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第5讲 二次函数的应用 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 能根据实际问题建立平面直角坐标系，把抛物线轨迹抽象为二次函数
· · 掌握投篮、铅球、喷水等运动类问题的建模与求法
· · 掌握围栏围矩形等面积最大问题的二次函数建模
· · 掌握利润=（售价-进价）×销量的利润最大问题建模
· · 掌握抛物线型拱桥、隧道等问题中利用对称性求宽度与高度
知识梳理
☆ 1.抛物线运动问题
以出手点、拱顶或落点为参照建立坐标系，优先用顶点式y=a(x-h)2+k
投篮、铅球、喷水问题：顶点是最高点，落点即y=0的正根
已知顶点和一个点用顶点式；已知三点用一般式
求最大高度即求顶点纵坐标，求水平距离即令y=0解正根
概念辨析例题：篮球水平距离4m时达最大高度4m，出手点(0, )，求解析式并判断x=7时y值
解析：设y=a(x-4)2+4，代入(0,)得16a+4=，a=-；x=7时y=-×9+4=3
☆ 2.面积最大问题
围栏靠墙问题：设垂直于墙的边长为x，用总长表示邻边长
矩形面积S=x·(邻边长)，整理为S=ax2+bx+c形式
注意自变量取值范围：墙长、门宽对边长的限制
若顶点横坐标不在取值范围内，按增减性在端点取最值
概念辨析例题：30m篱笆靠墙围矩形，AB=x，求y与x关系式及x范围
解析：BC==15-，y=x(15-)=-x2+15x
☆ 3.利润最大问题
利润w=（售价-进价）×销售量
涨价1元销量减n件：设涨价a元，单件利润为（原售价-进价+a）
销量=原销量-n·a，整理得w关于a的二次函数
注意物价部门规定的售价上限，顶点不在范围内时按增减性取端点
概念辨析例题：模型成本20元，24元售时日销40件，每涨1元少销2件，求涨价多少利润最大
解析：设涨价a元，w=(a+4)(40-2a)=-2a2+32a+160=-2(a-8)2+288，a=8时最大
☆ 4.抛物线型拱桥与隧道问题
以拱顶为原点或拱底中点为原点建系，利用对称性
已知跨度和拱高可设y=ax2+k或y=a(x-h)2+k
求水面宽度：令y为某高度，解出两个x作差
求船/车能否通过：在限定宽度处比较抛物线高度与车高
概念辨析例题：拱顶离水面4m时水面宽8m，以顶点(4,4)为顶点建系，水面上升3m后宽多少
解析：y=a(x-4)2+4过(0,0)得a=-；令y=3得(x-4)2=4，x=2或6，宽4m
知识总结表
实际问题 建模方法 注意事项
运动轨迹 顶点式y=a(x-h)2+k 顶点即最高点
求水平距离 令y=0解正根 负根舍去
围栏面积 S=x(总长-2x) 注意墙长限制
利润问题 w=(售价-进价)×销量 涨价减销量
拱桥宽度 令y为定值解x作差 利用对称性
车辆通过 限定宽度处比高度 端点高度比较
最值位置 顶点在范围内取顶点 否则取端点
核心考点
【考点1】抛物线运动曲线（第1-9题）
· · 优先设顶点式y=a(x-h)2+k
· · 代入已知点求a
· · 令y=0求落点水平距离
· · 判断能否投中即比较x处y值
1．（2026 白银模拟）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　）
A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12
【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，又抛物线过点（0，1.8），从而16a+3.4＝1.8，进而求出解析式，再令抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，令y＝0，即可求出s＝4，最后得出s的范围就可判断得解．
【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4．
又抛物线过点（0，1.8），
∴16a+3.4＝1.8．
∴a＝﹣0.1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4．
令y＝0，
∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4．
∴x＝4±．
显然s＞0，
∴s＝4．
∵56，
∴9＜s＝410．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
2．（2025 营口模拟）某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答．
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
把（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4中得：16a+4，
解得：a，
∴y（x﹣4）2+4，
故①正确；
当x＝7时，y（7﹣4）2+4＝3，
∴此球能投中，
故②不正确；
当x＝1时，y（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是2个，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2026 衡南县模拟）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（单位：cm/s）与弹簧被压缩的长度x（单位：cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知P（2，n）为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直线v＝b，且．当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．
【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线v＝b与抛物线的交点，结合函数图象即可求解．
【解答】解：∵P（2，n）为该抛物线的顶点，
∴设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+n，
∵抛物线经过点（0，3）和（6，0），
∴，
解得，
∴，
联立得，
解得，
结合函数图象知．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2025秋 洪洞县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则CD的长为　18　 m．
【分析】将y＝0代入，求得点D的坐标，然后根据对称性，得到OC的长度，最后求得CD的长度即可．
【解答】解：将y＝0代入，得到，
解得，x1＝9或x2＝﹣1（舍），
∴D（9，0），
∴OD＝9，
∵从A点向四周喷水，形状相同，喷出的水柱为抛物线，
∴OC＝OD＝9，
∴CD＝OC+OD＝9+9＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．
5．（2026 东城区二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是　　 m．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可．
【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴水流喷出的最大高度是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6．（2025秋 新华区校级月考）淇淇从地面以vm/s的速度竖直向上发射一个小球，小球离地面的高度h（m）与运动的时间t（s）满足关系式h＝﹣5t2+vt．若小球离地面的最大高度为20m，则v的值为　20　 ．
【分析】根据h＝﹣5t2+vt，可以求得h的最大值，再根据小球离地面的最大高度为20m，即可求得v的值．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+vt＝﹣5（t）2，
∴当t时，h取得最大值，
∵小球离地面的最大高度为20m，
∴20，
解得v＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
7．（2026 郑州二模）塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分AB，以墙OA所在的直线为y轴，以水平地面所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若离y轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点A距离地面2米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架CD两个端点均在抛物线上，求钢架CD的长；
（3）为更好地种植蔬菜，老张准备将A点上移m米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，且到地面的距离均为3米，求m的值．
【分析】（1）依据题意，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，将A（0，2）代入y＝a（x﹣2）2+3得，4a+3＝2，则，从而可以得解；
（2）依据题意，当时，，则，，由（米），从而可以得解；
（3）依据题意，设上移后的抛物线的解析式为：，又到地面的距离均为3米，则大棚两个端点的距离，又吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，从而，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，
将A（0，2）代入y＝a（x﹣2）2+3得，4a+3＝2，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，．
∵（米），
∴钢架CD的长为米；
（3）设上移后的抛物线的解析式为：，
由题意可知，到地面的距离均为3米，
∴，解得，
∴大棚两个端点的距离．
∵吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，
∴，
∴m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
8．（2026 深圳模拟）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）．
（1）轨道初段AC的总长为　40　 cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式．
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由图3可以得出轨道初段AC的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式；
（2）①设出抛物线的顶点式，再把点P（4，40）代入解析式求解即可；
②求出OP解析式，再联立直线OP和抛物线所组成的方程组，根据判别式Δ＝0得出结论；
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离．
【解答】解：（1）由图3可知，轨道初段AC的总长为40cm；
设v＝kt+b，
则，
解得，
故，
故答案为：40；v与t之间的关系式为vt+12；
（2）①由题意，Q为顶点，设Q（h，140），
则，
把P（4，40）代入解析式得：，
解得h＝24（舍去 h＝﹣16），
∴t2+12t﹣4；
②设直线OP表达式：s＝k1t，代入P（4，40），有k1＝10，
即s＝10t，
联立，
得，
∵，
