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第12讲 相似三角形综合及应用 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 熟练掌握相似三角形的四种判定方法并能灵活选用
· · 能运用相似三角形的性质求线段长、线段比与面积比
· · 能识别并构造A字型、8字型、一线三等角等常见模型
· · 能在平行四边形、矩形、菱形、正方形背景中综合证明相似
· · 能利用相似三角形解决测高、测距、杠杆、小孔成像等实际问题
知识梳理
☆ 1.相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似（A字型基本判定）
两角分别相等的两个三角形相似（AA）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）
三边成比例的两个三角形相似（SSS）；直角三角形还可用斜边与一直角边成比例
概念辨析例题：如图，在△ABC中，∠ABD＝∠C，求证△ABD∽△ACB
解析：∠A为公共角，又∠ABD＝∠C，由AA判定得△ABD∽△ACB，从而＝
☆ 2.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例，相似比为k
对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k
周长比等于相似比k
面积比等于相似比的平方k2
概念辨析例题：已知△BDE∽△BAC，相似比为2：5，求S△BDE：S△BAC
解析：面积比等于相似比的平方，()2＝，故S△BDE：S△BAC＝4：25
☆ 3.相似三角形常见模型
A字型：平行线截三角形，上下两三角形相似
8字型（X型）：两条线段相交于内点，对顶三角形相似
一线三等角（K字型）：一条直线上三个等角，两端三角形相似
共角共边型（母子型）：公共角＋公共边，列等积式AB2＝BD·BC
概念辨析例题：在矩形ABCD中，AH⊥DE于H，延长AH交CD于F，求证△CDE∽△DAF
解析：∠C＝∠ADF＝90°，由AH⊥DE得∠CDE＋∠ADE＝90°，∠DAF＋∠ADE＝90°，故∠CDE＝∠DAF，由AA得△CDE∽△DAF
☆ 4.相似三角形的实际应用
测高：利用标杆、平面镜反射、影子构造相似三角形
测距：利用中位线或相似比求被隔开的两点距离
杠杆问题：长短臂升降形成相似三角形，对应边成比例
小孔成像：物高与像高之比等于物距与像距之比
概念辨析例题：标杆CD高2.7m，人眼EF高1.7m，DF＝2m，BD＝16m，E、C、A共线，求旗杆AB
解析：过E作水平线交CD、AB于G、H，由△CGE∽△AHE得＝，即＝，AH＝9m，AB＝AH＋HB＝9＋1.7＝10.7m
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
判定方法 AA、SAS、SSS、平行线法 先找等角再定对应边
相似比 对应边之比＝k 写顺序决定比值方向
对应高/中线/角平分线 比＝k 必须是对应线段
周长比 ＝k 与相似比一致
面积比 ＝k2 切勿漏平方
等积式 ab＝cd 或 x2＝mn 由比例式交叉相乘得到
应用测高 物高：影长＝常数 同一时刻、同一光线
核心考点
【考点1】相似三角形判定与性质综合（第1-26题）
· · 在平行四边形/矩形/菱形中先找平行线带来的等角
· · 遇等积式ab＝cd，改写成比例式再找相似三角形
· · 面积比问题先定相似比，再平方
· · 证明菱形/正方形时，常用对角线互相垂直＋全等三角形
1．（2025秋 单县期末）如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2026 沧县校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝3AB，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C．若AD＝1，则CD＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2025秋 蕉岭县期末）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（　　）
A． B． C．1 D．6
4．（2025秋 广元校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH；⑥AD BC＝AB AC；⑦S△BCF：S△ACF＝BC：AC，则正确的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2025秋 萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026 松北区一模）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，，且AB＝5，则CD的长是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．16
7．（2026春 杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交OD于点H．给出以下四个说法：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．其中，说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
8．（2026 珠海三模）在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
9．（2026春 松江区校级月考）如图，已知△ABC，AB＝AC，．点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，AD＝2BD，△DEF是以DF为腰的等腰三角形，且∠DEF＝∠B，那么的值是____________________ ．
10．（2025秋 建邺区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于点F．若，则的值为__________________ ．
11．（2026 三原县一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC延长线上一点，连接OE交CD于点F，若CE＝3，CF＝2，则菱形ABCD的周长为_______ ．
12．（2026 鼓楼区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果，AD＝15，那么AE＝_____ ．
13．（2026 尤溪县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为________________ ．
14．（2025秋 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足∠CPD＝∠A，则CD有最小值等于__________________ ．
15．（2026 浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为____________________ ．
16．（2026 静安区）如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于_____ ．
17．（2026春 江夏区校级月考）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是AC上异于A、C的一个动点，射线AP交直线l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．在点P运动过程中，设，tan∠AFD＝y，则y与x之间的函数关系式为 ____________________ ．
18．（2026春 闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，若E是BC中点，F是CD中点，连接BF交AE于点G，则S△AEF：S△BEG的值为_________ ．
19．（2026春 浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值．
20．（2026春 杨浦区校级月考）已知，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F．若2AD＝3CD．
（1）求证：△FCD∽△FDA；
（2）求的值．
21．（2026 崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG BE＝AB BF，求证：AB2＝BE DG．
22．（2026 上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F．
（1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点；
（2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD BG＝BH BF．
23．（2024秋 成华区期末）如图，在正方形ABCD中，延长AD到点E，连结CE，过点A作AH⊥CE，垂足为点H，AH交CD于点F，交BD于点G．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若，求的值．
24．（2026 闵行区三模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AD∥CB，E是CD上一点，联结BE交AC于点F，联结DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果CE2＝BE EF，求证AB2＝BE AF．
25．（2025 闵行区模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D．
