），然后根据，分情况计算，即可获得答案．
【解答】解：（1）将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式为y＝﹣（x﹣1）2+5；
（2）对于抛物线y＝﹣x2+2x+4，
∴OA＝4，
将点B（m，1）代入y＝﹣x2+2x+4，
可得﹣m2+2m+4＝1，解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴点B的坐标为（3，1），
可有，
综上所述，△OAB的面积为6．
【点评】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数与三角形的综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
【考点2】抛物线与x轴交点（第11-27题）
· · Δ=b2-4ac定交点个数
· · 令y=0解方程求交点
· · 两交点距离|x1-x2|
· · 区间交点问题数形结合
11．（2025春 虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式．
【分析】先设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，然后由根与系数关系，x1+x22，x1 x2，然后根据10，求出a的值即可．
【解答】解：设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，
由根与系数关系：x1+x22，x1 x2，
∴xx（x1+x2）2﹣2x1 x2＝（﹣2）2﹣2，
依题意得：10，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练运用根与系数关系是解题的关键．
12．（2025秋 天津期末）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下
B．抛物线与y轴交于点（0，﹣1）
C．当x＝1时，y取最大值
D．抛物线与x轴没有交点
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，0），对称轴是直线x＝1，根据a＝﹣1＜0，得出开口向下，当x＜1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．
【解答】解：A，由抛物线可看出a＝﹣1＜0，故开口向下，故A正确．不符合题意；
B，因为c＝1，所以抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故B正确，不符合题意；
C，因为对称轴是直线x＝1，所以当x＝1时，y取到最大值0，故C正确，不符合题意；
D，因为Δ＝0，所以抛物线与x轴有一个交点，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
13．（2026 南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点，再根据抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为2个．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点．
∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为1+1＝2（个）．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2024秋 广安校级期末）将抛物线y＝3x2的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得图象与x轴交点坐标为　（﹣3，0），（﹣5，0）　 ．
【分析】由题意知所得图象的解析式为y＝3（x+4）2﹣3，令y＝0，得3（x+4）2﹣3＝0，求出x的值，进而可得答案．
【解答】解：由题意知，所得图象的解析式为y＝3（x+4）2﹣3，
令y＝0，得3（x+4）2﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣5，
∴所得图象与x轴交点坐标为（﹣3，0），（﹣5，0）．
故答案为：（﹣3，0），（﹣5，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2025秋 桐乡市期末）已知二次函数y＝x2+2x+c，当﹣2＜x＜2时，该函数图象与x轴有且只有一个交点，则c的取值范围是　﹣8＜c≤0或c＝1　 ．
【分析】根据题意可知有两种情况，第一种当顶点在x轴上时，满足与x轴只有一个交点；第二种，根据二次函数图象的平移规律，将图象向下平移，在﹣2＜x＜2时的临界点为（﹣2，0），（2，0），代入求出c的值，再利用数形结合即可求解．
【解答】解：已知二次函数y＝x2+2x+c，当﹣2＜x＜2时，该函数图象与x轴有且只有一个交点，
因为该二次函数y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，即该函数图象的对称轴为x＝﹣1，
如图，当二次函数y＝x2+2x+c的顶点在x轴上时，图象与x轴只有一个交点，即过（﹣1，0），
则（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0，解得c＝1；
当x＝﹣2，y＝0时，（﹣2）2+2×（﹣2）+c＝0，解得c＝0，
当x＝2，y＝0时，22+2×2+c＝0，解得c＝﹣8，
当﹣8＜c≤0时，二次函数y＝x2+2x+c的图象在﹣2＜x＜2时，与x轴只有一个交点；
故答案为：﹣8＜c≤0或c＝1．
【点评】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点个数，找到临界点和数形结合是解题的关键．
16．（2025 长春模拟）若抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，则c的取值范围是c　 ．
【分析】依据题意，由抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，从而Δ＝1﹣4×（﹣2） （﹣c）≥0，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，
∴Δ＝1﹣4×（﹣2） （﹣c）≥0．
∴c．
故答案为：c．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式来进行判断是关键．
17．（2025秋 舟山期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx的图象的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程﹣x2+bx＝t（b，t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是　﹣5＜t≤4　 ．
【分析】根据对称轴求出b的值，然后求y＝﹣x2+bx与y＝t在x的范围内有交点问题即可．
【解答】解：∵对称轴为直线x2，
解得b＝4，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴在1＜x＜5时，﹣5＜y≤4，
则方程﹣x2+bx＝t（b，t为实数）的解相当于y＝﹣x2+bx与直线y＝t的交点，
∴当﹣5＜t≤4时，在1＜x＜5的范围内有解，
故答案为：﹣5＜t≤4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
18．（2023秋 余姚市校级期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点D的坐标为 　（﹣7，）　 ．
【分析】由抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，利用勾股定理的逆定理证得∠ACB＝90°，即可得出∠BAC+∠ABC＝90°，由∠ACD+2∠ABC＝180°，得出2∠BAC＝∠ACD，作AE⊥x轴，交CD的延长线于E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，根据轴对称的性质得出AF＝EF＝OC＝3，从而求得E（﹣9，﹣6），利用待定系数法求得直线CD的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得D的坐标．
【解答】解：∵抛物线yx2x﹣3与x轴交于点A和点B两点，
∴当y＝0时，x2x﹣3＝0，
解得x＝﹣9或1，
∴A（﹣9，0），B（1，0），
∴AB＝10，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵AC2＝92+32＝90，BC2＝12+32＝10，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴2∠BAC+2∠ABC＝180°，
∵，
∴2∠BAC＝∠ACD，
作AE⊥x轴，交CD的延长线于E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB，
∴CF⊥AE，
∴AF＝EF＝OC＝3，
∴E（﹣9，﹣6），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3，
把E的坐标代入得，﹣6＝﹣9k﹣3，
∴k，
∴直线CD的解析式为yx﹣3，
解得或，
∴点D的坐标为（﹣7，），
故答案为：（﹣7，）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，证得2∠BAC＝∠ACD是解题的关键．
19．（2025秋 临漳县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系：
x … 0 1 2 3 …
y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 …
则方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为 x1＝3，x2＝﹣1　 ．
【分析】根据图表中的数据可以推知该抛物线的对称轴是直线x＝1，所以由抛物线的轴对称性质求得点（3，﹣9）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣9）．由此得到答案．
【解答】解：由图中数据可知：该抛物线的对称轴是直线x＝1，
则点（3，﹣9）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣9）．
所以方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为x1＝3，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．
20．（2025秋 兴庆区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤b2﹣4ac＜0．其中正确的命题有　①③④　 ．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①说法正确；
∵b＝2a
∴2a+b＝4a＞0，②说法不正确；
∵抛物线与x轴交于（1，0），
∴a+b+c＝0，即3a+c＝0，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且开口向上，