∴直线OP与抛物线有且只有一个交点P，且直线OP不与抛物线对称轴平行，故线段OP与抛物线光滑连接；
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点，
由题意得：，
解得：m＝5.5，
当m＝5.5时，，
∴轨道起点与点A之间的距离为．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
9．（2026 江夏区校级模拟）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）如图1建立平面直角坐标系．
①求此抛物线的表达式；
②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
（2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？
【分析】（1）①依据题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；
②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5；
（2）依据题意，利用待定系数法求此时球运行抛物线形，然后令x＝7，求出y与3.05米比较即可得解．
【解答】解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．
由图知图象过点：（4，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
∴a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5．
②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.2（m）．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m；
（2）由题意得，此时顶点为（4，4），
∴可设y＝m（x﹣4）2+4．
又∵图象过（0，），
∴16m+4．
∴m．
∴y（x﹣4）2+4．
∴令x＝7，则y＝3＜3.05．
∴此球不能投中这个篮圈．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【考点2】面积最大问题（第10-15题）
· · 用总长表示邻边长
· · S=x·邻边长整理为二次函数
· · 列不等式组定x范围
· · 顶点不在范围按增减性取端点
10．（2025 宿松县模拟）如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（　　）
A．9 B． C．7 D．
【分析】连接BD，作PH⊥AD于点H，由图象得到BA＝BC，再得到BD⊥AC，由M点坐标可知，当P点运动到B点时，AB＝5，BD＝4，则，，，即可求解．
【解答】解析：连接BD，作PH⊥AD于点H，
由题意可得：BA＝BC，
∵D为AC中点，
∴BD⊥AC，
由M点坐标可知，当P点运动到B点时，AB＝5，BD＝4，
∴，则，，，
∵PD2＝PH2+DH2，
∴，
∴当时，x2+y2有最小值．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，二次函数的应用，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
11．（2024秋 巢湖市校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　）
A．7 B． C． D．
【分析】当点P在BC上时，易得S＝PD2，整理可得S与t的函数关系式，求得当S＝6时，t的值，即可求得当点P在点B时S＝6时，t＝2，进而根据图2中的顶点坐标为（4，2），用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把（2，6）代入可得a的值，进而取S＝18，求得t的值，得到点B在点A时面积为18时，t的值，则可以求得AB的长，根据勾股定理可得AC的长．
【解答】解：在Rt△PCD中，CD，PC＝t，
∴S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2，
当S＝6时，6＝t2+2，
解得：t＝2（取正值），
∴BC＝2，
∴图2中的抛物线经过点（2，6），
由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2），
∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2，
将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣4）2+2，
当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键．
12．（2025秋 增城区期末）如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（　　）
A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16
B．直线PB的解析式为y＝x﹣4
C．点P到杯口AB的距离为5cm
D．点P到点D的距离为cm
【分析】依据题意得A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），可求抛物线的解析式为y＝x2﹣16，再求出直线PB的解析式，联立即可求出点P坐标，继而可判断结论．
【解答】解：∵杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），
设轮廓线AC，BD所在抛物线的解析式为y＝ax2+k，
记BP与y轴的交点为E，把A（﹣4，0）、C（﹣2，﹣12）代入得：，
解得：，
∴y＝x2﹣16，故A说法正确，不符合题意；
∵∠ABP＝45°，
∴∠OEB＝∠ABP＝45°，
∴OB＝OE，
∴E（0，﹣4），
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
把B（4，0）、E（0，﹣4）代入得：
解得：，
∴直线PB：y＝x﹣4，故B说法正确，不符合题意；
由x2﹣16＝x﹣4解得x1＝﹣3，x2＝4（舍去），
当x＝﹣3，y＝﹣3﹣4＝﹣7，
∴P（﹣3，﹣7），此时点P到杯口AB的距离为7cm，故C说法不正确，符合题意；
∴PD5（cm），故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键．
13．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园ABCD，设AB＝x，S长方形ABCD＝y，则y与x的函数关系式为yx2+15x ，其中x的取值范围是　0＜x＜30　 ．
【分析】求得线段BC的长，利用矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：设AB＝x，则BC（15x）米，∴y＝AB BC＝x（15x）x2+15x．
x的取值范围是0＜x＜30，
故答案为：yx2+15x；0＜x＜30．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的面积，利用已知条件求得线段BC的长是解题的关键．
14．（2024秋 唐山期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+k的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，
（1）k＝　1.6　 ；
（2）可判定货车　能　 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【分析】（1）根据题意代点B（6，2.68）求出k值，
（2）根据题意求出当x＝2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【解答】解：（1）棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+k的图象，点B（6，2.68）在图象上．
∵点B（6，2.68）在y＝﹣0.02x2+0.3x+k图象上，
∴2.68＝﹣0.02×62+0.3×6+k，
解得：k＝1.6，
故答案为：1.6；
（2）∵CD＝4m，B（6，2.68），
在抛物线y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
故可以判断货车能完全停到车棚内．
故答案为：能．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
15．（2025秋 海珠区期末）如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．
（1）直接写出S与x的函数关系式；
（2）若院墙的面积为120平方米，求x的值；
（3）若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值．
【分析】（1）根据矩形面积公式写出函数关系式即可．
（2）根据（1）所得的关系，将S＝120代入函数关系式求解，注意判断解出的x的值是否符合题意，即可解题．
（3）根据再开一个宽为a（a＜3）米的门，得到矩形的另一边长为（34+a﹣2x）米，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的增减性，以及面积S的最大值为154平方米，即可解题．
【解答】解：（1）由题知S＝x（32+2﹣2x），
整理得S＝﹣2x2+34x，
（2）∵院墙的面积为120平方米，即S＝120m2，
将S＝120代入S＝﹣2x2+34x中，
有﹣2x2+34x＝120，
整理得（x﹣12）（x﹣5）＝0，
解得x2＝5，x1＝12，
∵墙长14米，
∴34﹣2x≤14，解得x≥10，
∴x2＝5不符合题意，舍去．
故x的值为12．
（3）∵在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，
∴矩形的另一边长为（34+a﹣2x）米，
∴S＝x（34+a﹣2x）＝﹣2x2+（34+a）x，
∵34+a﹣2x≤14，
∴，
∵S＝﹣2x2+（34+a）x的对称轴为，且，
∴S＝﹣2x2+（34+a）x在取得最大值，
∵面积S的最大值为154平方米，
∴，
解得a＝2．
∴若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，面积S的最大值为154平方米，a＝2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【考点3】利润最大问题（第16-21题）
· · w=(售价-进价)×销量
· · 涨价a元单件利润加a
· · 销量=原销量-n·a
· · 售价有上限时注意端点
16．（2025秋 高平市月考）山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶，则超市销售该种沙棘汁能获得的最大销售收入为（　　）
A．640元 B．605元 C．600元 D．560元
【分析】设售价为x（x≤10）元，销售收入为w元，根据销售收入等于售价乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可．
【解答】解：设售价为x元，销售收入为w元，
则：，
∴当x＝8时，w有最大值为640．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
17．（2025秋 金安区校级月考）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元
