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第13讲 锐角三角函数 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中正确求值
· · 掌握锐角三角函数的增减性，能比较同名及异名三角函数值的大小
· · 掌握同角三角函数关系sin2A＋cos2A＝1及tanA＝
· · 掌握互余两角关系sinA＝cos(90°－A)，能灵活转化
· · 熟记30°、45°、60°的三角函数值并能进行混合运算
知识梳理
☆ 1.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝
cosA＝＝
tanA＝＝
关键：先分清对边、邻边、斜边，再代定义
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求cosA
解析：由勾股定理AB＝＝5，cosA＝＝
☆ 2.锐角三角函数的增减性
在0°～90°范围内，sinα随α增大而增大
cosα随α增大而减小
tanα随α增大而增大
当α＝45°时sinα＝cosα；α＜45°时sinα＜cosα，α＞45°时sinα＞cosα
概念辨析例题：比较sin47°与cos42°的大小
解析：cos42°＝sin48°，sin47°＜sin48°，故sin47°＜cos48°＝cos42°的等价值转换后比较
☆ 3.同角与互余两角的三角函数关系
同角平方关系：sin2A＋cos2A＝1
同角商数关系：tanA＝
互余关系：sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)，tanA·tan(90°－A)＝1
已知一个三角函数值，可求其余两个
概念辨析例题：已知sinA＝，求cosA与tanA
解析：由sin2A＋cos2A＝1得cosA＝＝，tanA＝＝
☆ 4.特殊角三角函数值与计算
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝
sin45°＝cos45°＝，tan45°＝1
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝
混合运算：先代值，再按实数运算法则计算
概念辨析例题：计算：4sin30°－2cos45°＋tan60°
解析：原式＝4×－2×＋＝2－＋
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
正弦sinA ＝ 对边勿找错
余弦cosA ＝ 邻边勿找错
正切tanA ＝ 无斜边
同角平方关系 sin2A＋cos2A＝1 恒等式
互余关系 sinA＝cos(90°－A) 奇变偶不变
增减性 sin、tan增；cos减 只看0°～90°
特殊角 30°/45°/60°值要熟记 混合运算先代值
核心考点
【考点1】锐角三角函数的意义（第1-10题）
· · 先在直角三角形中分清对边、邻边、斜边
· · 网格题用勾股定理求边长
· · 遇等积式或定义变形，回到sin/cos/tan定义
· · 非直角三角形作高构造直角三角形
1．（2025秋 南山区校级期末）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（　　）
A．c＝a sinA+b sinB B．c＝a cosA+b cosB
C．c＝a sinB+b sinA D．c＝a cosB+b cosA
【分析】通过作高将边c分解为两段，利用余弦的定义求解即可．
【解答】解：设从C点作高CD⊥AB于D，如图，
∵，
∴AD＝b cosA，
∵，
∴BD＝a cosB，
∵c＝AB＝AD+BD，
∴c＝b cosA+a cosB．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是作出正确的图象．
2．（2026 道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】根据题意画出图形，明确∠A的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入AB＝3BC即可求解．
【解答】解：如图，∠C＝90°，斜边是AB，∠A的对边是BC，
又∵AB＝3BC，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键．
3．（2026 潮南区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】取格点M，连接AM，BM，由正方形网格的特点得BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°，由此得CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90，则∠B＝∠CPB，在Rt△ABM中，tanB＝tan∠CPB＝AM/BM，再由勾股定理求出AM，BM即可得出tan∠CPB的值．
【解答】解：取格点M，连接AM，BM，如图所示：
由正方形网格的特点得：BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°，
∴CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90，
∴∠B＝∠CPB，△ABM是直角三角形，
在Rt△ABM中，tanB，
∴tan∠CPB，
又∵正方形网格中的小正方形的边长为1，
∴由勾股定理得：AM，BM，
∴tan∠CPB，
即tan∠CPB的值为．
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特点，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
4．（2026春 岳阳楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　）
A．a＝b tanB B．c＝b cosA C． D．
【分析】根据锐角三角函数，确定Rt△ABC中各角的三角函数值，进行判断即可．
【解答】解：如图所示，，
A．由，可得b＝a tanB，选项计算错误，不符合题意；
B．由，可得b＝c cosA，选项计算错误，不符合题意；
C．由，可得，选项计算正确，符合题意；
D．由，可得a＝c cosB，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
5．（2026 保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】由可求出CD＝4，由AD＝BD＝8可求出BC的长．
【解答】解：∵，
∴，
∵AD＝BD＝8，
∴CDAD8＝4，
∴BC＝8+4＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
6．（2026 邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ．
【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB中点得CD＝AD＝BDAB，进而得∠A＝∠DCA，根据DE＝CE得∠EDC＝∠DCA＝∠A，由三角形外角性质得∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，在Rt△ADE中根据∠A+∠AED＝90°，得∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得AD，然后根据正割函数的性质即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝1/2AB，
∴△DAC是等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCA，
∴∠EDC＝∠DCA＝∠A，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，
∵∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠A+∠AED＝90°，
∴∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