（1）求证：四边形ADCM是菱形；
（2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项．
26．（2026春 西乡县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，求BD的长．
【考点2】相似三角形的应用（第27-37题）
· · 测高问题画水平线，把人眼高度单独剥离
· · 平面镜反射：入射角＝入射角，构造两个直角三角形相似
· · 杠杆问题：长短臂端点升高/下降距离与臂长成比例
· · 小孔成像：物高：像高＝物距：像距
27．（2026春 宿迁期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别在AC、BC上各找一点D、E，已知AD＝3CD，BE＝3CE，若测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．8米 B．32米 C．48米 D．64米
28．（2026 营山县二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　）
A．2cm B． C．3cm D．4cm
29．（2026春 济宁期末）如图，道口栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当长臂外端B升高4m时，短臂外端A下降的距离是（　　）
A．0.6m B．0.5m C．0.4m D．0.3m
30．（2024秋 长春校级期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
31．（2024春 东营区期末）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFGH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 _______ cm．
32．（2025秋 松江区期末）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD＝2.7米，标杆与旗杆的水平距离BD＝16米，人的眼睛与地面的距离EF＝1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆CD的水平距离DF＝2米，那么旗杆AB的高度是_________ 米．
33．（2026 台州一模）如图是笔直杠杆AB的示意图．已知AB＝180cm，支点C离水平地面的高度为20cm．当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为________ cm．
34．（2025秋 高新区期末）太阳能路灯的使用既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某同学想测量一盏太阳能路灯灯泡离地面的高度．他带着竹竿和皮尺，利用路灯本身的灯光，通过测量影长来推算路灯高度．如图，B处在路灯灯泡A的正下方，该同学在路灯前的水平空地进行测量，他先将竹竿直立在C处，此时竹竿的影子CG长为2m；再将竹竿直立在E处，此时竹竿的影子EH长为4m．已知，AB⊥BC，点B，C，G，E，H在同一直线上，竹竿长为2m（即CD＝EF＝2m），CE＝6m，求该太阳能路灯灯泡A到地面的高度AB．
35．（2025秋 南海区校级期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
（2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度．
36．（2025秋 萍乡期末）为了测量路灯的MN的高度，小明从灯杆底部点N沿人行道垂直方向拉一卷尺到B处，在B，N之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置，当镜子在C点时，小明能在镜中看到灯EP的E点；当镜子在D点，小明能在镜中看到灯MF的F点，其视线如图所示，D，P，F三点共线，且EP⊥MN，FM⊥MN．已知小明的眼睛离地面的高度AB＝1.5m，BC＝1.2m，CD＝0.3m，DN＝10m，MF＝3m．
（1）求线段NP和灯杆MN的高度；
（2）求EP长．
37．（2024秋 奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米．
（1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度；
（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 达州校级期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，，点E在BA的延长线上，，连结ED交AC于点F，那么__________________ ．
【练习 2】（2026 千山区一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝_________ ．
【练习 3】（2026 模拟）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．则AE的长为_____ ．
【练习 4】（2026春 西城区校级月考）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝____________________ ．
【练习 5】（2026 鹿邑县模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S△BDE：S△DEC＝2：5，则S△DEF：S△AFC＝_________ ．
【练习 6】（2026 南山区校级二模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 _________ m．
课后巩固
复习建议
· · 判定相似优先找等角：公共角、对顶角、平行线内错角、同角的余角
· · 求线段比或等积式，先把已知乘积式改写为比例式，再按对应边找三角形
· · 面积比是相似比的平方，反过来由面积比开方求相似比
· · 四边形背景（平行四边形/矩形/菱形/正方形）中，平行线和直角是相似的天然条件
· · 实际测量题：画水平线剥离人眼/标杆高度，列对应高之比等于相似比
【作业 1】（2026 信阳二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．1
【作业 2】（2026春 西安校级月考）如图， ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE＝2CE，△DEF的面积为4，则四边形CBFE的面积为（　　）
A．7 B．6 C．9 D．11
【作业 3】（2025秋 普陀区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC．下列条件中，不一定能判定DE∥BF的是（　　）
A． B． C． D．
【作业 4】（2025秋 闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【作业 5】（2026 白银模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是___________________ cm．
【作业 6】（2025秋 南京期末）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作CD⊥AB，垂足为D，测得AD＝10m，AC＝20m，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是________ ．
【作业 7】（2026 西丰县一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝_____ ．
【作业 8】（2023秋 西湖区校级月考）已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，则AQ＝_____ ．
【作业 9】如图，△ABC∽△DAC，试找出对应角，并写出比例式．
【作业 10】（2024春 威海期末）如图，Rt△ABC的两条直角边，AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm，秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）求当动点运动时间t为多少秒时，△BDE与△ABC相似；
（2）在运动过程中，当CD⊥DE时，求t的值．
【作业 11】（2024 兴宁市校级一模）如图， ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H．
①求证：AH CH＝DH GH；
②若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
【作业 12】（2023 兴义市校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△AEG∽△BCH；
（2）如果AG＝DF，求证：BE2＝AB AE．
【作业 13】（2025秋 平原县期末）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠DAE＝∠E，CF＝3，AF＝2EF，求DC的长度．
【作业 14】（2025秋 扬州期末）如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD＝4，AB＝6，AC＝5，求AE的长．
第1页（共1页）第12讲 相似三角形综合及应用 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 熟练掌握相似三角形的四种判定方法并能灵活选用
· · 能运用相似三角形的性质求线段长、线段比与面积比
· · 能识别并构造A字型、8字型、一线三等角等常见模型
· · 能在平行四边形、矩形、菱形、正方形背景中综合证明相似
