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第10讲 相似三角形判定 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 掌握相似三角形的四种判定方法（AA、SAS、SSS、平行法）
· · 能在格点图中通过计算边长比判定两个三角形相似
· · 会根据已知条件补充一个条件使两三角形相似
· · 掌握「乘积式b2=ac」的证明思路，会找中间比过渡
· · 能利用相似三角形求线段长，并解决测高、测距等实际问题
知识梳理
☆ 1.相似三角形的判定定理
AA：两角对应相等，两三角形相似（最常用）
SAS：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
SSS：三边对应成比例，两三角形相似
平行法：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似
概念辨析例题：D,E在△ABC边AB,AC上，AB=7.4,AD=3,AC=6,AE=3.7，求证△ABC∽△AED
解析：==，==，化简后==，且∠A=∠A，由SAS得相似
☆ 2.常见相似模型（A型、X型、子母型）
A型：DE∥BC，则△ADE∽△ABC
X型：AB∥CD，对角线交于O，则△AOB∽△DOC
子母型（射影定理）：Rt△斜边上的高把三角形分成两个小直角三角形，都与原三角形相似
射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB
概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，求CD
解析：由△ACD∽△CBD得=，CD2=AD·BD=36，CD=6
☆ 3.乘积式b =ac的证明
乘积式先化为比例式=
在图中找包含b,a,c的两个相似三角形
若直接找不到，找中间比过渡（设k法）
公共角、对顶角、平行线带来的等角是相似的突破口
概念辨析例题：△ABC中D在AC上，∠ABD=∠C，AB=4，AD=2，求CD
解析：∠ABD=∠C，∠A公共，△ABD∽△ACB，=，AB2=AD·AC，16=2AC，AC=8，CD=6
☆ 4.相似三角形的实际应用
测高问题：利用太阳光线或镜子反射构造相似三角形
小孔成像、高脚杯液面：相似三角形对应高之比=相似比
标杆测量：过眼睛作水平线，拆成两个相似直角三角形
比例式中上下对应：物高：影长=物高：影长
概念辨析例题：镜子测楼高：AE=20m，CE=2.5m，DC=1.6m，求AB
解析：∠AEB=∠CED，∠A=∠C=90°，△ABE∽△CDE，=，=，AB=12.8m
知识总结表
判定方法 条件 适用场景
AA 两角对应相等 最常用，平行线/公共角
SAS 两边成比例且夹角等 有边长数据时
SSS 三边成比例 格点图算边长
平行法 DE∥BC A型/X型
射影定理 Rt△斜高CD CD2=AD·BD
乘积式 b2=ac 化比例找相似
实际应用 物高/影长成比例 测高测距
核心考点
【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-4题）
· · 格点图用勾股定理算三边
· · 按大小排三边比是否等于1:2:等
· · 直角三角形看直角边比
· · 动点题分两种对应情况讨论
1．（2026 河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据直角三角形的两条直角边的比为1：2判断即可．
【解答】解：由题意∠BAC＝90°，AB，AC＝2，
∴AB：AC＝1：2，
选项C中的三角形是直角边比为1：2的直角三角形，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
2．（2025秋 新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D．
【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
A．∠ADE＝∠ACB，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似，
故该选项不符合题意；
B．由DE∥BC得∠ADE＝∠B，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似，
故该选项不符合题意；
C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△ADE与△ACB相似，
故该选项不符合题意；
D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△ADE与△ACB相似，
故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
3．（2025秋 浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 　（2，2）　 ．
【分析】所连的三角形中有一个角与∠QPR相等，则根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”得到B点满足条件．
【解答】解：∵∠QPR＝∠BQP，，
∴△BQP∽△QPR，B点坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法可解决问题的关键．也考查了坐标与图形性质．
4．（2025秋 台州期末）如图，在△ABC中，BC＝4cm，AC＝3cm，D是BC的中点，动点E从点A出发，在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到C点停止．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的运动时间为 　s或s ．
【分析】设点E的运动时间为ts，则AE＝tcm，CE＝（3﹣t）cm，由于∠DCE＝∠BCA，根据相似三角形的判定方法，当，△CDE∽△CBA，即；当，△CDE∽△CAB，即，然后分别解方程求出对应的t的值即可．
【解答】解：设点E的运动时间为ts，则AE＝tcm，CE＝（3﹣t）cm，
∵D是BC的中点，
∴CDBC＝2cm，
∵∠DCE＝∠BCA，
∴当，△CDE∽△CBA，
即，
解得t；
当，△CDE∽△CAB，
即，
解得t；
综上所述，点E的运动时间为s或s．
故答案为：s或s．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
【考点2】补充条件判定三角形相似（第5-7题）
· · 已有公共角再补一对等角
· · 已有公共角补夹边成比例
· · 注意夹角必须是已知等角
· · 等边三角形都相似
5．（2026 洛阳模拟）下列说法：
①所有的等边三角形都相似；
②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；
③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；
④都有一个15°角的两个直角三角形相似．
其中正确的说法是（　　）
A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④
【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：①所有的等边三角形都相似，正确，故①符合题意；
②等腰三角形的两个底角相等，因此有一个底角相等的两个等腰三角形相似，故②符合题意；
③如果一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，那么这两个等腰三角形不一定相似，故③不符合题意；
④都有一个15°角的两个直角三角形相似，正确，故④符合题意．
∴其中正确的说法是①②④．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．
6．（2025秋 瑞金市期末）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2025秋 苏仙区期末）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件使△ABC∽△ADE，你添加的条件是　∠C＝∠E（答案不唯一）　 ．
【分析】利用相似三角形的判定方法即可解答本题．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴当∠C＝∠E或∠B＝∠D或时，△ABC∽△ADE，
故答案为：∠C＝∠E（答案不唯一）．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点3】乘积式b =ac的转化证明（第8-12题）
· · 先把乘积式写成比例式
· · 找含四条线段的两个三角形
· · 射影定理直接用CD2=AD·BD
· · 找不到就找中间比过渡
8．（2025秋 内丘县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，连接BF．
（1）如图1，延长BF，与AD的延长线交于点M，若，求的值；
（2）如图2，连接AE，交BF于点G，若，求的值．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，证明△FBC∽△FDM，然后根据对应边成比例求解即可；