设DE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AD，
∴secA．
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义是解决问题的关键．
7．（2025秋 莱阳市期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BC＝1，BD⊥AC于点D，则cos∠DBC的值为　　 ．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再直角三角形的性质得出∠DBC＝∠A，由∴cos∠DBC＝cosA进行计算即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BC＝1，
∴∠A+∠C＝90°，AB2，
又∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠A，
∴cos∠DBC＝cosA，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握勾股定理，直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
8．（2025秋 福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值．
【分析】由勾股定理求出AC的长，由锐角的正弦、余弦和正切定义，即可计算，
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC，
∴sinA，cosA，tanB．
【点评】本题考查锐角三角形函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义，余弦定义，正切定义．
9．（2024秋 台江区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请你确定式子cosAcosB是否为常数，并试证明你的结论．
【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理得cosA，cosB，a2+b2＝c2，代入式子计算，即可得出结论．
【解答】解：是常数，证明：
∵cosA，cosB，a2+b2＝c2，
∴cosAcosB

＝1．
∴式子cosAcosB是常数．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2025秋 红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值．
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可．
【解答】解：根据题意可知，，
∴，，．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
【考点2】锐角三角函数的增减性（第11-15题）
· · sin、tan随角度增大而增大，cos相反
· · 异名比较先统一化为同名
· · 与1比较：tan45°＝1，cos0°＝1
· · 由函数值反推角度范围
11．（2025 惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　）
A．cos25° B．cos65° C． D．
【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在25°到65°的区间内，当α取最小值25°时，cosα取得最大值．
【解答】解：已知25°≤α≤65°，当α取最小值时，即α＝25°，cosα的值最大，即最大值为cos25°．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦函数值的变化，余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小是关键．
12．（2025秋 安国市期末）比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　）
A．tan50°＜cos10°＜sin70°
B．tan50°＜sin70°＜cos10°
C．sin70°＜tan50°＜cos10°
D．sin70°＜cos10°＜tan50°
【分析】利用三角函数的关系将sin70°转化为cos20°，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较cos10°和cos20°，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较tan50°与cos10°即可．
【解答】解：∵在锐角范围内，余弦函数递减，且10°＜20°，
∴cos10°＞cos20°＝sin70°，
即sin70°＜cos10°．
∵tan45°＝1，且正切函数在锐角范围内递增，50°＞45°，
∴tan50°＞1，
又∵cos10°＜1（余弦函数递减，cos0°＝1），
∴cos10°＜tan50°，
综上，sin70°＜cos10°＜tan50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键．
13．（2026春 莱芜区期末）已知，那么锐角α的取值范围是（　　）
A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60°
【分析】根据特殊锐角三角函数值得出sin30°，进而得到sinα＞sin30°，再根据三角函数的增减性进行解答即可．
【解答】解：∵sin30°，而sinα，
∴sinα＞sin30°，
∴α＞30°，
又∵α为锐角，
∴α＜90°，
∴30°＜α＜90°，
故选：A．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，三角函数的增减性，掌握特殊锐角三角函数值，三角函数的增减性是正确解答的关键．
14．（2024秋 裕安区校级期末）比较大小：sin47° 　＞　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果．
【解答】解：∵0°＜43°＜47°＜90°，
∴sin43°＜sin47°，
即sin47°＞sin43°，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的单调性是解题的关键．
15．（2025秋 苏州校级期中）tan60°　＞　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案．
【解答】解：∵60°＞40°，
∴tan60°＞tan40°，
故答案为：＞．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握正切值随角度的增加而增加．
【考点3】同角三角函数的关系（第16-21题）
· · sin2A＋cos2A＝1 知一求二
· · tanA＝ 用于商数转换
· · (sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA
· · 开方时注意取正（锐角）
16．（2026 桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据sin2A+cos2A＝1代入计算即可．
【解答】解：∵sinA，sin2A+cos2A＝1，
∴cosA，
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握sin2A+cos2A＝1是正确解答的关键．
17．（2025秋 琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】由锐角的余弦定义得到cosA，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2．
【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵cosA，
∴令AC＝x，AB＝3x，
∴BC2x，
∴tanA2．