· · 能利用相似三角形解决测高、测距、杠杆、小孔成像等实际问题
知识梳理
☆ 1.相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似（A字型基本判定）
两角分别相等的两个三角形相似（AA）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）
三边成比例的两个三角形相似（SSS）；直角三角形还可用斜边与一直角边成比例
概念辨析例题：如图，在△ABC中，∠ABD＝∠C，求证△ABD∽△ACB
解析：∠A为公共角，又∠ABD＝∠C，由AA判定得△ABD∽△ACB，从而＝
☆ 2.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例，相似比为k
对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k
周长比等于相似比k
面积比等于相似比的平方k2
概念辨析例题：已知△BDE∽△BAC，相似比为2：5，求S△BDE：S△BAC
解析：面积比等于相似比的平方，()2＝，故S△BDE：S△BAC＝4：25
☆ 3.相似三角形常见模型
A字型：平行线截三角形，上下两三角形相似
8字型（X型）：两条线段相交于内点，对顶三角形相似
一线三等角（K字型）：一条直线上三个等角，两端三角形相似
共角共边型（母子型）：公共角＋公共边，列等积式AB2＝BD·BC
概念辨析例题：在矩形ABCD中，AH⊥DE于H，延长AH交CD于F，求证△CDE∽△DAF
解析：∠C＝∠ADF＝90°，由AH⊥DE得∠CDE＋∠ADE＝90°，∠DAF＋∠ADE＝90°，故∠CDE＝∠DAF，由AA得△CDE∽△DAF
☆ 4.相似三角形的实际应用
测高：利用标杆、平面镜反射、影子构造相似三角形
测距：利用中位线或相似比求被隔开的两点距离
杠杆问题：长短臂升降形成相似三角形，对应边成比例
小孔成像：物高与像高之比等于物距与像距之比
概念辨析例题：标杆CD高2.7m，人眼EF高1.7m，DF＝2m，BD＝16m，E、C、A共线，求旗杆AB
解析：过E作水平线交CD、AB于G、H，由△CGE∽△AHE得＝，即＝，AH＝9m，AB＝AH＋HB＝9＋1.7＝10.7m
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
判定方法 AA、SAS、SSS、平行线法 先找等角再定对应边
相似比 对应边之比＝k 写顺序决定比值方向
对应高/中线/角平分线 比＝k 必须是对应线段
周长比 ＝k 与相似比一致
面积比 ＝k2 切勿漏平方
等积式 ab＝cd 或 x2＝mn 由比例式交叉相乘得到
应用测高 物高：影长＝常数 同一时刻、同一光线
核心考点
【考点1】相似三角形判定与性质综合（第1-26题）
· · 在平行四边形/矩形/菱形中先找平行线带来的等角
· · 遇等积式ab＝cd，改写成比例式再找相似三角形
· · 面积比问题先定相似比，再平方
· · 证明菱形/正方形时，常用对角线互相垂直＋全等三角形
1．（2025秋 单县期末）如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】通过证明△CBE∽△FDE，得到；通过证明△EDC∽△EBG，可以推出，由此得到继而得到可以判断A；根据CD＝AB，可以判断B；根据题意，得可以判断C；根据AD∥BC，得△GAF∽△GBC，进而得，从而得，可判断D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，CD∥BA，CD＝AB，
∴△CBE∽△FDE，
∴；
∵CD∥BG，
∴△EDC∽△EBG，
∴，
∴，
∴，
故A正确；
∵，
∴，
∴CF＝4EF，
∵CD∥BG，
∴△AGF∽△DCF，
∴，
∴，
∴B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
∵，
∴；
∵AD∥BC，
∴△GAF∽△GBC，
∴，
∴；
故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．（2026 沧县校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝3AB，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C．若AD＝1，则CD＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】证明△ABD∽△ACB，由相似三角形的性质得，求出AB，AC即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠BAC＝∠BAC，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
解得：AB＝3，
∴AC＝9，
∴DC＝AC﹣AD＝9﹣1＝8．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2025秋 蕉岭县期末）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（　　）
A． B． C．1 D．6
【分析】先根据正方形的性质结合相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD、EFGH是正方形，
∴∠EFG＝90°，∠B＝∠C＝90°，
在△BEF与△CFD中
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9，
又，
∴，
解得EF，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2025秋 广元校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH；⑥AD BC＝AB AC；⑦S△BCF：S△ACF＝BC：AC，则正确的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】过点F作FM⊥BC于点M，由角平分线的性质可判断①结论；由平行线的性质和全等三角形的性质可判断②结论；由直角三角形两锐角互余可判断③结论；由三角形中线将三角形分为面积相等的两部分可判断④结论；由已知条件无法推出⑤结论；由三角形面积公式可判断⑥⑦结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，
∵∠BAC＝90°，CF是角平分线，
∴AF＝FM，
在Rt△BMF中，BF＞FM，
∴BF＞AF，①结论错误，不符合题意；
∵AD⊥BC，FM⊥BC，
∴FM∥AD，
∴∠CFM＝∠CGD，
在Rt△ACF和Rt△MCF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△MCF（HL），
∴∠AFG＝∠FMG，
∵∠AGF＝∠CGD，
∴∠AFG＝∠AGF，②结论正确，符合题意；
∵∠ADB＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵CF是角平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠FAG＝2∠ACF，③结论正确，符合题意；
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE和△BCE是等高三角形，
∴，
∴S△ABE＝S△BCE，④结论正确，符合题意；
由已知条件无法推出∠HBC＝∠HCB＝∠ACF，
则无法得出BH＝CH，⑤结论错误，不符合题意，
∵，
∴AD BC＝AB AC，⑥结论正确，符合题意；
∵，，FM＝AF，
∴S△BCF：S△ACF＝BC：AC，⑦结论正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定和性质等，掌握相关知识点是解题关键．
5．（2025秋 萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【解答】解：A．∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵CD∥AB，
∴，
∵AB＝CD，
∴，正确；
B．∵AE∥BC，
∴，
∵AD＝BC，
∴，正确；
C．∵AE∥BC，
∴，
即，
∵AB＝CD，
∴，
∴，错误．
D．∵AE∥BC，
∴，正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
6．（2026 松北区一模）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，，且AB＝5，则CD的长是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．16
【分析】根据比例的性质求出，根据AB∥CD证得△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵，AD＝AE+DE，
∴，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AB＝5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据AB∥CD判定三角形相似．
7．（2026春 杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交OD于点H．给出以下四个说法：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．其中，说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【分析】由平行四边形的性质得OD＝OBBD，由BD＝2AD，得ADBD，则OD＝AD，因为点E是OA的中点，所以ED⊥CA，可判断①正确；因为点E、F分别是OA、OB的中点，所以EF∥AB，且EFABCD，而∠CED＝90°，点G是CD的中点，则EGCD，所以EF＝EG，可判断②正确；再证明△EHF≌△GHD，得FH＝DHFD，可判断③正确；因为S△AOD＝S△COD，所以S△DOE＝S△DAES△AODS△COD，推导出S△CEDS△COD，由S△FOES△DOES△COD，推导出S△EFDS△COD，即可证明S△EFDS△CED，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OD＝OBBD，