∴函数最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴m（am+b）≥a﹣b，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，⑤说法不正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握其相关知识点是解题的关键．
21．（2026春 江汉区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m ﹣2 ﹣2 n …
①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝1的两个根；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2；④；⑤方程|ax2+bx+c|＝k有四个不相等的实数根，则．其中，正确的结论是　①②③　 ．
【分析】根据表格信息，推导出c＝﹣2，对称轴为直线，根据题干描述，推导出，
结合二次函数的图象和性质，得出函数图象的顶点坐标情况，判断结论①；由函数对称的性质，判断出结论②和③；由m+n＝4a﹣4，结合，判断结论④；由|ax2+bx+c|＝k有四个不相等的实数根，得出0＜k＜|ymin|，即，结合，判断结论⑤．
【解答】解：观察表格，当x＝0时，y＝﹣2，
即可得出c＝﹣2，
又∵x＝0和x＝1时，对应函数值相同，
即点（0，﹣2）与点（1，﹣2）关于函数对称轴对称，
可得函数对称轴为直线，
故，
∴b＝﹣a，
原函数表达式可为y＝ax2﹣ax﹣2，
当时，函数，
化简得，
解得，即a＞0，
故函数开口向上，对称轴为直线，
∴其顶点坐标纵坐标一定小于﹣2，
故函数图象的顶点在第四象限内，结论①正确；
∵函数对称轴为直线，
故横坐标为﹣2的点关于直线对称的点横坐标为3，
故﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，结论②正确；
对于点（﹣8，y1），点（8，y2），
∵函数开口向上，对称轴为直线，
明显点（﹣8，y1）到对称轴的距离更远，
故y1＞y2，结论③正确；
当x＝2时，n＝a×22﹣2a﹣2＝2a﹣2，
当x＝﹣1时，m＝a（﹣1）2﹣a（﹣1）﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵，
∴，故结论④错误；
当时，函数，
若|ax2+bx+c|＝k有四个不相等的实数根，
则|y|＝k有四个不相等的实数根，
则0＜k＜|ymin|，
∴，
即，
∵，
∴无上限，故结论⑤错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．（2026秋 柯城区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c．
（1）若b＝2，c＝2，求抛物线的顶点坐标．
（2）若b＝2，当﹣1≤x≤2时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，求c的取值范围．
（3）若抛物线上存在一点P（x0，y0），在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点．
【分析】（1）把b＝2，c＝2代入y＝﹣x2+bx+c，再配方成顶点式求解即可；
（2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，分顶点在x轴上和﹣1≤x≤2内仅有一个交点两种情况讨论，结合端点处的函数值求解，再分别验证c＝0和c＝3即可；
（3）将点P的坐标代入抛物线解析式，用x0，y0表示c，代入判别式配方，结合y0＞0证明判别式大于0．
【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3）；
（2）由题意得，y＝﹣x2+2x+c，
对称轴为直线x1，
且x＝1在﹣1≤x≤2范围内，
①当抛物线的顶点在x轴上时，则Δ＝22﹣4×（﹣1）×c＝0，
解得c＝﹣1；
②当抛物线与x轴有两个不同交点时，要使在﹣1≤x≤2内恰有一个交点，
则x＝﹣1和x＝2对应的函数值异号，
当x＝2时，y＝﹣4+4+c＝c，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2+c＝c﹣3，
∴（c﹣3）c＜0，
，
解得0＜c＜3；
或，无解；
当c＝0时，y＝﹣x2+2x，令y＝0，则﹣x2+2x＝0
解得x＝0或x＝2，不符合在﹣1≤x≤2时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，
当c＝3时，y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0
解得x＝﹣1或x＝3，符合在﹣1≤x≤2时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点（﹣1，0），
综上：c＝﹣1或0＜c≤3；
（3）证明：∵点P（x0，y0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，即
对于一元二次方程﹣x2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4×（﹣1） c＝b2+4c
将c代入得：
∵点P在x轴上方，
∴y0＞0
又∵，
∴
∴方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个交点．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确地理解题意是解题的关键．
23．（2026 潍坊模拟）已知y与x满足二次函数（m为常数）．
（1）若点（4，1）在该函数图象上，则m＝　﹣2　 ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）若该函数图象上有两个点A（﹣m+2，y1），B（﹣m+p，y2），当y1＜y2时，请直接写出p的取值范围．
【分析】（1）将点代入即可求解；
（2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．
【解答】（1）解：将（4，1）代入，
得：；
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）证明：
＝m2+2m+2
＝（m+1）2+1
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+1≥1＞0，
∴Δ＞0，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）解：的对称轴为直线x＝﹣m，
∵二次项系数，
∴二次函数图象开口向上，
∵y1＜y2，
∴点A（﹣m+2，y1）到对称轴的距离小于点B（﹣m+p，y2）到对称轴的距离，
∴|﹣m+2﹣（﹣m）|＜|﹣m+p﹣（﹣m）|，
即|p|＞2，
∴p＞2或p＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24．（2026 德州一模）已知抛物线y＝﹣x2+ax+1（a为常数）经过点（3，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值；
（3）直线l1：y＝2x+t（t为常数），向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线y＝﹣x2+ax+1（m≤x≤n）的一段夹在直线l1，l2之间，求n﹣m的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；
（2）设B（m，t），可得C（2m，t），再根据二次函数的对称性可得，即得，进而代入到函数解析式解答即可求解；
（3）由直线l1与抛物线相切时得t＝2，即得此时直线l1：y＝2x+2，得到直线l2：y＝2x﹣7，再由2x﹣7＝﹣x2+4x+1得x1＝4，x2＝﹣2，即得m＝﹣2，n＝4时n﹣m取最大值，代入计算即可求解．
【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+ax+1（a为常数）经过点（3，4）．
把（3，4）代入y＝﹣x2+ax+1得4＝﹣32+3a+1
解得：a＝4
∴y＝﹣x2+4x+1；
（2）设B（m，t），
∵点B恰为线段AC的中点，
∴C（2m，t），
由题意可得：对称轴为直线x＝2，
∵点B、C关于对称轴对称，
∴，
解得，
当时，，
∴t的值为；
（3）当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，n﹣m的值最大，如图，
∴2x+t＝﹣x2+4x+1，
即x2﹣2x+t﹣1＝0，
由b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（t﹣1）＝0，解得t＝2，
∴此时直线l1：y＝2x+2，
∵直线l1：y＝2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，
∴直线l2：y＝2x﹣7
由2x﹣7＝﹣x2+4x+1，解得x1＝4，x2＝﹣2，
∵m＜2＜n，
∴当m＝﹣2，n＝4时，
∴n﹣m的最大值＝4﹣（﹣2）＝6．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
25．（2026 沛县模拟）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式计算即可；
（2）设点P（1，m），直线PA与y轴交于点D，根据S△PCA＝S△ACD+S△PCD解题．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
顶点横坐标为，此时y＝﹣1+2+3＝4，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）当x＝0时，y＝3，即C（0，3），
设点P（1，m），直线PA与y轴交于点D，如图，
设直线PA的解析式为y＝kx+n，则D（0，n），
代入P（1，m），A（﹣1，0），有
，
解得，
∴，
∴，
∵S△PCA＝S△ACD+S△PCD
，
∴点P是抛物线对称轴上一点，则，
解得m＝﹣4或m＝16，
∴若S△PCA＝5，则P（1，﹣4）或P（1，16）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）由题意得，点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，连接BC交该抛物线的对称轴于点Q，此时点Q即为所求．利用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x＝﹣1代入直线BC的解析式求出y的值，进而可得Q点的坐标．
（3）设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，则点D的坐标为（m，m+3），DP＝﹣m2﹣3m，△PBC的面积为S△BDP+S△CDP，可知当m时，△PBC的面积取得最大值，最大值为，进而可得答案．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）存在．
令x＝0，得y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x1，
连接BC交该抛物线的对称轴于点Q，连接AQ，
此时△QAC的周长为QA+QC+AC＝QB+QC+AC＝BC+AC，为最小值，
∴点Q即为所求．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3．
将x＝﹣1代入y＝x+3，得y＝2，