（2）延长AE，DC相交于点H，根据平行四边形的性质证明△HEC∽△HAD，△GAB∽△GHF，得出对应边成比例，假设CE＝2a，CF＝2b，表示出相关线段的长度，得出，假设AG＝3c，表示出相关线段长度，然后根据等高三角形的面积比等于底的比，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠FBC，∠FDM＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∴△FBC∽△FDM，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）延长AE，DC相交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠HAD＝∠HEC，∠D＝∠HCE，∠GAB＝∠H，∠GBA＝∠GFH，
∴△HEC∽△HAD，△GAB∽△GHF，
∵，
设CE＝2a，则AD＝CB＝3a，CF＝2b，则AB＝CD＝3b，
∴，
∴HC＝6b，
∴HF＝HC+CF＝8b，
∴，
设AG＝3c，则GH＝8c，AH＝AG+GH＝11c，
∵，
∴，
∴，
∵△BGE与△ABG为等高三角形，
∴面积比等于底的比，
∴，
∴的值为．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求三角形的面积比等知识点，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
9．（2026 奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC．
（1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）联结OF．如果OF2＝EF AF，求证：F是BC的中点．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠DAC，可推出∠BAF＝∠ACF，根据BE＝BF，可推出∠AEB＝∠CFA，结合AE＝CF证明△ABE≌△CAF即可得证；
（2）由OF2＝EF AF可得，又有∠AFO＝∠OFE，则△AFO∽△OFE，得∠AOF＝∠OEF，则∠COF＝∠AEO，结合∠BAF＝∠DAC可得∠COF＝∠BFE，又由（1）得∠BAF＝∠ACF，可证△ABF∽△CFO，得到AB∥OF，结合平行四边形的性质即可得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠DAC，
∴∠BAF＝∠ACF，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠AEB+∠BEF＝180°，∠CFA+∠BFE＝180°，
∴∠AEB＝∠CFA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴AB＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB；
（2）∵OF2＝EF AF，
∴，
又∵∠AFO＝∠OFE，
∴△AFO∽△OFE，
∴∠AOF＝∠OEF，
∴∠COF＝∠AEO，
∵∠AEO＝∠BEF，
∴∠COF＝∠BEF，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠COF＝∠BFE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠DAC，
∴∠BAF＝∠ACF，
∴△ABF∽△CFO，
∴∠ABF＝∠CFO，
∴AB∥OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC中点，
∵AB∥OF，
∴F是BC的中点．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
10．（2024 兖州区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝12，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF．
（1）求证：△EFD∽△FBC；
（2）求tan∠AFB的值．
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可得∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可得∠BFE＝∠DAB＝90°，证明∠BFC＝∠FED，进而可得结论；
（2）由折叠可得BF＝AB，根据勾股定理可得CF＝5，所以FD＝8，由折叠可得∠AFB＝∠FAB，由AB∥CD，可得∠AFD＝∠FAB，所以∠AFD＝∠AFB，进而可求tan∠AFB的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠可知：∠BFE＝∠DAB＝90°，
∴∠EFD+∠BFC＝∠EFD+∠FED＝90°，
∴∠BFC＝∠FED，
∴△EFD∽△FBC；
（2）解：由折叠可知：BF＝AB＝13，
在Rt△BFC中，BC＝12，
∴CF5，
∴FD＝CD﹣CF＝13﹣5＝8，
∴tan∠AFD，
由折叠可知：∠AFB＝∠FAB，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FAB，
∴∠AFD＝∠AFB，
∴tan∠AFB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出∠AFD的正切是本题的关键．
11．（2026 漳州模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，满足∠ABD＝∠C，AB＝4，AD＝2．求CD的长．
【分析】先证明△ABD∽△ACB，由相似三角形的性质得出，求出AC，然后根据线段的和差关系即可得出CD．
【解答】解：在△ABD与△ACB中，
，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB＝4，AD＝2，
∴，
∴AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ABD∽△ACB解答．
12．（2025春 江汉区月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D．
（1）若记AC为3，BC为4，直接写出CD＝ 　　 ；
（2）若AD＝4，BD＝9，求CD的长度．
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，再由面积法求出CD的长即可；
（2）首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABCAB CDAC BC，
∴AB CD＝AC BC，
即5CD＝3×4＝12，
∴CD，
故答案为：；
（2）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD＝36，
∴CD＝6．
【点评】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点4】利用相似三角形求线段长（第13-20题）
· · 认准对应边列比例式
· · 面积比=相似比平方
· · DE∥BC直接用A型相似
· · 斜边中线、重心要先转化
13．（2026 二道区校级模拟）如图，∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝9，CB＝6．若△ACB∽△CBD，则BD的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解答】解：∵△ACB∽△CBD，AC＝9，CB＝6，
∴，即，
∴BD＝4．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
14．（2025秋 北碚区校级月考）在正方形ABCD中，点E为AD中点，点F在对角线AC上，且AC＝6AF，连接EF，过点F作FG⊥EF交BD于点H，交BC于点G，连接EH，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设正方形ABCD边长为6，则AE＝3，AC＝6，构造一线三垂直相似：过F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，可得GN、FG、CG的长度，在构造A字形相似：过G作GK⊥AC于点K，记AC与BD交点为点O，可得FH，进而在Rt△EFH中利用勾股定理求出HE，即可得解．
【解答】解：方法一：设正方形ABCD边长为6，则AE＝3，AC＝6，
∴AF
如图，过F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
，
∴△AMF为等腰直角三角形，
∴AM＝MF＝1，
∴EM＝2，FN＝5，
∴EF，
∵∠EFH＝90°，
∴∠EFM＝∠FGN＝90°﹣∠GFN，
∵∠EMF＝∠FNG＝90°，
∴△EMF∽△FNG，
∴，
∴GNFM，FGEF，
∴CG＝BC﹣BN﹣NG，
过G作GK⊥AC于点K，记AC与BD交点为点O，
则△CGK为等腰直角三角形，
∴GK＝CKCG，
∴OK＝OC﹣CK，
∵，
∴OF＝2，FK＝OF+OK，
∵OH∥GK，
∴△FOH∽△FKG，
∴，