∵BD＝2AD，
∴ADBD，
∴OD＝AD，
∵点E是OA的中点，
∴ED⊥OA，即ED⊥CA，
故①正确；
∵点E、F分别是OA、OB的中点，AB＝CD，
∴EF∥AB，且EFABCD，
∵∠CED＝90°，点G是CD的中点，
∴EGCD，
∴EF＝EG，
故②正确；
∵CD∥AB，点G是CD的中点，
∴GD∥AB，GDCD，
∵EF∥AB，且EFCD，
∴EF∥GD，且EF＝GD，
∴∠HEF＝∠HGD，
在△EHF和△GHD中，
，
∴△EHF≌△GHD（AAS），
∴FH＝DHFD，
故③正确；
∵OA＝OC，
∴S△AOD＝S△COD，
∵OE＝AE，
∴S△DOE＝S△DAES△AODS△COD，
∴S△CED＝S△DOE+S△CODS△COD+S△CODS△COD，
∵OF＝BFOB，且OB＝OD，
∴OFOD，
∴S△FOES△DOES△CODS△COD，
∴S△EFD＝S△FOE+S△DOES△CODS△CODS△COD，
∴，
∴S△EFDS△CED，
故④正确，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、“等高三角形面积的比等于它们的底的比”等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键．
8．（2026 珠海三模）在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，根据三角形的中位线的定理得到CM＝2，OM＝3，证明△CFE∽△MOE，根据相似三角形的性质计算即可得到结论．
【解答】解：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过O作OM∥BC交CD于M，
∵在 ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴，
∴OM是△BCD的中位线，
∴，
∵CE＝2，
∴EM＝CM+CE＝2+2＝4，
∵OM∥CF，
∴△CFE∽△MOE，
∴，即，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
9．（2026春 松江区校级月考）如图，已知△ABC，AB＝AC，．点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，AD＝2BD，△DEF是以DF为腰的等腰三角形，且∠DEF＝∠B，那么的值是　3或　 ．
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据，设BH＝x，则AB＝3x，由等腰三角形的性质得BH＝CH＝x，根据△DEF是以DF为腰的等腰三角形，分两种情况讨论，当DE＝DF时，当EF＝DF时，证明△EDB～△FEC即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∴．
设BH＝x，则AB＝AC＝3x，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝x，
∴BC＝2x．
∵AD＝2BD，
∴．
如图，当EF＝DF时，
∴∠FDE＝∠FED．
∵∠DEF＝∠B，∠B＝∠C
∴∠DEF＝∠FDE＝∠B＝∠C．
∴△ABC∽△FDE．
∴，
∴．
设DF＝3a，则DE＝2a，EF＝3a，
∵∠B+∠BDE＝∠DEC＝∠DEF+∠FEC，∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC．
又∵∠B＝∠C，
∴△EDB～△FEC，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当DE＝DF时，
∴∠DEF＝∠DFE．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠B＝∠C．
∴△ABC∽△DEF．
∴，
∴．
设DE＝3y，则EF＝2y，
∵∠B+∠BDE＝∠DEC＝∠DEF+∠FEC，∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC．
又∵∠B＝∠C，
∴△EDB～△FEC，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10．（2025秋 建邺区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于点F．若，则的值为　　 ．
【分析】由矩形的性质得DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠C＝∠ADF＝90°，由AH⊥DE，垂足为H，得∠AHD＝90°，推导出∠CDE＝∠DAF，进而证明△CDE∽△DAF，得，由4，得AH＝4HF，则AF＝5HF，再证明△AHD∽△ADF，得，则4HF×5HF＝36，求得HF，则AH，AF＝3，求得DEAF＝2，DH，所以HE，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在DC上，
∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠C＝∠ADF＝90°，
∵AH⊥DE，垂足为H，
∴∠AHD＝90°，
∵∠CDE+∠ADE＝90°，∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
∴△CDE∽△DAF，
∴，
∵4，
∴AH＝4HF，
∴AF＝AH+HF＝5HF，
∵∠AHD＝∠ADF＝90°，∠HAD＝∠DAF，
∴△AHD∽△ADF，
∴，
∴AH AF＝AD2＝62＝36，
∴4HF×5HF＝36，
∴HF或HF（不符合题意，舍去），
∴AH＝4，AF＝53，
∴DEAF32，
∵DH，
∴HE＝DE﹣DH＝2，
∴，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△CDE∽△DAF及△AHD∽△ADF是解题的关键．
11．（2026 三原县一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC延长线上一点，连接OE交CD于点F，若CE＝3，CF＝2，则菱形ABCD的周长为　48　 ．
【分析】取BC的中点G，连接OG，根据菱形的性质得出OG是△BCD的中位线，得出相等的角，证明△GEO∽△CEF，利用对应边成比例进行求解．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接OG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，BC＝CD，
∴OG是△BCD的中位线，
∴，
∴∠EGO＝∠ECF，且∠E＝∠E，
∴△GEO∽△CEF，
则，
即，
解得OG＝6，
则CD＝12，
∴菱形ABCD的周长为12×4＝48，
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
12．（2026 鼓楼区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果，AD＝15，那么AE＝　5　 ．
【分析】由平行四边形的性质得AE∥CB，CB＝AD＝15，所以△AEF∽△CBF，则，则，求得AECB＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CB，CB＝AD＝15，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵0，
∴，
∴AECB15＝5，
故答案为：5．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△CBF是解题的关键．
13．（2026 尤溪县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为　　 ．
【分析】通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和线段关系求出的值．
【解答】解：如图所示，延长AC与BE的延长线相交于点F，
由条件可得△ABF是等腰三角形，BE＝EF，∠BCA＝∠BED＝90°，
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，则，
设BE＝x．
∴．
由条件可知∠BED＝∠BCF＝90°，
∴△BDE∽△BFC，则，
∴，得，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与相似三角形的应用，掌握通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例关系求解线段比值是解题的关键．
14．（2025秋 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足∠CPD＝∠A，则CD有最小值等于　　 ．
【分析】先根据等腰三角形性质得出∠A＝∠B，证明△APC∽△BDP，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出BD的最大值，即可得到CD的最小值．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，∠CPD＝∠A，
∴∠A＝∠B，
又∵∠CPB＝∠CPD+∠BPD＝∠ACP+∠A，
∴∠ACP＝∠BPD，
∴△APC∽△BDP，
∴，
设AP＝x（0＜x＜8），则BP＝8﹣x，
∴，
∴，
∵，
∴当x＝4时，BD有最大值，
∵CD＝BC﹣BD＝5﹣BD，