∴Q点的坐标为（﹣1，2）．
（3）存在．
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0，
过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，
∴点D的坐标为（m，m+3），
∴DP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m．
∴△PBC的面积为S△BDP+S△CDP，
∴当m时，△PBC的面积取得最大值，最大值为，
∴点P的坐标为（）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（2025秋 魏县期末）如图，嘉嘉用判别式Δ判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式Δ，是可以知道原函数的．”
（1）该二次函数的一次项系数b＝　﹣4　 ，常数项c＝　﹣1　 ；
（2）该二次函数图象与x轴有　2　 个交点；
（3）当x＝2时，求y的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可得出b＝﹣4，c＝﹣1．
（2）根据根的判别式即可得出答案．
（3）先得出二次函数解析式，再把x＝2代入二次函数解析式即可求出y．
【解答】解：（1）根据Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
可知b＝﹣4，c＝﹣1．
∴该二次函数的一次项系数b＝﹣4，c＝﹣1．
故答案为：﹣4；﹣1；
（2）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴该二次函数图象与x轴的有2个交点．
故答案为：2；
（3）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1．
∴y＝x2﹣4x﹣1，
当x＝2时，y＝22﹣4×2﹣1＝4﹣8﹣1＝﹣5．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【考点3】图象法求一元二次方程的近似根（第28-35题）
· · 找函数值正负变号区间
· · 根在异号端点之间
· · 函数值越近0越接近根
· · 利用对称性补全根
28．（2025秋 东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是　1.2＜x＜1.3　 ．
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围．
【解答】解：从表中可以看出，
∴当y＝0对应的x的值一定有1.2＜x＜13，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是1.2＜x＜1.3．
故答案为：1.2＜x＜1.3．
【点评】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可．
29．（2025秋 绍兴校级月考）已知函数y＝（x+1）2﹣4，请按要求填空或解答问题：
（1）函数图象的对称轴是直线 x＝﹣1　 ，顶点坐标是 　（﹣1，﹣4）　 ．
（2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值y＜0；
（3）利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程（x+1）2﹣4＝2的近似解（精确到0.1）．
【分析】（1）直接根据二次函数的性质求解即可；
（2）用五点法画图，再根据图象作答即可；
（3）根据图象求解即可．
【解答】解：（1）函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
故答案为：x＝﹣1，（﹣1，﹣4）；
（2）
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0
如图，
由图象可知，当﹣3＜x＜1时，函数值y＜0；
（3）方程（x+1）2﹣4＝2近似解即为y＝（x+1）2﹣4与y＝2的交点横坐标，由图象可知，x1≈﹣3.4，x2≈1.4．
【点评】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值，正确记忆相关知识点是解题关键．
30．（2023秋 上虞区期末）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题SHEJITI 由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1 y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 A，D ．（从以下选项中选2个即可）
例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6．
A．数形结合
B．分类讨论
C．统计思想
D．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间．
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值 　13　 　3　 　﹣1　 　1　
（3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况．
【分析】（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）根据抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，2），即可判断抛物线与x轴有两个交点，从而判断方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
【解答】解：（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是A，D．
故答案为：A，D；
（2）填表如下：
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1
∴﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）∵y＝ax2+bx+2，
∴当x＝0时，y＝2，
又∵a＜0，
∴方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是明确方程与函数的关系．
31．（2026 项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　）
x 6.7 6.8 6.9 7.0
y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6
A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0的根对应二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间6.8＜x＜6.9，再结合区间内函数值与0的接近程度，判断近似根更靠近6.8．
【解答】解：观察表格：
当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0；
当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远；
又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间，
∴x＝6.8对应的函数值更接近0，
∴一元二次方程的一个近似根是6.8．
故选：B．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握该知识点是关键．
32．（2025秋 高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值：
x ﹣1 0 1 2 3 4
y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　）
A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0
【分析】根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可．
【解答】解：根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0；
又∵二次函数的图象是连续的抛物线；
∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围．
33．（2021秋 康巴什校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+2 … ﹣10 ﹣3 2 5 5 …
下列结论：①点B的坐标是（2，2）；②这个函数的最大值大于5；③ax2+bx＝﹣1有一个根在4与5之间；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
【解答】解：将（﹣1，﹣3），（1，5）代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，6），
∴对称轴为直线x＝2，函数的最大值为6，
∴点B的坐标是（4，2）；故①错误，②正确．
把x＝4代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝2，
把x＝5代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝1交点的横坐标在4与5之间，
∴ax2+bx＝﹣1有一个根在4与5之间，故③正确；
∵0＜x1＜1，4＜x2＜5，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴y1＞y2．故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
34．（2026春 深圳月考）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值：
x … 0.25 0.5 0.75 1 …
y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 …
估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ．
【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点．
由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，
由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0，
因此0.5＜x＜0.75．
故答案为：0.5＜x＜0.75．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
35．（2025秋 岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2+4x+3＝0的近似解是x1＝﹣1，x2＝﹣3　 ．
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解，可得答案．
【解答】解：函数y＝x2﹣4x+3的图象与函数y＝x2+4x+3的图象关于y轴对称，
观察函数y＝x2﹣4x+3的图象，得图象与x轴的交点分别是（1，0），（3，0），