∴FHFG，
在Rt△EFH中，HE，
∴；
方法二：如图，建立平面直角坐标系，
设正方形边长为6，易得E（3，6），D（6，6），
如图，过F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
∴△AMF为等腰直角三角形，
∴AM＝MF＝1，
∴EM＝2，FN＝5，
∴F（1，5），
易证△EMF∽△FNG，可得GN，
∴CG，G（，0），
由B（0，0）、D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，
由F（1，5），G（，0）可得直线FG解析式为y＝﹣2x+7，
联立，解得，
∴H（，），
∴HE，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．（2025秋 秦淮区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．若BC＝4，BD＝2，则AD的长为　6　 ．
【分析】证明△BDC∽△BCA，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴，即，
解得：BA＝8，
∴AD＝BA﹣BD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2025秋 新城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE交AB的延长线于点F，若CE＝1，BE＝2，则BF的长为　6　 ．
【分析】根据正方形的性质，证明△DCE∽△FBE，解答即可．
【解答】解：∵CE＝1，BE＝2，
∴BC＝CE+BE＝3，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，DC∥AF，
∴△DCE∽△FBE，
∴，
∵CE＝1，BE＝2，DC＝3，
∴，
解得BF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
17．（2026春 青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝　　 ．
【分析】由勾股定理可得AB＝10，由直角三角形的性质可得，延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE，△ADC≌△BDE（SAS），则DE＝AC，∠E＝∠DCA，AC∥BE，连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F，由三角形重心的性质可得BH＝CH，证明△AHC≌△FHB（AAS），得出BF＝AC，从而可得EF＝BE+BF＝2AC，再证明△ACG∽△FEG，由相似三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ACB＝90°，AC＝8，
∴，
∵点D为斜边上的中点，
∴，
如图：延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠E＝∠DCA，DE＝AC，
∴AC∥BE，
连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F，
∵点G为△ABC的重心，
∴AH为△ABC的中线，
∴BH＝CH，
∵AC∥BE，
∴∠F＝∠CAH，
∵∠AHC＝∠FHB，
∴△AHC≌△FHB（AAS），
∴BF＝AC，
∴EF＝BE+BF＝2AC，
∵AC∥BE，
∴△ACG∽△FEG，
∴，
∵EG＝ED+DG＝CD+DG＝CD+CD﹣CG＝2CD﹣CG，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
18．（2026 凉州区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 　18　 ．
【分析】由题意易得，△ADE∽△ABC，于是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵AD＝3BD，
∴AB＝4BD，即，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴S△ADE＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
19．（2026 高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q．
（1）求证：△ADE∽△CQD；
（2）当AD＝5时，求CQ的长．
【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠AED＝∠CDQ，进一步证明即可；
（2）证明AC＝AB＝12，求解CD＝12﹣5＝7，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵等边△ABC，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣60°＝120°，
∵由旋转可得：∠EDF＝60°，
∴∠ADE+∠CDQ＝120°，
∴∠AED＝∠CDQ，
∴△ADE∽△CQD．
（2）解：∵在等边△ABC中，AE＝4，AB＝12，
∴AC＝AB＝12，
∵AD＝5，
∴CD＝12﹣5＝7，
∵△ADE∽△CQD，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．（2026 江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．
【分析】根据DE∥BC，证明△ABC∽△ADE，进而得出，代入数据即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
∴．
根据题意AD＝3，AB＝5，DE＝5，
代入得，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【考点5】相似三角形的判定证明（第21-31题）
· · 公共角+另一对角是突破口
· · 两边成比例夹角等要验证夹角
· · 旋转后找对顶角/公共角
· · 动点题分对应情况列方程
21．（2026 凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′
C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F
【分析】由旋转得∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，可判断B不符合题意，C不符合题意；由∠BFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCF∽△EC′F，可判断D不符合题意；当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′，而BC′＝BC，则AB＝BC′，所以∠BAC′＝∠BC′A，由∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，推导出∠BAC＝∠A′C′B，进而证明∠EAC′＝∠EC′A，则AE＝C′E，即可由C′E＞EF，证明AE＞EF，通过这个“反例”证明“AE＝EF”这一结论不一定正确，可判断A符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，
∴∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，
∴故B不符合题意，C不符合题意；
∵AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，
∴∠BFC＝∠EFC′，
∵∠C＝∠C′，
∴△BCF∽△EC′F，
故D不符合题意；
如图，当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′，
∵BC′＝BC，
∴AB＝BC′，
∴∠BAC′＝∠BC′A，
∵∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，
∴∠BAC＝∠A′C′B，
∴∠BAC′﹣∠BAC＝∠BC′A﹣∠A′C′B，
∴∠EAC′＝∠EC′A，
∴AE＝C′E，
∵C′E＞EF，
∴AE＞EF，
∴“AE＝EF”这一结论不一定正确，
故A符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查旋转的性质、相似三角形的判定、垂线段最短等知识，正确理解和应用旋转的性质是解题的关键．
22．（2026春 九龙坡区校级同步）如图，当x的值为多少时，△ABC∽△A1B1C1（　　）
A．20 B．27 C．36 D．45
【分析】根据题意当时，△ABC∽△A1B1C1即可求解．
【解答】解：根据题意可知，当时，△ABC∽△A1B1C1，
由图可知，AB＝15，A1B1＝27，BC＝25，B1C1＝45，AC＝20，A1C1＝x，
∴，
∴x＝36，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