∴当BD有最大值时，CD有最小值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
15．（2026 浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　或4　 ．
【分析】利用勾股定理表示出圆的半径，通过相似三角形或三角函数关系表示出圆心到斜边的距离，最后根据距离与半径的关系列方程．
【解答】解：设CD＝3x，则CE＝4x．
在Rt△CDE中，，即⊙E的半径r＝5x．
在Rt△ABC中，．
过点E作EH⊥AB于点H．
∵∠B＝∠B，∠C＝∠EHB＝90°，
∴△EBH∽△ABC，
∴，即，
若⊙E与△ABC的三边有三个公共点，则⊙E与边AB相切，此时AB上仅有一个公共点，AC、BC边上各存在1个交点，
∴EH＝r，，
60﹣20x＝5x，
85x＝60，
x
∴CD＝3x，
考虑到题目求特定值，取边界值（即圆与AB相切时）：，
另一种情况：
已知CD＝3x，CE＝4x，⊙E半径r＝5x，BC＝12，
则BE＝BC﹣CE＝12﹣4x．
当⊙E与△ABC的三边有三个公共点时，除了圆与AB相切的情况，还存在圆经过点B的情况：
此时BE＝r（B在圆上），即：12﹣4x＝5x9x＝12，
，
此时验证各边交点：AC上：E到AC的距离为CE＝4x，圆与AC有1个交点（在AC边上）；
BC上：B在圆上，圆与BC有1个交点（B）；；
总交点数为1+1+1＝3，符合题意．
此时．
故答案为：或4．
【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系．重难点在于理解“圆与三角形三边有三个公共点”这一几何条件，并将其转化为代数方程求解．
16．（2026 静安区）如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于　1　 ．
【分析】先证明△ACD∽△BCA，利用得方程，去分母得x2+x﹣1＝0，再将方程两边同除以x再移项即可．
【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
∴x（1+x）＝1，
整理得x2+x﹣1＝0，
方程两边同除以x，，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定和分式方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．（2026春 江夏区校级月考）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是AC上异于A、C的一个动点，射线AP交直线l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．在点P运动过程中，设，tan∠AFD＝y，则y与x之间的函数关系式为 　　 ．
【分析】连接PB，BD，AD，根据∠ACB＝90°得AB为⊙O的直径，根据AB⊥CD得AB是CD的垂直平分线，则AC＝AD，BC＝BD，再根据AC＝2BC得AD＝2BD，证明△APG∽△DBG得①，证明△ADG∽PBG得②，①×②得，将，AD＝2BD代入得，再证明∠ABP＝∠AFD，则tan∠AFD＝tan∠ABP＝y，在Rt△ABP中根据三角函数定义得tan∠ABP，由此可得y与x之间的函数关系式．
【解答】解：连接PB，BD，AD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∵AB⊥CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，BC＝BD，
∵AC＝2BC，
∴AD＝2BD，
∵∠APG＝∠DBG，∠AGP＝∠DGB，
∴△APG∽△DBG，
∴①，
∵∠DAG＝∠BPG，∠DGA＝∠PGB，
∴△ADG∽PBG
∴②，
①×②得：，
即，
∵，AD＝2BD，
∴x
∴，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴∠APB＝∠AEF＝90°，
∴∠ABP+∠BAP＝90°，∠AFD+∠BAP＝90°，
∴∠ABP＝∠AFD，
∴tan∠AFD＝tan∠ABP＝y，
在Rt△ABP中，tan∠ABP，
∴，
即y与x之间的函数关系式为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，圆周角定理，解直角三角形，理解函数关系式，圆周角定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
18．（2026春 闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，若E是BC中点，F是CD中点，连接BF交AE于点G，则S△AEF：S△BEG的值为　15：2　 ．
【分析】延长AD，BF，交于点H，容易证得△BCF≌△HDF，进而求得，结合△BEG∽△HAG，可得，进而得到S△BEG：S△EFG：S△AFG＝2：3：12．
【解答】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD，BF，交于点H．
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠C＝∠FDH，∠H＝∠FBC．
∵F是CD中点，
∴CF＝DF．
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS）．
∴BC＝DH，BF＝HF．
∵E是BC中点，
∴．
∴．
∵AD∥BC，
∴△BEG∽△HAG．
∴．
∴，．
∴．
∴S△BEG：S△EFG：S△AFG＝2：3：12．
∴S△AEF：S△BEG＝15：2．
故答案为：15：2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
19．（2026春 浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值．
【分析】作EH∥AC，根据平行线分线段成比例定理和已知得到DH＝HC，根据BD：DC＝2：1，得到BH：HC＝5：1，根据平行线分线段成比例定理求出BE：EF的值．
【解答】解：作EH∥AC交BC于H，
∴．
又∵点E是AD的中点，
∴DH＝HC，
∵BD：DC＝2：1，
∴BH：HC＝5：1，
∵EH∥AC，
∴BE：EF＝BH：HC＝5：1．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
20．（2026春 杨浦区校级月考）已知，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F．若2AD＝3CD．
（1）求证：△FCD∽△FDA；
（2）求的值．
【分析】（1）利用余角的性质得到∠A＝∠BCD，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得∠ECD＝∠EDC，进而得到∠EDC＝∠A，即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质可得，设FD＝6k，表示出FC，FA即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵E是BC的中点，
∴，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FDA；
（2）解：∵2AD＝3CD，
∴，
∵△FCD∽△FDA，
∴，
设FD＝6k，
则FC＝4k，FA＝9k，
∴AC＝FA﹣FC＝5k，
∴．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
21．（2026 崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG BE＝AB BF，求证：AB2＝BE DG．
【分析】（1）连接AC交BD于点H，由平行四边形的性质得AH＝CH，由AE＝EC，根据等腰三角形的“三线合一”得HE⊥AC，即BD⊥AC，所以四边形ABCD是菱形．
（2）由菱形的性质得DA＝AB，由BF∥DA，证明△FBG∽△ADG，得，则，由BG BE＝AB BF，得，所以，则AB2＝BE DG．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH＝CH，
∵点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC，
∴HE⊥AC，即BD⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB，
∵点F是边BC上一点，且BC∥DA，
∴BF∥DA，
∴△FBG∽△ADG，
∴，
∴，
∵BG BE＝AB BF，
∴，
∴，
∴AB2＝BE DG．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
22．（2026 上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F．
（1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点；
（2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD BG＝BH BF．
【分析】（1）先根据菱形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△CEF∽△ABF，接着利用相似三角形的性质得到CEAB，所以CECD，从而得到结论；
（2）先根据菱形的性质得∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，再利用∠EBC＝∠CAB得到∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，接着证明∠BAH＝∠AFB，由于BH平分∠ABE，所以∠ABH＝∠FBG，于是可判断△ABH∽△FBG，然后根据相似三角形的性质得到AB BG＝BH BF．于是利用AB＝CD得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∴CEABCD，