【分析】根据二次函数图象的增减性即可求解．
【解答】解：将二次函数的一般是化为顶点式可得：
y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558，
∴对称轴为直线x＝20，开口向下，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∵15≤x≤19，
∴x＝19时，y取最大值，此时y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴是解题关键．
18．（2026 垦利区二模）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价　8　 元，才能使每日利润最大．
【分析】设当涨价a元时，单日利润为W元，则W＝（a+24﹣20）（40﹣2a）＝﹣2（a﹣8）2+288，即可求解．
【解答】解：设当涨价a元时，单日利润为W元，
则W＝（a+24﹣20）（40﹣2a）＝﹣2（a﹣8）2+288，
因为﹣2＜0，抛物线开口向下，
所以当a＝8时，W最大＝288，
答：当每件纪念品应涨价8元，才能使每日利润最大．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润＝（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键．
19．（2026 鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是t＞10　 ．
【分析】依据题意，设月利润为y元，涨价额为x元，由商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，可得其函数图象是抛物线，且开口向下，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，从而若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2，又记涨价t元时，利润最大，故|12﹣t|＜|8﹣t|，最后计算可以得解．
【解答】解：由题意，设月利润为y元，涨价额为x元，
∵商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，
∴其函数图象是抛物线，且开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，
∴若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2．
∵记涨价t元时，利润最大，
∴|12﹣t|＜|8﹣t|．
∴t＞10．
故答案为：t＞10．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
20．（2024秋 昭通期末）某商场以每个30元的价格购进某品牌玩具进行销售．在一段时间内，每个玩具的售价为40元时，可以售出600个，每个玩具的售价每上涨1元，销售量就减少10个．这种品牌玩具的实际销售价为每个x元，销售量为y个．规定该品牌玩具每个的销售价不低于45元，且商场的销售量不少于500件．
（1）求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“每个玩具的售价每上涨1元，销售量就减少10个”即可列出y与x的函数关系式，再根据“每个玩具的销售价不低于45元，且商场的销售量不少于500件”列不等式组即可求出x的取值范围；
（2）根据总利润＝单个玩具的利润×销售数量列出w关于x的二次函数，再按照二次函数的性质进而得出最大利润．
【解答】解：（1）由题意得y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000．
由题意得，
解得45≤x≤50．
（2）设商场销售该品牌玩具获得的利润是w元．
由题意得w＝（x﹣30）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x＜65时，w随x的增大而增大，
由（1）知，当x＝50时，w取得最大值，最大值为﹣10×（50﹣65）2+12250＝10000，
∴商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数及不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2025 兴化市二模）端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个．
（1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？
（2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依据题意，设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是2x元，根据“用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个”，从而列方程计算求解即可；
（2）依据题意，根据利润＝1个肉丁粽所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答即可．
【解答】解：（1）由题意，设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是2x元，
∴．
∴x＝2．
经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意，
∴2x＝2×2＝4，
答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元．
（2）由题意，设售价定为t元，利润为y元，
∴，
∵﹣20＜0，
∴当t＝10时，y的最大值是 720．
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
【考点4】拱桥问题（第22-27题）
· · 以拱顶或拱底中点建系
· · 利用对称性只算一侧
· · 令y为定值求宽度
· · 上升水面后y值变化
22．（2026 细河区二模）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为　4　 米．
【分析】根据题意可得点B的横坐标为8，把x＝8代入，进行计算，即可求解．
【解答】解：抛物线的函数表达式为．
根据题意可得，点B的横坐标为，
∴当x＝8时，，
∴B（8，﹣4），
此时拱顶O到水面AB的距离为|﹣4|＝4（米）．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2025秋 上城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF＝ 　18　 米．
【分析】可得yE＝yF＝8，从而可求，，由EF＝xF﹣xE即可求解．
【解答】解：由题意得yE＝yF＝8，
∴，
解得：，，
∴，，
∴EF＝xF﹣xE
，
∵，
∴EF≈8×2.2≈18（米）；
答：这两盏灯的水平距离EF是18米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，无理数估算，掌握解法是解题的关键．
24．（2026 沁县一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB＝6m，现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m，则拱架最高点M距底部AB的高度为　4　 m．
【分析】由题意得，B（3，0），求出抛物线解析式为，得M（0，4），从而求出拱架最高点M距底部AB的高度．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+c，
∴．
解得：，
∴抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝4，
∴M（0，4），
∴OM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
25．（2025秋 杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　4　 米．
【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解．
【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0，
∴a，
∴y（x﹣4）2+4．
∴当水面上升3m时，令y＝3，则y（x﹣4）2+4＝3．
∴x＝2或x＝6．
∴此时水面宽为6﹣2＝4（米），
∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键．
26．（2026 青山区模拟）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥．
（1）求中间大拱抛物线的解析式；
（2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）；
（3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长．
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16），设抛物线解析式为y＝ax2+16，由题意得点F的坐标为（3，0），代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式；
（2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得MN的长；
（3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果．
【解答】解：（1）如图，
由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16），
设抛物线解析式为y＝ax2+16，
∵EF＝6米，
∴点F的坐标为（3，0），此点代入抛物线解析式中得32a+16＝0，
解得，
∴中间大拱抛物线的解析式为；
（2）由题意得，
解得，
∴（米），
答：铁丝MN的长为米；
（3）如图，在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12，
则，
解得，
∴，
∴，
∵大拱顶点到GH的距离为4，且大拱、小拱的形状相同，
∴每个小拱底部宽为3米，
∴CD＝6×3+6＝24（米），
答：CD的长为24米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键．
27．（2025 商丘模拟）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧AD＝6cm，瓶底BC＝4cm，且AD∥BC，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式；
（2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长；
（3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令y＝4.4，得2.5x2﹣10＝4.4，解出x，求得点E，F的横坐标，即可得解；
（3）利用待定系数法求出直线BG的表达式，令x+2＝2.5x2﹣10，求出点G的坐标，过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm，再根据求解即可．
【解答】解：（1）故设抛物线的表达式为y＝ax2+b，