∴函数y＝x2+4x+3的图象与x轴的交点分别是（﹣1，0），（﹣3，0），
∴方程x2+4x+3＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了图象法求方程的近似解，函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解．
四．创新及压轴题（共3小题）
36．（2026 海淀区校级竞赛）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1．
（1）若该二次函数图象经过原点（0，0），求该二次函数的顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
【分析】（1）已知函数图象过原点，将原点坐标代入函数解析式，求出m的值，再把函数化为顶点式，就能得到顶点坐标．
（2）要证明函数图象与x轴总有两个公共点，只需计算判别式Δ，通过对Δ变形，利用平方数的非负性证明Δ＞0；
（3）先根据抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出对称轴，进而得到m与n的关系，结合m＜0得到n的初步范围；再依据抛物线开口方向以及m﹣1＞q＞p，分析点B和点C到对称轴的距离关系，进一步确定n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2mx+m﹣1过原点（0，0），
∴代入得0＝m﹣1，解得m＝1．
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
（2）∵y＝x2+2mx+m﹣1，
∴Δ＝（2m）2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3．
∵（2m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（2m﹣1）2+3＞0，
故函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，且m﹣1＞q＞p，
二次函数对称轴为x＝﹣m，点A（n﹣4，p）、C（n，p）纵坐标相同，
∴对称轴为x＝n﹣2，即﹣m＝n﹣2，得m＝2﹣n．
由m＜0，得2﹣n＜0，n＞2．
∵a＝1＞0，抛物线开口向上，且m﹣1＞q＞p，
∴点B（2，q）到对称轴x＝n﹣2的距离|2﹣（n﹣2）|＝n﹣4，
点C（n，p）到对称轴距离为2．
由n﹣4＞2，得n＞6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的顶点式、二次函数与x轴的交点（判别式的应用）、二次函数的对称性等知识点．运用了方程思想（求m的值）、转化思想（将函数与x轴交点问题转化为判别式的计算）、数形结合思想（借助抛物线的对称性和开口方向分析点的位置关系）．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，易错点是在利用二次函数对称性分析点到对称轴距离时，易忽略n的取值范围对距离计算的影响．
37．（2026 西湖区校级三模）【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解．
思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1 y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表：
x的值 0 1 2 3
y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围．
【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围；
（2）将x＝﹣4和x＝﹣5分别代入y＝x2+4x+m得到y1、y2，根据y1y2＜0，结合判别式大于0求出m的取值范围．
【解答】解：（1）将x1＝1代入得，y1＝﹣3；当x2＝2时，y2＝5，
所以y1 y2＜0，所以方程的解落在1和2之间．
（2）∵方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，
∴Δ＝42﹣4m＞0，
∴m＜4，
将x1＝﹣4，x2＝﹣5分别代入得y1＝m，y2＝m+5，
∵恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，
∴y1y2＝m（m+5）＜0，所以﹣5＜m＜0．
【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握其相关知识点是解题的关键．
38．（2025 河北模拟）如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是直线x＝﹣2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n，0），矩形DEFG的周长为m，写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由对称轴是直线，可得，B（2，0），又设抛物线的函数表达式为y＝a（x+2）2+c，结合C（0，1），A（2，0）在抛物线上，从而，求出a，c即可判断得解；
（2）依据题意，由E（n，0），可得F（﹣4﹣n，0），D（n，n2﹣2n+1），进而计算可得DEn2﹣2n+1，EF＝4+2n，从而m＝2（n2﹣2n+1+4+2n）＝﹣n2+10，即m与n的函数关系式是m＝﹣n2+10，可得当n＝0时，m的值最大，m的最大值是10，进而可以得解；
（3）依据题意，抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点，又yx2﹣2x+1（x+2）2+3，可得顶点坐标是（﹣2，3），结合（2）可得D（0，1），从而当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）∵由题意，∵对称轴是直线，
∴，B（2，0）．
∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x+2）2+c．
∵C（0，1），A（2，0）在抛物线上，
∴．
∴．
∴y（x+2）2+3x2﹣2x+1．
∴抛物线的函数表达式为yx2﹣2x+1．
（2）由题意，∵E（n，0），
∴F（﹣4﹣n，0），D（n，n2﹣2n+1）．
∴DEn2﹣2n+1，EF＝4+2n．
∴m＝2（n2﹣2n+1+4+2n）＝﹣n2+10，即m与n的函数关系式是m＝﹣n2+10．
∴当n＝0时，m的值最大，m的最大值是10．
（3）2＜k＜3．理由如下：
当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点，
又∵yx2﹣2x+1（x+2）2+3，
∴顶点坐标是（﹣2，3）．
由（2）可得D（0，1），
∴当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度．
又∵把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，
∴当2＜k＜3时，抛物线顶点在矩形内部．即抛物线与矩形只有两个交点．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
随堂检测
【练习 1】（2026 萧县二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知（x1，y1）和（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝﹣1，求的值；
（3）当0≤x≤t时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且m+n＝1，求t的值．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案；
（2）求出，，即可得出y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），进而代入所求代数式化简即可；
（3）根据二次函数解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3，分0≤t＜1，1≤t＜2和t≥2三种情况，分别得出最大值和最小值，根据m+n＝1分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由题意可得：
∴，，
∴y1﹣y2
＝（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）
＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），
∵x1≠x2，x1+x2＝﹣1，
∴．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，
∴x＝2时与x＝0时的函数值相等，即当x＝2时，y＝﹣3，
∵0≤x≤t时，该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且m+n＝1，
∴当0≤t＜1时，最大值m＝﹣3，最小值为n＝（t﹣1）2﹣4，
∴（t﹣1）2﹣4+（﹣3）＝1，
解得：（舍去），（舍去），
当1≤t＜2时，最小值n＝﹣4，最大值m＝﹣3，
∴m+n＝﹣7，（不符合题意，舍去）
当t≥2时，最小值n＝﹣4，最大值m＝（t﹣1）2﹣4，
∴（t﹣1）2﹣4+（﹣4）＝1，
∴t1＝4，t2＝﹣2（舍去），
综上所述：t的值为4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
【练习 2】（2025秋 南京期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是　﹣5＜b＜﹣3　 ．
【分析】由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，即m＝﹣b﹣1，结合2＜m＜4，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0），
∴y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，
∴b＝﹣（m+1）．
∵2＜m＜4，
∴2＜﹣b﹣1＜4，
∴3＜﹣b＜5，
∴﹣5＜b＜﹣3．
故答案为：﹣5＜b＜﹣3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求函数的表达式是解题的关键．
【练习 3】（2025 宝安区二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　3　 ．
【分析】将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2），可得点P、Q的坐标分别为（﹣1，0），（2，0），进而可得PQ＝|2﹣（﹣1）|＝3．
【解答】解：将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2），
令（x+1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴点P、Q的坐标分别为（﹣1，0），（2，0），
∴PQ＝|2﹣（﹣1）|＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【练习 4】（2023秋 滨江区期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．若该函数图象的顶点坐标为（n，p），则　9　 ．