23．（2026 西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得△AED≌△ABD，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定△CAD和△CBA与△ABD相似．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠ADE＝90°．
∵BD＝DE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴△AED∽△ABD．
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
又∵∠B+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD．
在△CAD和△ABD中，
，
∴△CAD∽△ABD．
在△CBA和△ABD中，
，
∴△CBA∽△ABD．
综上所述，与△ABD相似的三角形有△AED、△CAD、△CBA，共3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
24．（2025秋 武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过　或2　 秒后△PBQ和△ABC相似？
【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝（8﹣2x）cm，
BP与AB边是对应边，则，
即，
解得x＝2．
BP与BC边是对应边，则，
即，
解得，
综上所述，经过秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为：或2．
【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．
25．（2025秋 沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时出发，经过 　或　 s，△CPQ与△CBA相似．
【分析】设经过t秒时，当△ABC∽△PQC或当△ABC∽△QPC，根据相似三角形的性质得到比例线段，解方程即可得到结论．
【解答】解：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，
由勾股定理求得：AC6（m）．
设经过t秒△ABC和△PQC相似．则有BP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，CQ＝tcm，
分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有，
即，解得t；
②当△ABC∽△QPC时，有，
即，解得t，
综上可知，经过或秒时，△CPQ与△CBA相似，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似．
26．（2022秋 双牌县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 　②③　 （填序号）．
【分析】由正方形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，设AB＝BC＝CD＝AD＝m，则BE＝ECm，CFm，所以DFm，由tan∠BAE，可知∠BAE≠30°，可判断①错误；再证明2，则△ABE∽△ECF，可判断②正确；因为∠BAE＝∠CEF，所以∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，则∠AEF＝90°，所以AE⊥EF，可判断③正确；由2，3，得，则△ADF与△ECF不相似，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
设AB＝BC＝CD＝AD＝m，
∵E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，
∴BE＝ECm，CFm，
∴DF＝CD﹣CF＝mmm，
∵tan∠BAE，而tan30°，
∴∠BAE≠30°，
故①错误；
∵2，2，
∴，
∴△ABE∽△ECF，
故②正确；
∴∠BAE＝∠CEF，
∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥EF，
故③正确；
∵2，3，
∴，
∴△ADF与△ECF不相似，
故④错误，
故答案为：②③．
【点评】此题重点考查正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，此外，还可以通过计算证明AE2+EF2＝AF2，根据勾股定理的逆定理证明∠AEF＝90°，从而证明AE⊥EF．
27．如图，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7．求证：△ABC∽△AED．
【分析】根据已知线段长度求出，再根据∠A＝∠A推出相似即可．
【解答】证明：在△ABC和△AED中，
∵．
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，解答本题的关键要注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
28．（2025秋 栾城区期中）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．
（1）若AC＝8，求AG的长；
（2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得EF∥BD，由平行线分线段成比例定理得，继而得到AG＝GO，根据平行四边形性质得AO＝OC，推出，可得结论；
（2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证．
【解答】（1）解：如图，连接BD交AC于点O，
∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，AF＝FB，
∴EF∥BD，
∴，
∴AG＝GO，
∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，
∴AO＝OC，
∴AOAC，
∴，
∴AG的长为2；
（2）证明：∵F为边AB的中点，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在△AFG和△ACF中，
又∵∠FAG＝∠CAF，
∴△AFG∽△ACF．
【点评】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，属于中档题．
29．（2025秋 丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据角的和差计算可得∠DPC＝∠BAP，结合相似三角形的判定和性质即可求证．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠DPC＝∠BAP，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴△ABP∽△PCD．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
30．（2025秋 寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且．求证：△BDF∽△BAD．
【分析】先证明∠EAD＝∠BAC，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明△EAD∽△BAC，推出∠E＝∠B，再证明∠BDF＝∠BAD，再利用“两组对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论．
【解答】证明：∵△ABC和△AED中，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，
∴∠BAD＝∠DAC，∠EAB＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠BAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠BAC，
∵，
∴△EAD∽△BAC，
∴∠E＝∠B，
∵∠EFA＝∠BFD，
∴∠BDF＝∠EAF，
∴∠BDF＝∠BAD，
∵∠DBF＝∠ABD，
∴△BDF∽△BAD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
31．（2025秋 宣城期末）问题背景：
如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究：
如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，根据点E，F分别是AB，BC的中点，可得，即可求证；
问题探究：取BD的中点H，连接EH、HC，得EH是△ABD的中位线，根据已知条件可得EH平行且等于FC，进而可得EFCH是平行四边形，得EF∥HC，则∠GFB＝∠HCB，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB＝HC，进而可得∠HBC＝∠HCB，等量代换可得∠GBF＝∠GFB，等角对等边，即可得证．
【解答】证明：问题背景：在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，
∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，AB＝2BE，BC＝2BF，
∴，
即，
∴△BCD∽△FBE；
问题探究：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，如图2，取BD的中点H，连接EH、HC，
∴，EH∥AD，
又∵AD＝2CF，
∴EH＝CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥FC，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠GFB＝∠HCB，
又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，
∴，
∴∠HBC＝∠HCB，
∴∠GBF＝∠GFB，
∴GB＝GF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点6】相似三角形判定定理的应用（第32-37题）
· · 测高：物高/影长=物高/影长
· · 镜子反射：入射角=反射角
· · 标杆：过眼睛作水平线拆分
· · 小孔成像：像距/物距=像高/物高
32．（2025秋 锡山区期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB的宽度为（　　）
A．3cm B．2cm C．1.5cm D．1cm
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15﹣6＝9（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：9﹣6＝3（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
解得：AB＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，注意相似三角形的对应高之比等于相似比．
33．（2026 新华区一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm，15cm．若CD长为6cm，则AB长为（　　）
A．cm B．cm C．10cm D．cm
【分析】运用相似三角形的性质可得结论
【解答】解：某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm，15cm．
如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥DC，
由题意可得：AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵OE＝9cm，OF＝15cm，CD＝6cm，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
34．（2025秋 泰兴市期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2m，AC＝0.8m，AE＝0.2m，那么CD为（　　）
A．4m B．6m C．8m D．10m
【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
【解答】解：由题意知：AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝6，
经检验，CD＝6是所列方程的解．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．
35．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m．当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．若她的眼睛距地面的高度DC＝1.6m，则大楼AB的高度为　12.8　 m．（注：反射角＝入射角）
【分析】根据题意证明△ABE∽△CDE，列出比例式即可解答．
【解答】解：由题意可得∠AEB＝∠CED，
又∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
∴AB＝12.8m．
故答案为：12.8．
【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
36．（2026 宁夏模拟）如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中对应的最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，对应的最大的“”字高度为 　43.62mm ．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
【解答】解：如图，标上字母A、B、C、D、E，
由题意得：CB∥DE，
∴，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，
∴，
∴DE＝43.62（mm），
故答案为：43.62mm．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用，正确利用平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式是解题关键．
37．（2026 潮阳区三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB．
（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB．
【分析】（1）证明△DCE∽△ACB，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出AB的值．
（2）证明△CDG∽△ADH，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出AH的值，最后由线段的和差关系即可求出AB的值．
【解答】解：（1）小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．
∵∠DCE＝∠ACB，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴△DCE∽△ACB．
∴．
∴．
∴AB＝7.5．
答：旗杆的高度AB为7.5米．
（2）∵DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行，
∴∠CGD＝∠AHD＝90°，GF＝BH＝DE＝1.5米．
∵∠CDG＝∠ADH，
∴△CDG∽△ADH．
∴．
∵CG＝CF﹣GF＝4﹣1.5＝2.5（米），DG＝EF＝3米，DH＝BF+EF＝9+3＝12（米），
∴．
∴AH＝10．
∴AB＝AH+BH＝10+1.5＝11.5（米）．
答：旗杆的高度AB为11.5米．
【点评】本题考查相似三角形的应用，正确进行计算解题关键．
随堂检测
【练习 1】（2026春 环翠区期末）如图，已知△ABC，∠B＝α，AB＝8，BC＝10．将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由∠CED＝∠B，∠DCE＝∠ACB，判定阴影三角形与△ABC相似，故A不符合题意；
B、AD：AE＝AB：BC＝4：5，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，不能判定阴影三角形与△ABC相似，故B符合题意；
C、求出BD＝5，BE＝4，得到BD：BE＝BC：AB＝5：4，又∠DBE＝∠ABC，判定阴影三角形与△ABC相似，故C不符合题意；
D、由∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，判定阴影三角形与△ABC相似，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
【练习 2】（2025秋 象州县期末）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABP＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故A选项正确，不符合题意；
B、∵∠APB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故B选项正确，不符合题意；
C、∵，∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故C选项正确，不符合题意；
D、当时，无法得到△ABP∽△ACB，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【练习 3】（2026 太和县一模）观察下列每组三角形，不能判定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知：
A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意；
B中，58°＝58°，能判定相似，选项正确，故不符合题意；
C中40°＝40°，且对顶角相等，选项正确，故不符合题意；