∴D（3，12.5），C（2，0），
分别代入y＝ax2+b，得，
解得，
故y＝2.5x2﹣10；
（2）令y＝4.4，得2.5x2﹣10＝4.4，
∴x1＝2.4，x2＝﹣2.4，
∴点E，F的横坐标分别为﹣2.4，2.4，
∴EF＝4.8cm；
（3）∵∠GBC＝45°，
∴可设直线BG的表达式为y＝x+h，
将B（﹣2，0）代入，得0＝﹣2+h，
解得：h＝2，
∴y＝x+2，
令x+2＝2.5x2﹣10，
解得：x1＝﹣2，x2＝2.4，
∴xG＝2.4，
∴yG＝4.4，
过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm，
∴，
故此时水面的宽度BG约为6cm．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求一次函数与二次函数的交点，由函数值求自变量的值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
【考点5】二次函数综合题型（第28-33题）
· · 待定系数法求解析式
· · 铅垂线段长=抛物线段-直线段
· · 面积比转化为线段比
· · 等腰三角形分类列距离方程
28．（2026 东西湖区一模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值．
【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4，代入点A的坐标为（0，2），即可得到答案；
（2）将y＝2.5代入y（x﹣6）2+4中，可得x＝6﹣3，再进一步求解即可；
（3）先直线AB的函数解析式为yx+2．结合抛物线为yx2，设点C的坐标为（x，）．可得点D的坐标为（x，），再建立二次函数求解即可．
【解答】（1）由题可得：抛物线的顶点B的坐标为（6，4）．
设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（0≤x≤6），
∴抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4．
∵点A的坐标为（0，2），
∴将点A代入函数解析式中，得2＝a（0﹣6）2+4，解得a．
∴抛物线的函数解析式为y（x﹣6）2+4（0≤x≤6）；
（2）根据题意：设点P的坐标为（x，2.5），
将y＝2.5代入y（x﹣6）2+4中，
得：2.5（x﹣6）2+4，
解得：x1＝6+3（舍去），x2＝6﹣3．
∴6﹣35＜6，
∴车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方．
（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+2（k≠0）．
将点A（6，4）代入y＝kx+2中，
得k，
∴yx+2．
∵抛物线的一般式为yx2，
∴设点C的坐标为（x，）．
∵CD∥y轴，点D在AB上，点D的横坐标为x，
∴D（x，），
∴CDx，
∴当x＝3时，CD取最大值，最大值为．
∴钢架CD长度的最大值是米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
29．（2026 安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ybx+c经过点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，4），连接AC，BC．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴移动，运动时间为ts，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；
（3）在点OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，利用解直角三角形的方法，求出OM的长度，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为yx2+x+4①；
（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；
（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，
在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EFEB（4﹣2）BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝4，
则tan∠ECB＝EF：CF：3tan∠AMO，
则tan∠AMO＝AO：OM＝2：OM，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
30．（2024 平山县一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点（1，3），（﹣3，﹣1）都是“龙点”．如图，抛物线L：y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），与x轴交于点A、B．
（1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值；
（2）我们发现，若用（x，x+2）来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上．
①直接写出直线l的解析式；
②当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围．
【分析】（1）根据“龙点”的定义即可得到结论；
（2）①设这条直线的解析式为y＝kx+b，把（0，2），（1，3）代入y＝kx+b解方程组即可得到结论；
②根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线L的对称轴为直线x1，
∴抛物线L的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+m+1＝m+1，
∴抛物线L与y轴的交点为（0，m+1），
∵（0，m+1），
∴m+1＝0+2，
∴m＝1；
（2）①设这条直线的解析式为y＝kx+b，
把x＝0时，x+2＝2，x＝1时，x+2＝3，（0，2），（1，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴这条直线的解析式为y＝x+2；
②由题意得﹣x2+2x+m+1＝x+2，
整理，得x2﹣x﹣m+1＝0，
∵抛物线L：y＝﹣x2+2x+m+1上有两个不同的“龙点”，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m+1）＞0，
解得m．
∴m的取值范围是m．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，求抛物线的对称轴，根的判别式，正确地理解“龙点”的定义是解题的关键．
31．（2026春 闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）求出平移后的解析式，求出D点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：；
（2）直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，或或M（1，4）或，理由如下：
由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把B（﹣3，0）代入，得0＝﹣3k+3，解得：k＝1，
∴y＝x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为y＝﹣（x+1+2）2+4＝﹣（x+3）2+4，
联立：，
解得：，
∴D（﹣2，3），
设M（m，m+3），
∵B（﹣3，0），
∴BM2＝（m+3）2+（m+3）2＝2（m+3）2，DM2＝（m+2）2+m2，BD2＝（3﹣2）2+32＝10，
情况1：BD为菱形的边：
①当BM＝BD时，2（m+3）2＝10，
解得：或，
∴或；
②当DM＝BD时，（m+2）2+m2＝10，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，
∴M（1，4）；
情况2：BD为菱形的对角线：
③当BM＝DM时，（m+2）2+m2＝2（m+3）2，解得：，
∴，
综上所述，直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形；或或M（1，4）或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线 的平移，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
32．（2025秋 江西校级期末）如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标．
（3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G．
①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标；
②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x即可求得a＝﹣1，由抛物线与y轴交于点C（0，5），可得c＝5，即可求得答案；
（2）联立直线DE与抛物线的解析式可求得D（﹣1，2），E（4，﹣3），连接CC′，由平移可知四边形CDD′C′是平行四边形，得出CC′∥DE，运用待定系数法可得直线CC′的解析式为y＝﹣x+5，再联立方程组即可求得答案；
（3）根据对称点的连线与对称轴垂直可得：PQ⊥DE；①设直线DE分别交x轴、y轴于点L、F，PQ交y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则F（0，1），L（1，0），可证得△FOL是等腰直角三角形，则∠GFH＝45°，再根据菱形的性质求得点G的坐标，进而推出△FGH是等腰直角三角形，求得点H的坐标，运用待定系数法求得直线GH的解析式，再联立方程组求解即可．
②设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J，设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1），可得PJ＝﹣t2+3t+4，再证得△PJG是等腰直角三角形，表示出PQ的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，5），
∴1，
解得：a＝﹣1，
又∵抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点C（0，5），
∴c＝5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+5．
（2）联立得，
解得：，，
∴D（﹣1，2），E（4，﹣3），
如图1，连接CC′，
∵平移线段CD，且点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，
∴四边形CDD′C′是平行四边形，
∴CC′∥DE，
设直线CC′的解析式为y＝﹣x+d，将C（0，5）代入得d＝5，
∴直线CC′的解析式为y＝﹣x+5，
联立得，
解得：（舍去），，
∴C′（3，2）．
（3）①如图2，将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，
由（2）知，D（﹣1，2），E（4，﹣3），设P（m，﹣m2+2m+5），
∵四边形DPEQ是菱形，