【分析】根据抛物线的对称性求得二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的另一个交点坐标为（4n，0），则y＝a（x+2n）（x﹣4n）＝a（x﹣n）2﹣9an2，由该函数图象的顶点坐标为（n，p）可知n，p＝﹣9an2，代入求得即可．
【解答】解：∵函数图象的顶点坐标为（n，p），
∴对称轴为直线x＝n，
∵二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．
∴二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的另一个交点坐标为（4n，0）．
∴y＝a（x+2n）（x﹣4n）＝a（x﹣n）2﹣9an2，
∴p＝﹣9an2，
∴9an，
∴n，
∴9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 三种形式按需选用：三点一般式、顶点顶点式、交点交点式
· · 抛物线与x轴交点个数由Δ=b2-4ac决定
· · 方程的根就是图像与x轴（或直线y=m）交点的横坐标
· · 求近似根先找函数值由正变负（或负变正）的区间
· · 见表格对称数据先定对称轴，再利用对称性补根
【作业 1】（2026 靖边县模拟）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B． C．a D．
【分析】先根据二次函数图象与x轴有交点，利用判别式大于等于0求出a的范围，再求出抛物线对称轴，结合开口方向和x＞2时，y随x的增大而增大的性质，得到对称轴的限制条件，最后取两个范围的交集得到结果．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴，
解得：，
又∵抛物线开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线，
∴对称轴满足﹣2a≤2，
解得a≥﹣1，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 2】（2026 平武县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）经过（0，3），且当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线与x轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【分析】根据抛物线（m为常数）经过（0，3），可以得到m的值，根据当x＜0时，y的值随x值的增大而减小和该抛物线的对称轴可以得到二次项系数的正负情况，从而可以得到m的值，再令y＝0求出Δ的正负，从而可以判断该抛物线与x轴交点的个数．
【解答】解：∵抛物线（m为常数）经过（0，3），
∴m2+2m＝3，
解得m＝﹣3或m＝1，
∵抛物线的对称轴为直线x2，当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，
∴该函数图象开口向上，
∴0，
∴m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线yx2﹣x+3，
当y＝0时，0x2﹣x+3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣43＝﹣5＜0，
∴该抛物线与x轴交点的个数为0个，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
【作业 3】（2026 高要区二模）已知二次函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，0）
B．对称轴为直线x＝1
C．函数图象与x轴有2个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标；由二次项系数为负，判断抛物线开口方向，从而分析函数值增减性；计算判别式，判断与x轴的交点情况，据此进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0），故选项A和B正确；
∵a＝1＞0，抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
令y＝0，得（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1，
∴图象与x轴有1个交点，故选项C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业 4】（2026 萨尔图区二模）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　）
A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上
B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小
C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根
D．若x＜3，则y＜0
【分析】依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．
【解答】解：由题意，对于A，当x＝2时，y＝﹣4，
∴点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上，故选项A正确；
对于B，结合图象可得，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，故选项B正确．
对于C，∵函数y＝x2（x﹣3）与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点如图所示，
∴函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点最多3个．
∴方程x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根，故选项C正确；
对于D，结合图象可得 若x＜3，则y≤0，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象与性质，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 5】（2026 枣庄二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，﹣2）三点，下列结论：
①c＝﹣2；
②当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而增大；
③当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
④方程3ax2+3bx+3c+8＝0有两个相等的实数解．
其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，故①正确；
∴对称轴为直线，开口向上，当x＝1时，函数有最小值，最小值为，
∴当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故②错误；
由图象可知：当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故③正确；
由3ax2+3bx+3c+8＝0可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为x1＝x2＝1，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
【作业 6】（2025秋 商水县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分x、y的对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3 …
y 0 3 4 3 0 …
则当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3　 ．
【分析】通过表格数据确定二次函数的对称轴和与x轴的交点，结合二次函数图象开口方向求解即可．
【解答】解：由表格可知，当x＝﹣1和x＝3时，y＝0，
即二次函数图象与x轴交于点（3，0）和（﹣1，0）．
当x＝1时，y＝4为最大值，
故二次函数图象y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1．
因此，当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 7】（2026 莘县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 　3　 ．
【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），
∴令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，﹣1为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根，
∴，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【作业 8】（2025秋 乌兰察布期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交x轴于A，B两点（点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴），交y轴于点C，且5OB＝OA＝OC，则此抛物线对应的解析式是y＝﹣x2﹣4x+5　 ．
【分析】先求出C（0，5），根据5OB＝OA＝OC得OA＝5，OB＝1，即x1＝﹣5，x2＝1，再由根与系数的关系即可解答．
【解答】解：设B（n，0），A（m，0），
当x＝0时y＝5，则C（0，5），OC＝5，
∵5OB＝OA＝OC，
∴OA＝5，OB＝1，
∴B（1，0），A（﹣5，0），即x1＝﹣5，x2＝1，
∴解得a＝﹣1，
解得b＝﹣4，
∴y＝﹣x2﹣4x+5．
故答案为y＝﹣x2﹣4x+5．
【点评】本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 9】（2026春 翁牛特旗校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④方程ax2+bx+c＝c有两个不相等的实数根．其中正确结论是　①③④　 （填写序号）．
【分析】由二次函数的图象得出a＜0、b＞0、c＞0，即可判断①；由二次函数与x轴有两个交点得出Δ＝b2﹣4ac＞0，结合a＜0，即可判断②；求出A（﹣c，0），代入抛物线解析式得出ac2﹣bc+c＝0，即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴，故②错误，不符合题意；
在y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当x＝0时，y＝c，
∴C（0，c），
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，故③正确，符合题意；
∵ax2+bx+c＝c，
∴ax2+bx＝0，
∴x（ax+b）＝0，
∴，
∵b≠0，a≠0，
∴x2≠0，
∴方程ax2+bx+c＝c有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业 10】（2026 海州区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝ 　0或2　 ．