D中35°＝35°，不能判定相似，故符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【练习 4】（2026 青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 　14或25　 ．
【分析】当△DEF∽△DBC时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝40，利用勾股定理求出AB＝48，证明△DFC≌△DEA（AAS），可得CF＝AE，再证明△DCE∽△CAB，求出CE＝50，根据线段的和差即可求出CF的长；当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC，证明△DFC∽△ADC，对应边成比例即可求出CF的长．
【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB＝80，
∴CDAB＝AD＝BD＝40，
∵AC＝64，
∴BC48，
当△DEF∽△DBC时，∠DEF＝∠B，
∴∠EDF＝∠BDC，∠DFE＝∠DCB，
∵CD＝BD，
∴DE＝DF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴∠DFC＝∠DEA，
∴△DFC≌△DEA（AAS），
∴CF＝AE，
∵∠DCA＝∠A，∠DEF＝∠B＝∠DCB，∠A+∠B＝90°，
∴∠DCA+∠DEF＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠ACB＝90°，
∵∠DCE＝∠A，
∴△DCE∽△CAB，
∴，
∴，
∴CE＝50，
∴CF＝AE＝AC﹣CE＝64﹣50＝14；
当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC，
∵∠DFE＝∠FCD+∠FDC，∠BDC＝∠FCD+∠A，
∴∠FDC＝∠A，
∵∠DCF＝∠ACD，
∴△DFC∽△ADC，
∴，
∴，
∴CF＝25，
当△DEF∽△CBD时，同法可得CF＝25．
综上所述：CF的长为14或25．
故答案为：14或25．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．解决本题的关键是得到△CDE∽△ACB．
【练习 5】（2026秋 同步）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝　1.8　 时，△CBF∽△ABE．
【分析】由平行四边形性质得∠A＝∠C，BC＝AD＝6，再由点E是AD的中点得AEAD＝3，在△CBF和△ABE中，由于∠A＝∠C，因此当时，△CBF∽△ABE，则，由此即可得出CF＝1.8．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，
∴∠A＝∠C，BC＝AD＝6，
∵点E是AD的中点，
∴AEAD＝3，
在△CBF和△ABE中，∠A＝∠C，
∴当时，△CBF∽△ABE，
∵AB＝10，
∴，
∴CF＝1.8，
∴当CF＝1.8时，△CBF∽△ABE．故答案为：1.8．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【练习 6】（2026 漳州开学）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．求证：△DEO∽△CBO．
【分析】根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CDO，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEO＝∠CDO，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DEO∽△CBO．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，掌握相似三角形判定方法是解题的关键．
【练习 7】（2025秋 宜阳县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝16．
∴CE＝AC﹣AE＝16﹣4＝12；
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴3，
∴；
（2）证明：∵，
，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
课后巩固
复习建议
· · 判定相似首选AA，有平行线、公共角、对顶角时优先找等角
· · 两边成比例一定要看夹角是否是已知等角，否则不能用SAS
· · 格点图先算三边长，再按大小排，看三组比是否相等
· · 乘积式b2=ac先化成比例式，在图里找包含b,a,c的两个三角形
· · 测高问题统一列「物高：影长=物高：影长」，镜子反射额外加等角
【作业 1】（2026 青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【解答】A、∵有两边对应边成比例但是夹角不相等，
∴两三角形不相似，
故该选项符合题意；
B、∵，，∠A＝∠A，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，
∴两三角形相似，
故该选项不符合题意；
C、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，
∴两三角形相似，
故该选项不符合题意；
D、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，
∴两三角形相似，
故该选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键要明确：两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
【作业 2】（2025秋 二七区期末）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．
【解答】解：∠AOB＝∠DOC（对顶角相等），
A、当∠A＝∠D时，则△AOB与△DOC相似，符合题意；
B、当∠A＝∠B时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意；
C、当∠C＝∠D时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意；
D、∠AOB＝∠DOC，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键．
【作业 3】（2026 衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③
【分析】①根据正方形的性质和等边三角形的性质，易得：∠ABE＝30°，∠DCP＝30°，进而得到BE＝2AE；②根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△PCD∽△PDH；③根据相似三角形的性质得出；④根据CP＝CD，得到，进而推出∠FDP＝15°，利用正方形的对角线平分一组对角，推出∠PBH＝15°，进而得到∠FDP＝∠PBH，根据AD∥BC，推出∠DFP＝∠BPH＝60°，即可证明△PFD∽△HPB．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形，
∴BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，BC＝PC＝PB，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∠DCP＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣60°＝30°，PC＝CD，
∴BE＝2AE，故①符合题意；
∵PC＝CD，
∴，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∴∠PHD＝∠PCD+∠BDC＝30°+45°＝75°，
∴∠PDC＝∠PHD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PCD∽△PDH，故②符合题意；
∴，
∴DP2＝PH PC，故③符合题意；
∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴∠FDP＝∠FDC﹣∠PDF＝90°﹣75°＝15°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝45°，
∴∠PBH＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠FDP＝∠PBH，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠PCB＝60°，
∴∠DFP＝∠BPH＝60°，
∴△PFD∽△HPB，故④符合题意；
综上：正确的是①②③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业 4】（2026 上饶校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　2或或3　 ．