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，关键是掌握锐角的余弦，正切定义．
18．（2025秋 宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 b＜a＜c ．
【分析】根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可．
【解答】解：根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系可知：
cos48°＝sin42°＜sin48°＜1，tan48°＞tan45°＝1，
∴b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．
19．（2025秋 蒙城县月考）比较大小：sin42°　＜　 cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”）
【分析】利用锐角三角函数的性质，比较sin42°和cos42°的大小．
【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知：
因为当0°＜α＜45°时，sinα＜cosα，
所以sin42°＜cos42°．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键．
20．（2024秋 涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA，求sinA cosA的值．
【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可；
（2）将sinA+cosA两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵sinA，cosA，
∴sin2A+cos2A，
∵∠C＝90°，
∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，
∴sin2A+cos2A＝1．
（2）解：∵sinA+cosA，
∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA cosA，
∵sin2A+cos2A＝1，
∴1+2sinA cosA，
∴sinA cosA．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握正弦、余弦的定义是本题的关键．
21．（2025秋 南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图①中，sinA＝　　 ，cosA＝　　 ，sin2A+cos2A＝　1　 ；
在图②中，sinA1＝　　 ，cosA1＝　　 ，　1　 ．
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来．
（2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，从而发现规律；
（2）根据（1）中的规律，即可求解．
【解答】解：（1）如图①，利用三角函数的定义，
∴，，sin2A+cos2A＝1，
图②中，，，，
规律：对于任意锐角β有sin2β+cos2β＝1；
（2）∵β为锐角，∴sinβ＞0，cosβ＞0，
结合得出的规律得，
由，得10cos2β＝1，
解得（负值已经舍去）．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点4-5】互余关系与特殊角值（第22-33题）
· · sinA＝cos(90°－A) 互余转换
· · 特殊角值：30°/45°/60°必背
· · 混合运算先代值再算
· · 非负数之和为0时各部分为0
22．（2025 海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：∵tanB，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
由勾股定理得：AB5x，
∴sinA．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
23．（2025秋 合肥期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数的定义及勾股定理进行计算即可进行求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，∴，可设ACx，则AB＝3x，由勾股定理得，BCx，∴tanB故选：D．
【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提．
24．（2025秋 安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝　　 ．
【分析】根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握正弦与余弦的定义是解题关键．
25．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为 　　 ．
【分析】利用互余两角的三角函数关系求解．
【解答】解：∵sinα＝cos（90°﹣α），
∴cos（90°﹣α）＝sinα．
故答案为：．
【点评】本题考查的是互余两角三角函数的关系，解答此题的关键，是要牢记互余两角的三角函数关系，即sinα＝cos（90°﹣α）（α是锐角）．
26．（2024秋 慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　　 ．
【分析】根据题意设BC＝3a，AB＝4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵sinA，
∴设BC＝3a，AB＝4a，
∴ACa，
∴tanB．
故答案为：．
【点评】本题考查互余两角的三角函数关系，解题的关键是掌握三角函数的定义．
27．（2025春 海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值．
【分析】根据锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系进行计算即可．
【解答】解：设在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴tanA，tanB，sinA，sinB，
∵tanA+tanB，即，
∴，
∵a2+b2＝c2，
∴，
∴ ，
即sinA sinB，
∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A+sin2B﹣2sinA sinB
＝sin2A+cos2A﹣2sinA sinB
＝1﹣2
，
∴sinA﹣sinB＝±．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系是正确解答的关键．
五．考点5：特殊锐角三角函数的值（共6小题）
28．（2025 广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是　直角三角形　 ．
【分析】先根据非负数的性质确定，继而求出∠A＝60°，∠C＝30°，即可判断三角形ABC的形状．
【解答】解：∵，
∴∠A＝60°，∠C＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴三角形ABC的形状是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握以上知识点是关键．
29．（2025秋 南通期末）4sin30°﹣2cos45°+tan60°＝　2　 ．
【分析】将特殊角的三角函数值代入表达式并计算．
【解答】解：原式＝42
＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．
30．（2025秋 兴庆区期末）在锐角△ABC中，若，则∠A的度数是　30°　 ．
【分析】利用特殊角的三角函数值进行求解即可．
【解答】解：由条件可知，