【分析】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的图象具有对称性，可以写出当y＝﹣7时对应的x的值，从而可以得到一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解．
【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线x1，
当x＝0时，y＝﹣7，
∴当x＝2时，y的值也是﹣7，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝0或2，
故答案为：0或2．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【作业 11】（2026 鲤城区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点P的横坐标为，连PA，PC，求△PCA的面积．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出，过点P作PT∥y轴交AC于点T，求出直线AC：y＝﹣x+3，则，再利用S△PCA＝S△PCT+S△PAT求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点P的横坐标为，
∴将代入y＝﹣x2+2x+3，则，
∴，
过点P作PT∥y轴交AC于点T，
设直线AC：y＝mx+n，
则代入C（0，3），A（3，0），得，，
解得，
∴直线AC：y＝﹣x+3，
当时，，
∴，
∴，
∴若点P的横坐标为，连PA，PC，则．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 12】（2025秋 西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+2x+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣5 0 3 4 3 …
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若y≥0，求x的取值范围；
（3）若A（n，y1）、B（n+1，y2）两点均在该函数的图象上，当时，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出这个二次函数的关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到y≥0时，x的取值范围；
（3）根据题意和二次函数的性质，可以得到y1与y2的大小．
【解答】解：（1）由表格可得，
（﹣1，0），（0，3），在二次函数y＝ax2+2x+c的图象上，
∴，
解得，
∴这个二次函数的关系式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3可得，0＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∵y＝﹣x2+2x+3的图象开口向下，
∴当y≥0，x的取值范围是﹣1≤x≤3；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，
∵A（n，y1）、B（n+1，y2）两点均在该函数的图象上，，
∴n+1，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【作业 13】（2026 济宁二模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值．
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）结合二次函数的图象和性质求解即可．
（3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意，∵知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），
∴4+2b﹣3＝﹣3，则b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，a＝1＞0，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线开口向上，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4；而当x＝0或2时，y＝﹣3，
∴由图象可得，当0≤x1≤2时，﹣4≤t≤﹣3，
∴k的最大值为2．
（3）∵点B（x1，t）和点C（x2，t）关于对称轴为直线x＝1对称，
∴，
∴x2＝2﹣x1，
∵4≤x2﹣x1≤6，
即4≤2﹣2x1≤6，
∴﹣2≤x1≤﹣1．
∵a＝1＞0，且当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，t＝5；x＝﹣1时，t＝0．
∴t的取值范围是0≤t≤5．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【作业 14】（2025秋 光明区校级月考）小明学习完二次函数后发现函数图象关于直线x＝n（n为常数）对称，他还发现除了二次函数，还有一些函数也具有这样的性质，他把这些函数称之为“X（n）函数”．
【探究一】小明对X（n）函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（1）①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 4 6 6 4 6 6 4 0 …
②画图：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
（2）由图象知：
①n＝　0　 ；
②方程﹣x2+3|x|+4＝0有两个实数根，它们分别为：x1＝　﹣4　 ；x2＝　4　 ；
③若直线y＝m与X（n）函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象有三个交点，则m＝　4　 ．
【探究二】若关于x的“X（1）函数”y＝ax2+bx+4（a，b为常数）经过点（﹣1，1），当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝2，求出t的值．
【分析】【探究一】（1）描点、连线画出函数图象即可；
（2）根据图象填空即可；
【探究二】先判断“X（1）函数”为y＝﹣x2+2x+4，分四种情况讨论：①当t＜1时，y1﹣y2＝﹣2t+3＝2，则t；②当t﹣1≥1，即t≥2时，y1一y2＝2t﹣3＝2，则t；⑧当1≤t时，y1﹣y2＝t2﹣4t十4＝2，则t＝2（舍去）：④t＜2时，y1﹣y2＝t2﹣2t+1＝2，则t＝1（舍去）．
【解答】解：【探究一】（1）描点，并画出函数图象如图：
；
（2）由图象知：
①n＝0，
②方程﹣x2+3|x|+4＝0有两个实数根，它们分别为：x1＝﹣4；x2＝4；
③若直线y＝m与X（n）函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象有三个交点，则m＝4；
故答案为：①0；②﹣4；4；③4；
【探究二】由题意得，
解得，
∴此“X（1）函数”为y＝﹣x2+2x+4，
①当t＜1时，
x＝t时，y1＝﹣t2+2t+4，
x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4，
y1﹣y2＝（﹣t2+2t+4）﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝﹣2t+3＝2，
∴t＝；
②当t﹣1≥1，即t≥2时，
x＝t﹣1时，y1＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4，
x＝t时，y2＝﹣t2+2t+4，
y1一y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4﹣（﹣t2+2t+4）＝2t﹣3＝2，
∴t；
③当1≤t时，
x＝1时，y1＝5，
x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4，
y1﹣y2＝5﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝t2﹣4t+4＝2，
∴t＝2（舍去）：
④t＜2时，
x＝1时，y1＝5，
x＝t时，y2＝﹣t2+2t+4，
y1﹣y2＝5﹣（﹣t2+2t+4）＝t2﹣2t+1＝2，
∴t＝1（舍去），
综上所述：t的值为或．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，理解新函数的定义，根据函数的特点画出函数图象，数形结合是解题的关键．
【作业 15】（2025 金水区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
【分析】（1）利用二次函数的对称轴为直线x的性质解答即可；
（2）利用函数的图象的性质分别求得当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值，列出关于c的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分①Δ＝0和②当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点时，利用函数的图象列出不等式组解答即可．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∴2．
∴b＝﹣4．
（2）由题意，∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2+bx+c的开口方向向上．
∴当x＝2时，函数取得最小值＝4﹣8+c＝c﹣4；当x＝4时，函数取得最大值＝16﹣16+c＝c．
∵当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，
∴c+c﹣4＝6．
∴c＝5．
（3）由题意，由（1）得抛物线为y＝x2﹣4x+c，
又∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴①Δ＝16﹣4c＝0，则c＝4；
②当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则，可得0≤c＜3．
∴c的取值范围为0≤c＜3或c＝4．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的极值，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
第1页（共1页）第4讲 二次函数与一元二次方程 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种形式及互化
· · 会用配方法把一般式化为顶点式
· · 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用Δ判断交点个数
· · 会由抛物线与x轴交点求对应方程的根
· · 会用图象法（函数值符号变化）估计一元二次方程的近似根
知识梳理
☆ 1.二次函数的三种形式与互化
一般式y=ax2+bx+c（a≠0）
顶点式y=a(x-h)2+k，顶点(h,k)，对称轴x=h
交点式y=a(x-x1)(x-x2)，x1,x2为与x轴交点横坐标