∴PD＝PE，
∴（m+1）2+（﹣m2+2m+5﹣2）2＝（m﹣4）2+（﹣m2+2m+5+3）2，
化简得，m2﹣m﹣7＝0，
解得：m或m（舍去），
∴点P的坐标为（，）；
②如图3，设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J，
设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1），
∴PJ＝﹣t2+2t+5﹣（﹣t+1）＝﹣t2+3t+4，
由①知∠GFH＝45°，
∵PJ∥y轴，
∴∠PJG＝∠GFH＝45°，
∵P、Q关于直线DE对称，
∴PQ⊥DE，即∠PGJ＝90°，PQ＝2PG，
∴△PJG是等腰直角三角形，
∴PGPJ，
∴PQ＝2PGPJ（﹣t2+3t+4）（t）2，
∵0，
∴当t时，线段PQ的最大值为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移、翻折变换的性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质，理解对称点的连线与对称轴垂直等相关知识是解题关键．
33．（2026 城关区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B（1，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求出抛物线的表达式；
（2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设AP交y轴于K，过K作KT⊥AC于T，设K（0，k），证明△KTC是等腰直角三角形，可得CKKTk，故k+k＝3，解得K（0，33），知直线AP解析式为y＝（1）x+33，联立得（1）x+33＝﹣x2﹣2x+3，即可得点P的横坐标为2；
（3）设M（﹣1，m），得AC2＝18，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2，分两种情况列方程解出m的值即可得答案．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设AP交y轴于K，过K作KT⊥AC于T，如图：
设K（0，k），则OK＝k，
∵AP平分∠CAB，OK⊥x轴，KT⊥AC，
∴KT＝OK＝k，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
∵C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
∵KT⊥AC，
∴△KTC是等腰直角三角形，
∴CKKTk，
∵CK+OK＝OC＝3，
∴k+k＝3，
解得k＝33，
∴K（0，33），
由A（﹣3，0），K（0，33）得直线AP解析式为y＝（1）x+33，
联立得（1）x+33＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝2，
∴点P的横坐标为2；
（3）存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设M（﹣1，m），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC2＝18，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2，
当AC＝AM时，18＝4+m2，
解得m或m，
∴M（﹣1，）或（﹣1，）；
当AC＝CM时，18＝1+（m﹣3）2，
解得m＝3或m＝3，
∴M（﹣1，3）或（﹣1，3）；
综上所述，以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形时，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，3）或（﹣1，3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定与性质，两点间的距离公式等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　0.2　 m．
【分析】根据二次函数性质，结合实际情况，先求出篮板距离y轴距离，再求出起跳位置距离y轴距离，进而得到答案．
【解答】解：根据题意可知，
当y＝3.05时，即3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得：x＝1.5m，
∴4﹣1.5＝2.5，
当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2（m）；
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【练习 2】（2025 江口县模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1．当“水火箭”的升空高度为37m时，此时的飞行时间为（　　）
A．12s B．9s C．6s D．3s或9s
【分析】令 ＝37，则﹣t2+12t+1＝37，解方程即可．
【解答】解：升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1，
令h＝37，则﹣t2+12t+1＝37，
解得t1＝t2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
【练习 3】（2025秋 栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当x＝0时，，
∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【练习 4】（2025秋 晋中月考）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则水面上升2米后水面宽度为　　 米．
【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为y＝ax2，将点（3，﹣3）代入，求出a的值，可得到抛物线的解析式，再求出当y＝﹣1时x的值即可求解．
【解答】解：当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线表达式为y＝ax2，
将点（3，﹣3）代入得：﹣3＝a×32，
解得，
∴抛物线表达式为，
当y＝﹣1时，，
解得，
∴当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则当水面上升2米后水面宽度为（米），
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【练习 5】某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元/个时，日销售量为152个；当销售单价为16元/个时，日销售量为136个．若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，则m的值为　2　 ．
【分析】根据题意，此时的利润为 （x﹣10﹣m），且日销售量y（个），利润为w元，由此列式得，w＝﹣4x2+（240+4m）x﹣2000﹣200m，根据最大利润为1444元，运用二次函数最值的计算方法，一元二次方程求解的方法进行计算即可．
【解答】解：由题可得，每个徽章的利润为（x﹣10），赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，
∴此时每个徽章的利润为 （x﹣10﹣m），日销售量y（个），利润为w元，
∴w＝（x﹣10﹣m）（﹣4x+200），整理得，w＝﹣4x2+4（60+m）x﹣（2000+200m），
∵﹣4＜0，
∴二次函数w有最大值，
∴当时，w取得最大值，且最大利润为1444元，
∴，
∴m2﹣80m+156＝0，
∴m1＝2，m2＝78，
∵0＜m＜4，
∴m的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
课后巩固
复习建议
· · 实际问题先建系，优先用顶点式，再代点求系数
· · 求最大高度看顶点纵坐标，求水平距离令y=0
· · 面积问题注意墙长和门宽对自变量范围的限制
· · 利润问题牢记w=（售价-进价）×销量，涨价必减销量
· · 拱桥问题善用对称性，只算一半再翻倍
【作业 1】（2026 陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　）
A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm
【分析】将解析数化为顶点式，即可得到这条鱼此次射出的水流的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90，
∴当x＝30时，y取得最大值90，
即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，会将函数解析式化为顶点式．
【作业 2】（2025秋 台州期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元．
A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元
【分析】设售价为x元（50≤x≤65），则销售量为198﹣2x，每个利润为x﹣35，总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x），化为二次函数P＝﹣2x2+268x﹣6930，因顶点x＝67不在范围内，且函数在[50，65]上递增，故最大值在x＝65处．
【解答】解：设售价x元（50≤x≤65），
∴销售量＝98﹣2（x﹣50）＝198﹣2x，每个利润＝x﹣35，
∴总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x）＝﹣2x2+268x﹣6930，
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，顶点横坐标，
但x＝67＞65，不在范围内，
又∵当x＜67时，函数递增，
∴在x＝65时P最大，
P＝（65﹣35）（198﹣2×65）＝30×68＝2040（元），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【作业 3】（2026 千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　）
A．180W B．195W C．200W D．220W
【分析】先求出P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+220I，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：当I＝1时，P＝165，
∴165＝﹣55×12+b，
165＝﹣55+b，
解得：b＝220，
∴P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，
∴当I＝2时，电功率P最大，最大220W，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 4】（2025 广西模拟）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 　20　 秒．
【分析】根据题意可以求得抛物线的对称轴，从而可以得到a与b的关系，然后令y＝0，即可得到抛物线与x轴的交点，从而可以得到OC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵当小辉骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线x10，