又∠A是锐角，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
31．（2025秋 桓台县期末）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝　　 ．
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记各特殊角的三角函数值．
32．（2026 苏州模拟）计算：．
【分析】先根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
33．（2025秋 吉林期末）计算：．
【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式（）2+1
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
六．考点6：计算器—三角函数（共3小题）
34．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是　sin28°＜tan26°＜cos27°　 （用“＜”连接）．
【分析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可．
【解答】解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469，
∴sin28°＜tan26°＜cos27°．
故答案为：sin28°＜tan26°＜cos27°．
【点评】本题考查了计算器求三角函数值，掌握计算器的使用方法是解题的关键．
35．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 　2ndF ，再按三角函数键，最后输入 　函数值　 ，即可得到结果．
【分析】按计算器使用说明即可．
【解答】解：已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键2ndF，再按三角函数键，最后输入函数值，即可得到结果．
故答案为：2ndF；函数值．
【点评】本题主要考查了计算器使用，解题关键是正确使用．
36．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）．
【分析】用计算器求三角函数，即可解答．
【解答】解：∵tanB＝1.6863，
∴锐角B的度数≈59°．
【点评】本题考查了用计算器求三角函数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 安溪县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∴cosA．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解余弦的定义是解决问题的关键．
【练习 2】（2025秋 市中区期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）
A． B． C． D．2
【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解．
【解答】解：根据网格可得：，，，
∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
【练习 3】（2023秋 祁阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据余弦的定义即可求得cosB的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴cosB，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记余弦的定义是解题的关键．
【练习 4】（2025秋 淄川区期末）若，则锐角α的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答．
【解答】解：∵sinα，
∴锐角α的度数是45°．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【练习 5】（2025秋 神木市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为　　 ．
【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠B＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系即可求出cos∠ACD的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．
【练习 6】（2026 惠东县模拟）计算：cos60°　　 ．
【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解．
【解答】解：原式，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则．
【练习 7】（2026 旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　90°　 ．
【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再由锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【练习 8】（2025秋 浙江期末）计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2025．
【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【练习 9】（2025秋 永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．
课后巩固
复习建议
· · 定义三板斧：对边、邻边、斜边，先画图再代公式
· · 增减性口诀：正、切增，余减
· · 同角关系：sin2A＋cos2A＝1 是万能工具
· · 互余关系：正弦余弦互换，角度变90°－原角
· · 特殊角30°/45°/60°必须背熟，混合运算先代值再化简
【作业 1】（2026 沙坪坝区校级模拟）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，则tanB等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据正切的定义即可求得答案．
【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，
则tanB，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【作业 2】（2026春 北京期中）若，则锐角α的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出α的度数．
【解答】解：由题意得，
又∵，且α为锐角，
∴α+10°＝30°，
∴α＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【作业 3】（2026 海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　或　 ．
【分析】分∠C＝90°或∠A＝90°两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，当∠C＝90°时，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∴sinB，
在Rt△ABC中，当∠A＝90°时，
∵AC＝3，BC＝4，
∴sinB，
综上分析可知，sinB或sinB．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键．
【作业 4】（2026 蓬江区模拟）°＝　1　 ．
【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分母有理化，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