配方法：先提a，再配一次项系数一半的平方
概念辨析例题：把y=-2x2+4x+3化成顶点式
解析：y=-2(x2-2x)+3=-2(x-1)2+2+3=-2(x-1)2+5
☆ 2.抛物线与x轴的交点
令y=0得ax2+bx+c=0，方程的根即交点横坐标
Δ=b2-4ac>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点
两交点间距离|x1-x2|=
与y轴交点恒为(0,c)
概念辨析例题：抛物线y=x2-2x+1与坐标轴有几个交点
解析：Δ=0与x轴切于(1,0)，与y轴交于(0,1)，共2个
☆ 3.二次函数与一元二次方程的关系
方程ax2+bx+c=0的根等价于抛物线与x轴交点横坐标
方程ax2+bx+c=m的根等价于抛物线与直线y=m交点横坐标
由表格对称数据可反推对称轴与方程根
y<0（或>0）的解集等价于图像在x轴下方（或上方）的x范围
概念辨析例题：表格中x=0和x=2时y都=-3，求ax2+bx+c=-9的根
解析：对称轴x=1，点(3,-9)关于x=1的对称点为(-1,-9)
☆ 4.图象法求一元二次方程的近似根
若区间端点函数值异号，则区间内必有一个根
取y=0两侧最近的两个x，根在它们之间
函数值越接近0，对应的x越接近根
连续抛物线从负变正（或正变负）处必有零点
概念辨析例题：x=1.2时y=-0.49，x=1.3时y=0.04，求方程ax2+bx+c=0根的范围
解析：函数值由负变正，根在1.2与1.3之间
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知三点待定
顶点式 y=a(x-h)2+k 读顶点(h,k)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 需已知两交点
判别式Δ Δ=b2-4ac 定与x轴交点个数
交点与方程根 方程根=交点横坐标 令y=0
与直线y=m交点 解方程ax2+bx+c=m 数形结合
近似根 端点函数值异号区间 取最接近0处
核心考点
【考点1】二次函数的三种形式（第1-10题）
· · 一般式/顶点式/交点式互化
· · 配方法先提a再配方
· · 顶点式直接读顶点对称轴
· · 展开比较系数求b,c,k
1．（2025秋 沭阳县校级月考）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
2．把二次函数y＝2x2﹣（x+1）2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
3．（2025 泸县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
4．（2025秋 承德月考）一道习题及其错误的解答过程如下：
将二次函数y＝﹣2x2+4x+3通过配方化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 解：y＝﹣2x2+4x+3 ＝﹣2（x2+2x）+3…第①步 ＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3…第②步 ＝﹣2（x+1）2﹣1+3…第③步 ＝﹣2（x+1）2+2…第④步
（1）这道习题的解答过程最先开始出现错误的步骤是第_____ （填序号）步，正确值为_____ ，k的值为_____ ；
（2）用配方法解一元二次方程：﹣2x2+4x+3＝0．
5．（2026 大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知两个正数的和为50，设其中一个数为x，它们的积为y，则y关于x的函数表达式为y＝____________ ，当x＝_______ 时，y最大＝________ ．
7．（2025秋 西城区校级期中）用配方法将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为____________________ ．
8．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，当x＝_____ 时，y的值最小，最小值是_______ ．
9．（2025秋 拱墅区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数．
（1）分别求b，c，x1，k的值；
（2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小．
10．（2025秋 右玉县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点A，点B（m，1）在抛物线上．
（1）将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式．
（2）直接写出△OAB的面积．
【考点2】抛物线与x轴交点（第11-27题）
· · Δ=b2-4ac定交点个数
· · 令y=0解方程求交点
· · 两交点距离|x1-x2|
· · 区间交点问题数形结合
11．（2025春 虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式．
12．（2025秋 天津期末）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下
B．抛物线与y轴交于点（0，﹣1）
C．当x＝1时，y取最大值
D．抛物线与x轴没有交点
13．（2026 南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2024秋 广安校级期末）将抛物线y＝3x2的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得图象与x轴交点坐标为__________________ ．
15．（2025秋 桐乡市期末）已知二次函数y＝x2+2x+c，当﹣2＜x＜2时，该函数图象与x轴有且只有一个交点，则c的取值范围是_______________ ．
16．（2025 长春模拟）若抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，则c的取值范围是____________________ ．
17．（2025秋 舟山期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx的图象的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程﹣x2+bx＝t（b，t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是___________ ．
18．（2023秋 余姚市校级期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点D的坐标为 ____________________ ．
19．（2025秋 临漳县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系：
x … 0 1 2 3 …
y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 …
则方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为 _______________ ．
20．（2025秋 兴庆区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤b2﹣4ac＜0．其中正确的命题有________ ．
21．（2026春 江汉区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m ﹣2 ﹣2 n …
①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝1的两个根；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2；④；⑤方程|ax2+bx+c|＝k有四个不相等的实数根，则．其中，正确的结论是________ ．
22．（2026秋 柯城区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c．
（1）若b＝2，c＝2，求抛物线的顶点坐标．
（2）若b＝2，当﹣1≤x≤2时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，求c的取值范围．
（3）若抛物线上存在一点P（x0，y0），在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点．
23．（2026 潍坊模拟）已知y与x满足二次函数（m为常数）．
（1）若点（4，1）在该函数图象上，则m＝_______ ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）若该函数图象上有两个点A（﹣m+2，y1），B（﹣m+p，y2），当y1＜y2时，请直接写出p的取值范围．
24．（2026 德州一模）已知抛物线y＝﹣x2+ax+1（a为常数）经过点（3，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值；
（3）直线l1：y＝2x+t（t为常数），向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线y＝﹣x2+ax+1（m≤x≤n）的一段夹在直线l1，l2之间，求n﹣m的最大值．
25．（2026 沛县模拟）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标．
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
27．（2025秋 魏县期末）如图，嘉嘉用判别式Δ判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式Δ，是可以知道原函数的．”
（1）该二次函数的一次项系数b＝_______ ，常数项c＝_______ ；
（2）该二次函数图象与x轴有_____ 个交点；
（3）当x＝2时，求y的值．
【考点3】图象法求一元二次方程的近似根（第28-35题）
· · 找函数值正负变号区间
· · 根在异号端点之间
· · 函数值越近0越接近根
· · 利用对称性补全根
28．（2025秋 东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是______________ ．
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
29．（2025秋 绍兴校级月考）已知函数y＝（x+1）2﹣4，请按要求填空或解答问题：
（1）函数图象的对称轴是直线 _________ ，顶点坐标是 ____________ ．
（2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值y＜0；
（3）利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程（x+1）2﹣4＝2的近似解（精确到0.1）．
30．（2023秋 上虞区期末）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题SHEJITI 由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1 y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 ________ ．（从以下选项中选2个即可）