∴点E是CD的中点；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，
∵∠EBC＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，
∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG，
∴∠BAH＝∠AFB，
∵BH平分∠ABE，
∴∠ABH＝∠FBG，
∴△ABH∽△FBG，
∴AB：BF＝BH：BG，
∴AB BG＝BH BF．
∵AB＝CD，
∴CD BG＝BH BF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质．
23．（2024秋 成华区期末）如图，在正方形ABCD中，延长AD到点E，连结CE，过点A作AH⊥CE，垂足为点H，AH交CD于点F，交BD于点G．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由AH⊥CE于点H∠AHE＝90°，由正方形的性质得AD＝CD，∠ADF＝∠CDE＝90°，则∠DAF＝∠DCE＝90°﹣∠E，即可根据“ASA”证明△ADF≌△CDE，则AF＝CE；
（2）设DF＝DE＝2m，由，得BA＝DC＝AD＝5m，则CF＝3m，AFm，可证明△DFG∽△BAG，得，则GFAFm，再证明△CHF∽△ADF，得，则FHm，求得．
【解答】（1）证明：∵AH⊥CE于点H，交CD于点F，交BD于点G，
∴∠AHE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，点D在AD的延长线上，
∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠DCE＝90°﹣∠E，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE．
（2）解：由（1）得△ADF≌△CDE，
∴DF＝DE，
设DF＝DE＝2m，
∵，
∴BA＝DC＝ADDE2m＝5m，
∴CF＝DC﹣DF＝5m﹣2m＝3m，AFm，
∵DF∥BA，
∴△DFG∽△BAG，
∴，
∴GFAFAFmm，
∵∠CHF＝∠ADF＝90°，∠CFH＝∠AFD，
∴△CHF∽△ADF，
∴，
∴FHm，
∴，
∴的值是．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ADF≌△CDE，△DFG∽△BAG，以及△CHF∽△ADF是解题的关键．
24．（2026 闵行区三模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AD∥CB，E是CD上一点，联结BE交AC于点F，联结DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果CE2＝BE EF，求证AB2＝BE AF．
【分析】（1）先证明△ABC≌△ADC得到∠BAC＝∠DAC，再根据平行线的性质得到∠BCA＝∠DAC．所以∠BCA＝∠BAC，则BC＝BA，从而得到AB＝BC＝CD＝AD．然后根据菱形的判定方法得到结论；
（2）利用CE2＝BE EF和∠CEB＝∠BEC可证明△ECF∽△EBC，所以∠ECA＝∠CBE，再利用菱形的性质和平行线的性质得到∠CEB＝∠ABF，∠BAC＝∠ECA．所以∠BAC＝∠CBE，根据相似三角形的判定方法得到△BCE∽△AFB，则根据相似三角形的性质和等量代换得到结论．
【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC．
∴∠BCA＝∠BAC．
∴BC＝BA，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵CE2＝BE EF，
∴．
∵∠CEB＝∠BEC，
∴△ECF∽△EBC，
∴∠ECA＝∠CBE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD．
∴∠CEB＝∠ABF，∠BAC＝∠ECA．
∴∠BAC＝∠CBE．
∴△BCE∽△AFB．
∴，
∴AB BC＝BE AF，
∵BC＝AB，
∴AB2＝BE AF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的判定与性质．
25．（2025 闵行区模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D．
（1）求证：四边形ADCM是菱形；
（2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项．
【分析】（1）证明△DNC≌△BNM（AAS），推出CD＝BM＝AM，可得结论；
（2）证明△PMN∽△CMP，推出PM2＝MN MC，又因为CN＝MN，MC＝BM，推出PM2＝CN BM，再证明CP＝CN可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AM＝BM，
∴CM＝AM＝BM，
∵N是CM的中点，
∴CN＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠CDN＝∠MBN，
∵∠DNC＝∠BNM，
在△DNC和△BNM中，
，
∴△DNC≌△BNM（AAS），
∴CD＝BM＝AM，
∵CD∥AM，
∴四边形ADCM是平行四边形，∵CD＝BM，CM＝BM，
∴CD＝CM，
∴四边形ADCM是菱形；
（2）∵CM＝AM，
∴∠ACM＝∠BAC，
∵∠BPM＝∠BAC，
∴∠MPN＝∠PCM，
∵∠PMN＝∠CMP，
∴△PMN∽△CMP，
∴PM2＝MN MC，
∵CN＝MN，MC＝BM，
∴PM2＝CN BM，
∵四边形ADCM是菱形，
∴D，M关于AC对称，
∴∠CPN＝∠APM＝∠APD，
∵∠APM+∠MPN+∠CPN＝180°，∠CPN+∠PCM+∠CNP＝180°，∠MPN＝∠PCN，
∴∠CPN＝∠CNP，
∴CP＝CN，
∴PM2＝PC BM，
∴线段PM是线段BM与CP的比例中项．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，相似三角形解决问题．
26．（2026春 西乡县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，求BD的长．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠ODA＝∠OBC，而∠AOD＝∠COB，AO＝CO，即可根据“AAS”证明△AOD≌△COB，得DO＝BO，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）因为AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，所以BC＝AD＝6，∠ACB＝90°，求得AC8，则CO＝AO＝4，所以BO2，则BD＝2BO＝4．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AC、BD相交于点O，
∴∠ODA＝∠OBC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，
∴BC＝AD＝6，∠ACB＝90°，
∴AC8，
∴CO＝AOAC＝4，
∴BO2，
∴BD＝2BO＝4，
∴BD的长是4．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△AOD≌△COB是解题的关键．
【考点2】相似三角形的应用（第27-37题）
· · 测高问题画水平线，把人眼高度单独剥离
· · 平面镜反射：入射角＝入射角，构造两个直角三角形相似
· · 杠杆问题：长短臂端点升高/下降距离与臂长成比例
· · 小孔成像：物高：像高＝物距：像距
27．（2026春 宿迁期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别在AC、BC上各找一点D、E，已知AD＝3CD，BE＝3CE，若测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．8米 B．32米 C．48米 D．64米
【分析】证明△BAC∽△EDC，列比例式解答即可．
【解答】解：∵BE＝3CE，AD＝3CD，
∴，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△BAC∽△EDC，
∴，
∴，
解得AB＝64（米）．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
28．（2026 营山县二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　）
A．2cm B． C．3cm D．4cm
【分析】由AB∥CD，可得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△AOB∽△COD，
∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，
∴根据相似三角形对应高的比等于相似比可得，
∵AB＝2cm，
∴CD＝3cm，
答：蜡烛火焰倒立的像CD的高度是3cm，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
29．（2026春 济宁期末）如图，道口栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当长臂外端B升高4m时，短臂外端A下降的距离是（　　）
A．0.6m B．0.5m C．0.4m D．0.3m
【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．