∴10，得b＝﹣20a，
令y＝0，则0＝ax2+bx，
代入b＝﹣20a，得：0＝ax2﹣20ax
解得，x1＝0，x2＝20，
∴小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需：20﹣0＝20（秒），
故答案为：20．
【点评】本题考查二次函数的应用、抛物线与x轴的交点，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
【作业 5】（2024 双阳区一模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 　15.84　 米．
【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝4时y的值即可．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为y＝ax2+16，
由题意可知，B的坐标为（﹣40，0），A的坐标为（40，0），
∴1600a+16＝0，
∴a，
∴yx2+16，
∴当x＝4时，y＝15.84．
∴与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为15.84米，
故答案为：15.84．
【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
【作业 6】（2024秋 苍溪县期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 　36　 米．
【分析】首先建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C，设AB与y轴交于H，求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y＝0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，DE的长度即可求出．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C，
设AB与y轴交于点H，
∵AB＝24，
∴AH＝BH＝12，
由题可知：
OH＝10，CH＝8，
∴OC＝10+8＝18，
∴B（12，10），C（0，18），
∴设该抛物线的解析式为：y＝ax2+18，
把B（12，10）代入解析式得：10＝144a+18，
解得a，
∴抛物线：yx2+18，
当y＝0时，0x2+18，
解得x＝±18，
∴E（18，0），D（﹣18，0），
∴DE＝OD+OE＝36．
故答案为：36．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常典型的试题．
【作业 7】（2026 灌南县模拟）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是　10　 米．
【分析】根据题意可知点A的坐标为，顶点为B（4，3），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令y＝0，求出此时x的值即可．
【解答】解：由题意得：点A的坐标为，顶点为B（4，3）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，将点A的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
令y＝0，则，
解得x＝10或x＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式．
【作业 8】（2026 大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 a　 ．
【分析】依据题意，抛物线的顶点在直线y＝3x上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边15m可知其对称轴，可得a的范围．
【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx的顶点为（，），抛物线的顶点在直线y＝3x上，
∴3．
∴b＝6．
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m，
∴，即：．
∴a．
故答案为：a．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．
【作业 9】（2026 榆树市二模）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE＝2，OD＝1.9，AB＝5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 y（x≤﹣1）　 ．
【分析】记CE与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径CE＝2，OD＝1.9，得出点E（﹣1，﹣0.9），由AB＝5确定出A点坐标，将点A坐标代入左侧抛物线解析式y＝a（x+1）2﹣0.9，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：记CE与y轴的交点为F，
∵CE＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FE＝FC＝FD＝1，
∵OD＝1.9，
∴OF＝0.9，
则左侧抛物线的顶点E坐标为（﹣1，0.9），
将点E（﹣1，0.9）代入抛物线解析式得：
y＝a（x+1）2，
∵AB＝5，
∴A（，0），
将A点代入抛物线解析式得：a，
∴y，
故答案为：y（x≤﹣1）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点E坐标及待定系数法求函数解析式的能力．
【作业 10】（2025秋 光明区期末）某公司生产一种成本价为200元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w＝﹣5x+3000，设销售该无人机每月的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润．
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【解答】解：（1）由题意得，y＝w（x﹣200），
＝（x﹣200）（﹣5x+3000），
＝﹣5x2+4000x﹣600000，
∵销售量 w≥0，即﹣5x+3000≥0，
∴x≤600．
∵每台利润 x﹣200＞0，
∴x＞200．
∴200＜x≤600．
∴y＝﹣5x2+4000x+600000（200＜x≤600）；（2）由题意，∵y＝﹣5x2+4000x﹣600000，
＝﹣5（x﹣400）2+200000，
∴当x＝400元时，最大利润y＝200000元．
答：当销售单价定为400元时，每月的利润最大，最大利润是200000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据配方法求出二次函数的顶点坐标是解题关键．
【作业 11】（2026 南山区三模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根据上述数据，直接写出k的值为　11.25　 ，直接写出满足的函数关系式：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25　 ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【分析】（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可．
【解答】解：（1）根据表格得：函数图象过点（4，10），（4.5，6.25），（3，10），
∴，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴的函数关系y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25；y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
（2）对于y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时，0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x1＝5，x2＝2（不合题意，舍去），
∴d1＝5米，
对于y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时，﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴d1＜d2；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴点B坐标为（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，则她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
【作业 12】（2026 浙江）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下：
行驶速度x（km/h） 50 60 70 80 90
基础能耗y（kW h/100km） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35
该款电动汽车的电池容量为60.48kW h，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍．
实际续航里程100．
（1）根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点．
（2）请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗y与行驶速度x之间关系的函数，并求出该函数表达式．
（3）当该款电动汽车匀速行驶时的速度在60km/h和85km/h之间（含60km/h和85km/h）时，求其实际续航里程的最小值．
【分析】（1）根据表格描点即可；
（2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可；
（3）根据题意求出实际续航里程，从而得当y最大时，s取最小值，求出二次函数y＝0.002（x﹣70）2+11.55在60≤x≤85范围内的最大值即可解答．
【解答】解：（1）结合题干，根据表格描点即可，
（2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，
数据先降后升，且（50，12.35）和（90，12.35）（60，11.75）和（80，11.75）均关于x＝70对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数，
设函数表达式为（对称轴为x＝70，顶点为 （70，11.55）：y＝a（x﹣70）2+11.55，
将点 （60，11.75）代入得：11.75＝a（60﹣70）2+11.55，
解得a＝0.002，
验证其余点均满足该式，
∴函数表达式为：y＝0.002（x﹣70）2+11.55，
展开写为y＝0.002x2﹣0.28x+21.35；
∴最符合的是二次函数，函数表达式为：y＝0.002（x﹣70）2+11.55，或写为y＝0.002x2﹣0.28x+21.35；
（3）根据题意：实际能耗为1.2y，代入续航里程公式：实际续航里程，