【作业 5】（2026 福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　2　 ．
【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得．
【解答】解：如图，在3×3的正方形网格中，
∵AG∥FC，
∴∠BCF＝∠AEB，
∵∠BFC＝90°，
∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则．
故答案为：2．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 6】（2025春 同步）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？
【分析】首先根据BE⊥AD于E，CF⊥AD于F可得CF∥BE，从而得到∠DCF＝∠DBE；设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α，则可用含有α的表达式表示出CF及BE；由于∠ABC＝90°，可以求得0＜α＜90°，根据点D从B→D运动时α的变化情况，即可得出cosα的变化趋势，进而得出结论．
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBF．
设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α，
∴CF＝DC cosα，BE＝DB cosα，
∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BCcosα．
∵∠ABC＝90°，
∴0＜α＜90°．
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF＝BCcosα的值是逐渐减小的．
综上，在D点的运动过程中，BE+CF的值是逐渐减小的．
【点评】本题侧重考查知识点的理解、应用能力．
学生在日常学习中应从以下2个方向（【直观想象】【逻辑推理】）培养对知识点的理解、应用能力．
【作业 7】（2026春 广饶县期末）已知α是锐角，且．求的值．
【分析】先根据且α是锐角求出α的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：∵且α是锐角，
∴α＝45°，
∴
．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据α的正弦值求出α的度数是解题的关键．
第1页（共1页）第13讲 锐角三角函数 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中正确求值
· · 掌握锐角三角函数的增减性，能比较同名及异名三角函数值的大小
· · 掌握同角三角函数关系sin2A＋cos2A＝1及tanA＝
· · 掌握互余两角关系sinA＝cos(90°－A)，能灵活转化
· · 熟记30°、45°、60°的三角函数值并能进行混合运算
知识梳理
☆ 1.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝
cosA＝＝
tanA＝＝
关键：先分清对边、邻边、斜边，再代定义
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求cosA
解析：由勾股定理AB＝＝5，cosA＝＝
☆ 2.锐角三角函数的增减性
在0°～90°范围内，sinα随α增大而增大
cosα随α增大而减小
tanα随α增大而增大
当α＝45°时sinα＝cosα；α＜45°时sinα＜cosα，α＞45°时sinα＞cosα
概念辨析例题：比较sin47°与cos42°的大小
解析：cos42°＝sin48°，sin47°＜sin48°，故sin47°＜cos48°＝cos42°的等价值转换后比较
☆ 3.同角与互余两角的三角函数关系
同角平方关系：sin2A＋cos2A＝1
同角商数关系：tanA＝
互余关系：sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)，tanA·tan(90°－A)＝1
已知一个三角函数值，可求其余两个
概念辨析例题：已知sinA＝，求cosA与tanA
解析：由sin2A＋cos2A＝1得cosA＝＝，tanA＝＝
☆ 4.特殊角三角函数值与计算
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝
sin45°＝cos45°＝，tan45°＝1
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝
混合运算：先代值，再按实数运算法则计算
概念辨析例题：计算：4sin30°－2cos45°＋tan60°
解析：原式＝4×－2×＋＝2－＋
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
正弦sinA ＝ 对边勿找错
余弦cosA ＝ 邻边勿找错
正切tanA ＝ 无斜边
同角平方关系 sin2A＋cos2A＝1 恒等式
互余关系 sinA＝cos(90°－A) 奇变偶不变
增减性 sin、tan增；cos减 只看0°～90°
特殊角 30°/45°/60°值要熟记 混合运算先代值
核心考点
【考点1】锐角三角函数的意义（第1-10题）
· · 先在直角三角形中分清对边、邻边、斜边
· · 网格题用勾股定理求边长
· · 遇等积式或定义变形，回到sin/cos/tan定义
· · 非直角三角形作高构造直角三角形
1．（2025秋 南山区校级期末）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（　　）
A．c＝a sinA+b sinB B．c＝a cosA+b cosB
C．c＝a sinB+b sinA D．c＝a cosB+b cosA
2．（2026 道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　）
A． B． C．3 D．
3．（2026 潮南区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2026春 岳阳楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　）
A．a＝b tanB B．c＝b cosA C． D．
5．（2026 保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．（2026 邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 ____________________ ．
7．（2025秋 莱阳市期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BC＝1，BD⊥AC于点D，则cos∠DBC的值为____________________ ．
8．（2025秋 福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值．
9．（2024秋 台江区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请你确定式子cosAcosB是否为常数，并试证明你的结论．
10．（2025秋 红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值．
【考点2】锐角三角函数的增减性（第11-15题）
· · sin、tan随角度增大而增大，cos相反
· · 异名比较先统一化为同名
· · 与1比较：tan45°＝1，cos0°＝1
· · 由函数值反推角度范围
11．（2025 惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　）
A．cos25° B．cos65° C． D．
12．（2025秋 安国市期末）比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　）
A．tan50°＜cos10°＜sin70°