【解答】解：如图所示，
由题意知，OC＝OA＝1m，OD＝OB＝8m，CE⊥AB，DF⊥AB，DF＝4，
∴CE∥DF，
∴△OCE∽△ODF，
∴，
∴，
解得：CE＝0.5m，
即短臂外端A下降的距离是0.5m，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
30．（2024秋 长春校级期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可证明△EFD∽△EBC得到，然后代入数值即可得到答案．
【解答】解：如图，
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明△EFD∽△EBC是解题的关键．
31．（2024春 东营区期末）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFGH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 　30　 cm．
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出EH，EF的长，即可得出答案．
【解答】解：∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH＝GF，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3：2，
设EH＝GF＝3xcm，EF＝GH＝2x，则MD＝EF＝2xcm，AM＝（12﹣2x）cm，
∴，
解得：x＝3，
∴EH＝3x＝9，EF＝2x＝6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）＝30cm．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
32．（2025秋 松江区期末）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD＝2.7米，标杆与旗杆的水平距离BD＝16米，人的眼睛与地面的距离EF＝1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆CD的水平距离DF＝2米，那么旗杆AB的高度是　10.7　 米．
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.7m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH，于是得到结论．
【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△CGE∽△AHE，
∴，
即，
∴，
∴AH＝9，
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝9+1.7＝10.7（m）．
答：旗杆AB的高度是10.7米．
故答案为：10.7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．
33．（2026 台州一模）如图是笔直杠杆AB的示意图．已知AB＝180cm，支点C离水平地面的高度为20cm．当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　120　 cm．
【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【解答】解：如图，作BE⊥水平地面于点E，
∴∠ADC＝∠AEB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴，
∵BE＝30cm，AB＝180cm，CD＝20cm，
∴，
∴AC＝120cm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
34．（2025秋 高新区期末）太阳能路灯的使用既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某同学想测量一盏太阳能路灯灯泡离地面的高度．他带着竹竿和皮尺，利用路灯本身的灯光，通过测量影长来推算路灯高度．如图，B处在路灯灯泡A的正下方，该同学在路灯前的水平空地进行测量，他先将竹竿直立在C处，此时竹竿的影子CG长为2m；再将竹竿直立在E处，此时竹竿的影子EH长为4m．已知，AB⊥BC，点B，C，G，E，H在同一直线上，竹竿长为2m（即CD＝EF＝2m），CE＝6m，求该太阳能路灯灯泡A到地面的高度AB．
【分析】由CD∥AB，证明△CDG∽△ABG，由EF∥AB，证明△FEH∽△ABH，进而利用比例解答即可．
【解答】解：由题意可知，AB⊥BH，DC⊥BH，EF⊥BH，
∴CD∥AB∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△FEH∽△ABH，
设AB＝xm，BC＝ym，则BG＝y+CG＝（y+2）m，BH＝BC+CE+EH＝（y+6+4）m＝（y+10）m，
∴，
即，
可得：，
解得：y＝6，
∴，
解得：x＝8，
即AB＝8m，
答：该太阳能路灯灯泡A到地面的高度AB为8m．
【点评】此题重点考查平相似三角形的判定与性质，证明△CDG∽△ABG及△FEH∽△ABH是解题的关键．
35．（2025秋 南海区校级期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
（2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB＝15（m）．
答：建筑物AB的高度为15米．
（2）由题意得：BE1＝BD﹣DE1＝10m，BE2＝BD﹣DE2＝9m，∠CE1D＝∠GE1B，∠CE2D＝∠AE2B，
∵∠CDE1＝∠GBE1＝90°，∠CE1D＝∠GE1B，
∴△CDE1∽△GBE1，
∴，
∴，
∴GB＝7.5（m）．
∵∠CE2D＝∠AE2B，∠CDE2＝∠ABE2＝90°，
∴△CDE2∽△ABE2，
∴，
∴，
∴AB＝4.5（m），
∴AG＝BG＝AB＝7.5﹣4.5＝3（m）．
答：广告牌AG的高度为3米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
36．（2025秋 萍乡期末）为了测量路灯的MN的高度，小明从灯杆底部点N沿人行道垂直方向拉一卷尺到B处，在B，N之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置，当镜子在C点时，小明能在镜中看到灯EP的E点；当镜子在D点，小明能在镜中看到灯MF的F点，其视线如图所示，D，P，F三点共线，且EP⊥MN，FM⊥MN．已知小明的眼睛离地面的高度AB＝1.5m，BC＝1.2m，CD＝0.3m，DN＝10m，MF＝3m．
（1）求线段NP和灯杆MN的高度；
（2）求EP长．
【分析】（1）根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到PN＝DN＝10m，MN＝PN+PM＝13（m）；
（2）过E作EG⊥BN于G，则EG＝PN＝10m，EP＝GN，证明△ABC∽△EGC求得CG＝8m，进而求得GN即可．
【解答】解：（1）∵AB＝1.5m，BC＝1.2m，CD＝0.3m，
∴AB＝BD＝1.5m，
∵EP⊥MN，FM⊥MN，
∴∠ADB＝∠BAD＝45°，则∠PDN＝∠DPN＝45°，
∴PN＝DN＝10m，PM＝FM＝3m，
∴MN＝PN+PM＝13（m）；
（2）过E作EG⊥BN于G，则四边形EGNP是矩形，
∴EG＝PN＝10m，EP＝GN，
∵∠ABC＝∠EGC＝90°，∠ACB＝∠ECG，
∴△ABC∽△EGC，
∴，即，
解得CG＝8，
∴GN＝DN+CD﹣CG＝10+0.3﹣8＝2.3（m），
∴EP＝GN＝2.3m．
答：路灯EP的长约为2.3m．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识解决问题．
37．（2024秋 奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米．
（1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度；
（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
【分析】（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N，根据三角函数求出ON和MN的长度，即可得到OM的长；
（2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N，根据，求出BH'的长度，即可得到重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N，
∵cotB＝0.75，OH＝1.6m，
∴BH＝1.2m，cosB，
∵cosB，AB＝6m，
∴BG＝3.6m，
∴HG＝BG﹣BH＝3.6﹣1.2＝2.4（m），
∴ON＝HG＝2.4m，
又∵AT＝AC﹣CT＝3﹣0.5＝2.5（m）＝MN，
∴OM＝ON+MN＝2.4+2.5＝4.9（m），
答：这个桔槔支架OM的高度为4.9m；
（2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N，
由（1）知：BO＝2m，AO＝4m，OM＝NT＝4.9m，
∴AN＝4.9﹣3﹣0.6＝1.3（m），
∵，
∴，
∴BH'＝0.65m，
∴BH﹣BH'＝1.2﹣0.65＝0.55（m），
答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为0.55m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 达州校级期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，，点E在BA的延长线上，，连结ED交AC于点F，那么　　 ．