∴s随y的增大而减小，
∴当y最大时，s取最小值，
∵二次函数y＝0.002（x﹣70）2+11.55开口向上，对称轴为直线x＝70，
∴在60≤x≤70范围内，y随x增大而减小，在70≤x≤85范围内，y随x增大而增大；
当x＝60时，y＝11.75，
当x＝85时，y＝0.002×（85﹣70）2+11.55＝12，
∴在60≤x≤85范围内y的最大值为12，
∴，
故实际续航里程的最小值为420千米．
【点评】题目考查了二次函数的应用及性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
【作业 13】（2026 新城区校级模拟）某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形OEPQ为矩形），已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，如图所示，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求上半部分抛物线的函数表达式；
（2）现需在此抛物线型城门上的点A、D处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）根据A、D的对称关系与水平距离确定横坐标，将其代入表达式，依据二次函数计算得出纵坐标，即灯笼距地面高度．
【解答】解：（1）已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
∴抛物线的顶点为（3，6），P（6，4），
∴设抛物线的函数表示式为y＝a（x﹣3）2+6，将点P的坐标代入得：
4＝9a+6，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为，即；
（2）如图，过点A、D分别作AB⊥OQ于点B，DC⊥OQ于点C，
由题意知BC＝4，A、D关于抛物线的对称轴对称，
∴，
当x＝1时，，
∴灯笼距离地面的高度为米．
【点评】本题考查二次函数的应用，准确确定抛物线相关特征点坐标、熟练运用二次函数表达式及性质是解题关键．
第1页（共1页）第5讲 二次函数的应用 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 能根据实际问题建立平面直角坐标系，把抛物线轨迹抽象为二次函数
· · 掌握投篮、铅球、喷水等运动类问题的建模与求法
· · 掌握围栏围矩形等面积最大问题的二次函数建模
· · 掌握利润=（售价-进价）×销量的利润最大问题建模
· · 掌握抛物线型拱桥、隧道等问题中利用对称性求宽度与高度
知识梳理
☆ 1.抛物线运动问题
以出手点、拱顶或落点为参照建立坐标系，优先用顶点式y=a(x-h)2+k
投篮、铅球、喷水问题：顶点是最高点，落点即y=0的正根
已知顶点和一个点用顶点式；已知三点用一般式
求最大高度即求顶点纵坐标，求水平距离即令y=0解正根
概念辨析例题：篮球水平距离4m时达最大高度4m，出手点(0, )，求解析式并判断x=7时y值
解析：设y=a(x-4)2+4，代入(0,)得16a+4=，a=-；x=7时y=-×9+4=3
☆ 2.面积最大问题
围栏靠墙问题：设垂直于墙的边长为x，用总长表示邻边长
矩形面积S=x·(邻边长)，整理为S=ax2+bx+c形式
注意自变量取值范围：墙长、门宽对边长的限制
若顶点横坐标不在取值范围内，按增减性在端点取最值
概念辨析例题：30m篱笆靠墙围矩形，AB=x，求y与x关系式及x范围
解析：BC==15-，y=x(15-)=-x2+15x
☆ 3.利润最大问题
利润w=（售价-进价）×销售量
涨价1元销量减n件：设涨价a元，单件利润为（原售价-进价+a）
销量=原销量-n·a，整理得w关于a的二次函数
注意物价部门规定的售价上限，顶点不在范围内时按增减性取端点
概念辨析例题：模型成本20元，24元售时日销40件，每涨1元少销2件，求涨价多少利润最大
解析：设涨价a元，w=(a+4)(40-2a)=-2a2+32a+160=-2(a-8)2+288，a=8时最大
☆ 4.抛物线型拱桥与隧道问题
以拱顶为原点或拱底中点为原点建系，利用对称性
已知跨度和拱高可设y=ax2+k或y=a(x-h)2+k
求水面宽度：令y为某高度，解出两个x作差
求船/车能否通过：在限定宽度处比较抛物线高度与车高
概念辨析例题：拱顶离水面4m时水面宽8m，以顶点(4,4)为顶点建系，水面上升3m后宽多少
解析：y=a(x-4)2+4过(0,0)得a=-；令y=3得(x-4)2=4，x=2或6，宽4m
知识总结表
实际问题 建模方法 注意事项
运动轨迹 顶点式y=a(x-h)2+k 顶点即最高点
求水平距离 令y=0解正根 负根舍去
围栏面积 S=x(总长-2x) 注意墙长限制
利润问题 w=(售价-进价)×销量 涨价减销量
拱桥宽度 令y为定值解x作差 利用对称性
车辆通过 限定宽度处比高度 端点高度比较
最值位置 顶点在范围内取顶点 否则取端点
核心考点
【考点1】抛物线运动曲线（第1-9题）
· · 优先设顶点式y=a(x-h)2+k
· · 代入已知点求a
· · 令y=0求落点水平距离
· · 判断能否投中即比较x处y值
1．（2026 白银模拟）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　）
A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12
2．（2025 营口模拟）某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2026 衡南县模拟）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（单位：cm/s）与弹簧被压缩的长度x（单位：cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知P（2，n）为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直线v＝b，且．当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．
4．（2025秋 洪洞县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则CD的长为_______ m．
5．（2026 东城区二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是___________________ m．
6．（2025秋 新华区校级月考）淇淇从地面以vm/s的速度竖直向上发射一个小球，小球离地面的高度h（m）与运动的时间t（s）满足关系式h＝﹣5t2+vt．若小球离地面的最大高度为20m，则v的值为_______ ．
7．（2026 郑州二模）塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分AB，以墙OA所在的直线为y轴，以水平地面所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若离y轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点A距离地面2米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架CD两个端点均在抛物线上，求钢架CD的长；
（3）为更好地种植蔬菜，老张准备将A点上移m米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，且到地面的距离均为3米，求m的值．
8．（2026 深圳模拟）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）．
（1）轨道初段AC的总长为_______ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式．
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
9．（2026 江夏区校级模拟）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）如图1建立平面直角坐标系．
①求此抛物线的表达式；
②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
（2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？
【考点2】面积最大问题（第10-15题）
· · 用总长表示邻边长
· · S=x·邻边长整理为二次函数
· · 列不等式组定x范围
· · 顶点不在范围按增减性取端点
10．（2025 宿松县模拟）如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（　　）
A．9 B． C．7 D．
11．（2024秋 巢湖市校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　）
A．7 B． C． D．
12．（2025秋 增城区期末）如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（　　）
A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16
B．直线PB的解析式为y＝x﹣4
C．点P到杯口AB的距离为5cm
D．点P到点D的距离为cm
13．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园ABCD，设AB＝x，S长方形ABCD＝y，则y与x的函数关系式为____________________ ，其中x的取值范围是___________ ．
14．（2024秋 唐山期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+k的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，
（1）k＝________ ；
（2）可判定货车_____ 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
15．（2025秋 海珠区期末）如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．
（1）直接写出S与x的函数关系式；
（2）若院墙的面积为120平方米，求x的值；
（3）若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值．
【考点3】利润最大问题（第16-21题）
· · w=(售价-进价)×销量
· · 涨价a元单件利润加a
· · 销量=原销量-n·a
· · 售价有上限时注意端点
16．（2025秋 高平市月考）山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶，则超市销售该种沙棘汁能获得的最大销售收入为（　　）
A．640元 B．605元 C．600元 D．560元
17．（2025秋 金安区校级月考）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元
18．（2026 垦利区二模）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____ 元，才能使每日利润最大．
19．（2026 鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是_________ ．