【分析】分三种情况讨论，即△CDP∽△CBA，△BDP∽△BCA，△CDP∽△CAB．由相似三角形的性质分别求解．
【解答】解：如图1，若DP∥AB，则△CDP∽△CBA．
∴．
∵AB＝6，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，
∴．
∴DP＝2．
如图2，若DP∥AC，则△BDP∽△BCA，
∴，
∴，
∴；
如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C，
则△CDP∽△CAB．
∴，
∴，
∴PD＝3，
综上所述，PD的长为2或或3，
故答案为：2或或3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【作业 5】（2025秋 志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是　∠C＝∠E（答案不唯一）　 ．（写出一个即可）
【分析】首先根据∠1＝∠2可推出∠BAC＝∠DAE，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定△ABC∽△ADE即可得到答案．
【解答】解：①添加∠C＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
②添加∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
③添加，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
故答案为：∠C＝∠E（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键．
【作业 6】（2024秋 沭阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得△DAB∽△ACB，并写出△DAB∽△ACB的证明过程．
【分析】作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAD＝∠C，即可求解．
【解答】解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，则点D即为所求．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠C＝∠BAD，
又∵∠B＝∠B，
∴△DAB∽△ACB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第1页（共1页）第10讲 相似三角形判定 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 掌握相似三角形的四种判定方法（AA、SAS、SSS、平行法）
· · 能在格点图中通过计算边长比判定两个三角形相似
· · 会根据已知条件补充一个条件使两三角形相似
· · 掌握「乘积式b2=ac」的证明思路，会找中间比过渡
· · 能利用相似三角形求线段长，并解决测高、测距等实际问题
知识梳理
☆ 1.相似三角形的判定定理
AA：两角对应相等，两三角形相似（最常用）
SAS：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
SSS：三边对应成比例，两三角形相似
平行法：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似
概念辨析例题：D,E在△ABC边AB,AC上，AB=7.4,AD=3,AC=6,AE=3.7，求证△ABC∽△AED
解析：==，==，化简后==，且∠A=∠A，由SAS得相似
☆ 2.常见相似模型（A型、X型、子母型）
A型：DE∥BC，则△ADE∽△ABC
X型：AB∥CD，对角线交于O，则△AOB∽△DOC
子母型（射影定理）：Rt△斜边上的高把三角形分成两个小直角三角形，都与原三角形相似
射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB
概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，求CD
解析：由△ACD∽△CBD得=，CD2=AD·BD=36，CD=6
☆ 3.乘积式b =ac的证明
乘积式先化为比例式=
在图中找包含b,a,c的两个相似三角形
若直接找不到，找中间比过渡（设k法）
公共角、对顶角、平行线带来的等角是相似的突破口
概念辨析例题：△ABC中D在AC上，∠ABD=∠C，AB=4，AD=2，求CD
解析：∠ABD=∠C，∠A公共，△ABD∽△ACB，=，AB2=AD·AC，16=2AC，AC=8，CD=6
☆ 4.相似三角形的实际应用
测高问题：利用太阳光线或镜子反射构造相似三角形
小孔成像、高脚杯液面：相似三角形对应高之比=相似比
标杆测量：过眼睛作水平线，拆成两个相似直角三角形
比例式中上下对应：物高：影长=物高：影长
概念辨析例题：镜子测楼高：AE=20m，CE=2.5m，DC=1.6m，求AB
解析：∠AEB=∠CED，∠A=∠C=90°，△ABE∽△CDE，=，=，AB=12.8m
知识总结表
判定方法 条件 适用场景
AA 两角对应相等 最常用，平行线/公共角
SAS 两边成比例且夹角等 有边长数据时
SSS 三边成比例 格点图算边长
平行法 DE∥BC A型/X型
射影定理 Rt△斜高CD CD2=AD·BD
乘积式 b2=ac 化比例找相似
实际应用 物高/影长成比例 测高测距
核心考点
【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-4题）
· · 格点图用勾股定理算三边
· · 按大小排三边比是否等于1:2:等
· · 直角三角形看直角边比
· · 动点题分两种对应情况讨论
1．（2026 河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D．
3．（2025秋 浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 __________ ．
4．（2025秋 台州期末）如图，在△ABC中，BC＝4cm，AC＝3cm，D是BC的中点，动点E从点A出发，在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到C点停止．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的运动时间为 ____________________ ．
【考点2】补充条件判定三角形相似（第5-7题）
· · 已有公共角再补一对等角
· · 已有公共角补夹边成比例
· · 注意夹角必须是已知等角
· · 等边三角形都相似
5．（2026 洛阳模拟）下列说法：
①所有的等边三角形都相似；
②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；
③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；
④都有一个15°角的两个直角三角形相似．
其中正确的说法是（　　）
A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④
6．（2025秋 瑞金市期末）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025秋 苏仙区期末）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件使△ABC∽△ADE，你添加的条件是_________________ ．
【考点3】乘积式b =ac的转化证明（第8-12题）
· · 先把乘积式写成比例式
· · 找含四条线段的两个三角形
· · 射影定理直接用CD2=AD·BD
· · 找不到就找中间比过渡
8．（2025秋 内丘县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，连接BF．
（1）如图1，延长BF，与AD的延长线交于点M，若，求的值；
（2）如图2，连接AE，交BF于点G，若，求的值．
9．（2026 奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC．
（1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）联结OF．如果OF2＝EF AF，求证：F是BC的中点．
10．（2024 兖州区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝12，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF．
（1）求证：△EFD∽△FBC；
（2）求tan∠AFB的值．
11．（2026 漳州模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，满足∠ABD＝∠C，AB＝4，AD＝2．求CD的长．
12．（2025春 江汉区月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D．
（1）若记AC为3，BC为4，直接写出CD＝ ___________________ ；
（2）若AD＝4，BD＝9，求CD的长度．
【考点4】利用相似三角形求线段长（第13-20题）
· · 认准对应边列比例式