B．tan50°＜sin70°＜cos10°
C．sin70°＜tan50°＜cos10°
D．sin70°＜cos10°＜tan50°
13．（2026春 莱芜区期末）已知，那么锐角α的取值范围是（　　）
A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60°
14．（2024秋 裕安区校级期末）比较大小：sin47° _____ sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．（2025秋 苏州校级期中）tan60°_____ tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
【考点3】同角三角函数的关系（第16-21题）
· · sin2A＋cos2A＝1 知一求二
· · tanA＝ 用于商数转换
· · (sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA
· · 开方时注意取正（锐角）
16．（2026 桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
17．（2025秋 琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　）
A． B．2 C． D．
18．（2025秋 宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 __________ ．
19．（2025秋 蒙城县月考）比较大小：sin42°_____ cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”）
20．（2024秋 涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA，求sinA cosA的值．
21．（2025秋 南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图①中，sinA＝__________________ ，cosA＝__________________ ，sin2A+cos2A＝_____ ；
在图②中，sinA1＝____________________ ，cosA1＝___________________ ，_____ ．
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来．
（2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值．
【考点4-5】互余关系与特殊角值（第22-33题）
· · sinA＝cos(90°－A) 互余转换
· · 特殊角值：30°/45°/60°必背
· · 混合运算先代值再算
· · 非负数之和为0时各部分为0
22．（2025 海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
23．（2025秋 合肥期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
24．（2025秋 安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝__________________ ．
25．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为 __________________ ．
26．（2024秋 慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 ____________________ ．
27．（2025春 海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值．
五．考点5：特殊锐角三角函数的值（共6小题）
28．（2025 广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是__________ ．
29．（2025秋 南通期末）4sin30°﹣2cos45°+tan60°＝____________________ ．
30．（2025秋 兴庆区期末）在锐角△ABC中，若，则∠A的度数是________ ．
31．（2025秋 桓台县期末）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝____________________ ．
32．（2026 苏州模拟）计算：．
33．（2025秋 吉林期末）计算：．
六．考点6：计算器—三角函数（共3小题）
34．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是____________________ （用“＜”连接）．
35．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 __________ ，再按三角函数键，最后输入 ________ ，即可得到结果．
36．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 安溪县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【练习 2】（2025秋 市中区期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）
A． B． C． D．2
【练习 3】（2023秋 祁阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【练习 4】（2025秋 淄川区期末）若，则锐角α的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【练习 5】（2025秋 神木市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为____________________ ．
【练习 6】（2026 惠东县模拟）计算：cos60°___________________ ．
【练习 7】（2026 旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为________ ．
【练习 8】（2025秋 浙江期末）计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2025．
【练习 9】（2025秋 永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°．
课后巩固
复习建议
· · 定义三板斧：对边、邻边、斜边，先画图再代公式
· · 增减性口诀：正、切增，余减
· · 同角关系：sin2A＋cos2A＝1 是万能工具
· · 互余关系：正弦余弦互换，角度变90°－原角
· · 特殊角30°/45°/60°必须背熟，混合运算先代值再化简
【作业 1】（2026 沙坪坝区校级模拟）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，则tanB等于（　　）
A． B． C． D．
【作业 2】（2026春 北京期中）若，则锐角α的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【作业 3】（2026 海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ ____________________ ．
【作业 4】（2026 蓬江区模拟）°＝_____ ．
【作业 5】（2026 福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是_____ ．
【作业 6】（2025春 同步）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？
【作业 7】（2026春 广饶县期末）已知α是锐角，且．求的值．
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