例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6．
A．数形结合
B．分类讨论
C．统计思想
D．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间．
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值
_______
_____
_______
_____
（3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况．
31．（2026 项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　）
x 6.7 6.8 6.9 7.0
y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6
A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0
32．（2025秋 高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值：
x ﹣1 0 1 2 3 4
y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　）
A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0
33．（2021秋 康巴什校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+2 … ﹣10 ﹣3 2 5 5 …
下列结论：①点B的坐标是（2，2）；②这个函数的最大值大于5；③ax2+bx＝﹣1有一个根在4与5之间；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．（2026春 深圳月考）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值：
x … 0.25 0.5 0.75 1 …
y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 …
估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ．
35．（2025秋 岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2+4x+3＝0的近似解是________________ ．
四．创新及压轴题（共3小题）
36．（2026 海淀区校级竞赛）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1．
（1）若该二次函数图象经过原点（0，0），求该二次函数的顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
37．（2026 西湖区校级三模）【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解．
思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1 y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表：
x的值 0 1 2 3
y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围．
38．（2025 河北模拟）如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是直线x＝﹣2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n，0），矩形DEFG的周长为m，写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
随堂检测
【练习 1】（2026 萧县二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知（x1，y1）和（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝﹣1，求的值；
（3）当0≤x≤t时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且m+n＝1，求t的值．
【练习 2】（2025秋 南京期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是____________ ．
【练习 3】（2025 宝安区二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝_____ ．
【练习 4】（2023秋 滨江区期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．若该函数图象的顶点坐标为（n，p），则_____ ．
课后巩固
复习建议
· · 三种形式按需选用：三点一般式、顶点顶点式、交点交点式
· · 抛物线与x轴交点个数由Δ=b2-4ac决定
· · 方程的根就是图像与x轴（或直线y=m）交点的横坐标
· · 求近似根先找函数值由正变负（或负变正）的区间
· · 见表格对称数据先定对称轴，再利用对称性补根
【作业 1】（2026 靖边县模拟）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B． C．a D．
【作业 2】（2026 平武县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）经过（0，3），且当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线与x轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【作业 3】（2026 高要区二模）已知二次函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，0）
B．对称轴为直线x＝1
C．函数图象与x轴有2个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【作业 4】（2026 萨尔图区二模）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　）
A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上
B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小
C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根
D．若x＜3，则y＜0
【作业 5】（2026 枣庄二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，﹣2）三点，下列结论：
①c＝﹣2；
②当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而增大；
③当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
④方程3ax2+3bx+3c+8＝0有两个相等的实数解．
其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【作业 6】（2025秋 商水县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分x、y的对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3 …
y 0 3 4 3 0 …
则当y＜0时，x的取值范围是_____________ ．
【作业 7】（2026 莘县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 _____ ．
【作业 8】（2025秋 乌兰察布期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交x轴于A，B两点（点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴），交y轴于点C，且5OB＝OA＝OC，则此抛物线对应的解析式是_______________ ．
【作业 9】（2026春 翁牛特旗校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④方程ax2+bx+c＝c有两个不相等的实数根．其中正确结论是________ （填写序号）．
【作业 10】（2026 海州区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝ ________ ．
【作业 11】（2026 鲤城区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点P的横坐标为，连PA，PC，求△PCA的面积．
【作业 12】（2025秋 西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+2x+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣5 0 3 4 3 …
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若y≥0，求x的取值范围；
（3）若A（n，y1）、B（n+1，y2）两点均在该函数的图象上，当时，试比较y1与y2的大小．
【作业 13】（2026 济宁二模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值．
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围．
【作业 14】（2025秋 光明区校级月考）小明学习完二次函数后发现函数图象关于直线x＝n（n为常数）对称，他还发现除了二次函数，还有一些函数也具有这样的性质，他把这些函数称之为“X（n）函数”．
【探究一】小明对X（n）函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（1）①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 4 6 6 4 6 6 4 0 …
②画图：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
（2）由图象知：
①n＝_____ ；
②方程﹣x2+3|x|+4＝0有两个实数根，它们分别为：x1＝_______ ；x2＝_____ ；
③若直线y＝m与X（n）函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象有三个交点，则m＝_____ ．
【探究二】若关于x的“X（1）函数”y＝ax2+bx+4（a，b为常数）经过点（﹣1，1），当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝2，求出t的值．
【作业 15】（2025 金水区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
第1页（共1页）

展开更多......

收起↑