· · 面积比=相似比平方
· · DE∥BC直接用A型相似
· · 斜边中线、重心要先转化
13．（2026 二道区校级模拟）如图，∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝9，CB＝6．若△ACB∽△CBD，则BD的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
14．（2025秋 北碚区校级月考）在正方形ABCD中，点E为AD中点，点F在对角线AC上，且AC＝6AF，连接EF，过点F作FG⊥EF交BD于点H，交BC于点G，连接EH，则的值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2025秋 秦淮区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．若BC＝4，BD＝2，则AD的长为_____ ．
16．（2025秋 新城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE交AB的延长线于点F，若CE＝1，BE＝2，则BF的长为_____ ．
17．（2026春 青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝___________________ ．
18．（2026 凉州区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 _______ ．
19．（2026 高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q．
（1）求证：△ADE∽△CQD；
（2）当AD＝5时，求CQ的长．
20．（2026 江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．
【考点5】相似三角形的判定证明（第21-31题）
· · 公共角+另一对角是突破口
· · 两边成比例夹角等要验证夹角
· · 旋转后找对顶角/公共角
· · 动点题分对应情况列方程
21．（2026 凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′
C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F
22．（2026春 九龙坡区校级同步）如图，当x的值为多少时，△ABC∽△A1B1C1（　　）
A．20 B．27 C．36 D．45
23．（2026 西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2025秋 武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过____________________ 秒后△PBQ和△ABC相似？
25．（2025秋 沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时出发，经过 ____________________ s，△CPQ与△CBA相似．
26．（2022秋 双牌县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 _______ （填序号）．
27．如图，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7．求证：△ABC∽△AED．
28．（2025秋 栾城区期中）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．
（1）若AC＝8，求AG的长；
（2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF．
29．（2025秋 丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD．
30．（2025秋 寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且．求证：△BDF∽△BAD．
31．（2025秋 宣城期末）问题背景：
如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究：
如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
【考点6】相似三角形判定定理的应用（第32-37题）
· · 测高：物高/影长=物高/影长
· · 镜子反射：入射角=反射角
· · 标杆：过眼睛作水平线拆分
· · 小孔成像：像距/物距=像高/物高
32．（2025秋 锡山区期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB的宽度为（　　）
A．3cm B．2cm C．1.5cm D．1cm
33．（2026 新华区一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm，15cm．若CD长为6cm，则AB长为（　　）
A．cm B．cm C．10cm D．cm
34．（2025秋 泰兴市期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2m，AC＝0.8m，AE＝0.2m，那么CD为（　　）
A．4m B．6m C．8m D．10m
35．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m．当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．若她的眼睛距地面的高度DC＝1.6m，则大楼AB的高度为_________ m．（注：反射角＝入射角）
36．（2026 宁夏模拟）如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中对应的最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，对应的最大的“”字高度为 ____________ ．
37．（2026 潮阳区三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB．
（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB．
随堂检测
【练习 1】（2026春 环翠区期末）如图，已知△ABC，∠B＝α，AB＝8，BC＝10．将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【练习 2】（2025秋 象州县期末）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【练习 3】（2026 太和县一模）观察下列每组三角形，不能判定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【练习 4】（2026 青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 __________ ．
【练习 5】（2026秋 同步）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝________ 时，△CBF∽△ABE．
【练习 6】（2026 漳州开学）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．求证：△DEO∽△CBO．
【练习 7】（2025秋 宜阳县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
课后巩固
复习建议
· · 判定相似首选AA，有平行线、公共角、对顶角时优先找等角
· · 两边成比例一定要看夹角是否是已知等角，否则不能用SAS
· · 格点图先算三边长，再按大小排，看三组比是否相等
· · 乘积式b2=ac先化成比例式，在图里找包含b,a,c的两个三角形
· · 测高问题统一列「物高：影长=物高：影长」，镜子反射额外加等角
【作业 1】（2026 青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【作业 2】（2025秋 二七区期末）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
【作业 3】（2026 衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③
【作业 4】（2026 上饶校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为____________________ ．
【作业 5】（2025秋 志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是_________________ ．（写出一个即可）
【作业 6】（2024秋 沭阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得△DAB∽△ACB，并写出△DAB∽△ACB的证明过程．
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