20．（2024秋 昭通期末）某商场以每个30元的价格购进某品牌玩具进行销售．在一段时间内，每个玩具的售价为40元时，可以售出600个，每个玩具的售价每上涨1元，销售量就减少10个．这种品牌玩具的实际销售价为每个x元，销售量为y个．规定该品牌玩具每个的销售价不低于45元，且商场的销售量不少于500件．
（1）求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
21．（2025 兴化市二模）端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个．
（1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？
（2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点4】拱桥问题（第22-27题）
· · 以拱顶或拱底中点建系
· · 利用对称性只算一侧
· · 令y为定值求宽度
· · 上升水面后y值变化
22．（2026 细河区二模）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为_____ 米．
23．（2025秋 上城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF＝ _______ 米．
24．（2026 沁县一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB＝6m，现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m，则拱架最高点M距底部AB的高度为_____ m．
25．（2025秋 杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少_____ 米．
26．（2026 青山区模拟）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥．
（1）求中间大拱抛物线的解析式；
（2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）；
（3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长．
27．（2025 商丘模拟）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧AD＝6cm，瓶底BC＝4cm，且AD∥BC，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式；
（2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长；
（3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：）
【考点5】二次函数综合题型（第28-33题）
· · 待定系数法求解析式
· · 铅垂线段长=抛物线段-直线段
· · 面积比转化为线段比
· · 等腰三角形分类列距离方程
28．（2026 东西湖区一模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值．
29．（2026 安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ybx+c经过点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，4），连接AC，BC．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴移动，运动时间为ts，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
30．（2024 平山县一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点（1，3），（﹣3，﹣1）都是“龙点”．如图，抛物线L：y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），与x轴交于点A、B．
（1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值；
（2）我们发现，若用（x，x+2）来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上．
①直接写出直线l的解析式；
②当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围．
31．（2026春 闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2025秋 江西校级期末）如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标．
（3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G．
①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标；
②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值．
33．（2026 城关区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B（1，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求出抛物线的表达式；
（2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为________ m．
【练习 2】（2025 江口县模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1．当“水火箭”的升空高度为37m时，此时的飞行时间为（　　）
A．12s B．9s C．6s D．3s或9s
【练习 3】（2025秋 栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m．
【练习 4】（2025秋 晋中月考）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则水面上升2米后水面宽度为________________ 米．
【练习 5】某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元/个时，日销售量为152个；当销售单价为16元/个时，日销售量为136个．若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，则m的值为_____ ．
课后巩固
复习建议
· · 实际问题先建系，优先用顶点式，再代点求系数
· · 求最大高度看顶点纵坐标，求水平距离令y=0
· · 面积问题注意墙长和门宽对自变量范围的限制
· · 利润问题牢记w=（售价-进价）×销量，涨价必减销量
· · 拱桥问题善用对称性，只算一半再翻倍
【作业 1】（2026 陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　）
A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm
【作业 2】（2025秋 台州期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元．
A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元
【作业 3】（2026 千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　）
A．180W B．195W C．200W D．220W
【作业 4】（2025 广西模拟）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 _______ 秒．
【作业 5】（2024 双阳区一模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 __________ 米．
【作业 6】（2024秋 苍溪县期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 _______ 米．
【作业 7】（2026 灌南县模拟）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是_______ 米．
【作业 8】（2026 大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 ____________________ ．
【作业 9】（2026 榆树市二模）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE＝2，OD＝1.9，AB＝5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 ____________________ ．
【作业 10】（2025秋 光明区期末）某公司生产一种成本价为200元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w＝﹣5x+3000，设销售该无人机每月的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？
【作业 11】（2026 南山区三模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根据上述数据，直接写出k的值为__________ ，直接写出满足的函数关系式：____________________ ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【作业 12】（2026 浙江）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下：
行驶速度x（km/h） 50 60 70 80 90
基础能耗y（kW h/100km） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35
该款电动汽车的电池容量为60.48kW h，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍．
实际续航里程100．
（1）根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点．
（2）请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗y与行驶速度x之间关系的函数，并求出该函数表达式．
（3）当该款电动汽车匀速行驶时的速度在60km/h和85km/h之间（含60km/h和85km/h）时，求其实际续航里程的最小值．
【作业 13】（2026 新城区校级模拟）某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形OEPQ为矩形），已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，如图所示，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求上半部分抛物线的函数表达式；
（2）现需在此抛物线型城门上的点A、D处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度．
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