【分析】过点A作AG∥DE得出△ABG∽△EBD，△CFD∽△CAG，再根据已知条件和比例的性质用参数表示线段从而得出线段的比值．正确作出辅助线是解题关键．
【解答】解：∵，
∴，，
如图，过点A作AG∥DE交BC于点G，
∴△ABG∽△EBD，△CFD∽△CAG，
∴，
∴，
设BG＝3k，则BD＝5k，
∴GD＝BD﹣BG＝5k﹣3k＝2k，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
设AG＝9a，则DF＝5a，ED＝15a，
∴EF＝DE﹣DF＝15a﹣5a＝10a，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
【练习 2】（2026 千山区一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝　4：25　 ．
【分析】根据S△BDE：S△CDE＝2：3可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据△ODE∽△OCA可得．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OCA，
∴，
即S△DOE：S△AOC＝4：25，
故答案为：4：25．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【练习 3】（2026 模拟）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．则AE的长为　8　 ．
【分析】利用已知条件可得DE＝BE＝4，设AE＝x，利用△ADE∽△ABC得出比例式，依据比例式列出方程即可求解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED＝4．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
∵BC＝6，DE＝4，AB＝AE+BE＝AE+4，
∴，
解得：AE＝8（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【练习 4】（2026春 西城区校级月考）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝　　 ．
【分析】过点E作AB的平行线，分别交AD，BC于点M，N，先根据矩形的性质与判定可得四边形ABNM和四边形CDMN都是矩形，设EM＝x（x＞0），则EN＝8﹣x，再根据相似三角形的判定证出△DEM∽△DBA，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出△AEM∽△EGN，根据相似三角形的性质可得x的值，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理即可得．
【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点E作AB的平行线，分别交AD，BC于点M，N，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝8，∠AME＝∠ENG＝90°，
同理可得：四边形CDMN是矩形，
∴DM＝CN，
设EM＝x（x＞0），则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，
∵EM∥AB，
∴△DEM∽△DBA，
∴，即，
解得：，
∴，
∵BG＝2，
∴，
∵∠AME＝90°，EG⊥AE，
∴∠EAM+∠AEM＝90°＝∠GEN+∠AEM，
∴∠EAM＝∠GEN，
∵∠AME＝∠ENG＝90°，
∴△AEM∽△EGN，
∴，即，
解得：或x＝8（经检验，是分式方程的根，且符合题意；x＝8不是分式方程的根，舍去），
∴，
在直角三角形AEM中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【练习 5】（2026 鹿邑县模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S△BDE：S△DEC＝2：5，则S△DEF：S△AFC＝　4：49　 ．
【分析】先根据已知得到BE：CE＝2：5，则BE：BC＝2：7，证明△BDE∽△BAC，△DEF∽△CAF，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，S△BDE：S△DEC＝2：5，
∴BE：CE＝2：5，
∵BE+CE＝BC，
∴BE：BC＝2：7，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DEF∽△CAF，
∴DE：AC＝BE：BC＝2：7，
则，
故答案为：4：49．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【练习 6】（2026 南山区校级二模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 　77.8　 m．
【分析】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即，
解得BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m），
即“步云阁”的高度为77.8m，
故答案为：77.8．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出△DEF和△DCB相似是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 判定相似优先找等角：公共角、对顶角、平行线内错角、同角的余角
· · 求线段比或等积式，先把已知乘积式改写为比例式，再按对应边找三角形
· · 面积比是相似比的平方，反过来由面积比开方求相似比
· · 四边形背景（平行四边形/矩形/菱形/正方形）中，平行线和直角是相似的天然条件
· · 实际测量题：画水平线剥离人眼/标杆高度，列对应高之比等于相似比
【作业 1】（2026 信阳二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．1
【分析】先根据勾股定理求出AB＝4，再证明△CEF∽△CAB，进而即可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴，．
∵AC⊥AB，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∵点E为OC的中点，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【作业 2】（2026春 西安校级月考）如图， ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE＝2CE，△DEF的面积为4，则四边形CBFE的面积为（　　）
A．7 B．6 C．9 D．11
【分析】根据题意得到AB∥CD且AB＝CD，证明△DEF∽△BAF，得到，求出S△BAF＝9，进而求出S△DFA＝6，得到S△BCD＝S△ABD＝15，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
根据平行线的性质，得到∠FDE＝∠FBA（内错角相等）和∠FED＝∠FAB（内错角相等）．
∴△DEF∽△BAF，
已知DE＝2CE．
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝2CE+CE＝3CE．
得．
又∵在平行四边形中AB＝CD，
∴，
∴△DEF与△BAF的相似比为．
∴，
∵△DEF的面积为4，
∴S△BAF＝9，
∴，
∴S△ABD＝S△BAF+S△DFA＝9+6＝15，
∴S△BCD＝S△ABD＝15，
∴S四边形CBFE＝S△BCD﹣S△DEF＝15﹣4＝11．
故选：D．
【点评】题目考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
【作业 3】（2025秋 普陀区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC．下列条件中，不一定能判定DE∥BF的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由DF∥BC，得，因为，所以，则DE∥BF，可判断A不符合题意；可证明△ADF∽△ABC，得，而，则，由，∠A＝∠A，不能证明△ADE∽△ABF，所以不能证明∠ADE＝∠ABF，则不能判定DE∥BF，可判断B符合题意；由，∠DFE＝∠C，证明△DFE∽△BCF，得∠DEF＝∠BFC，则DE∥BF，可判断C不符合题意；将，变形为，由相似三角形的性质得，所以，可证明△DFE∽△BCF，得∠DEF＝∠BFC，则DE∥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC，
∴∠DFE＝∠C，，
∴，
∴，
∴DE∥BF，
故A不符合题意；
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∵由，∠A＝∠A，不能证明△ADE∽△ABF，
∴不能证明∠ADE＝∠ABF，
∴不能判定DE∥BF，
故B符合题意；
∵，∠DFE＝∠C，
∴△DFE∽△BCF，
∴∠DEF＝∠BFC，
∴DE∥BF，
故C不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠DFE＝∠C，
∴△DFE∽△BCF，
∴∠DEF＝∠BFC，
∴DE∥BC，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形一边的平行线判定定理等知识，证明△ADF∽△ABC及△DFE∽△BCF是解题的关键．
【作业 4】（2025秋 闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【分析】①连接PC，证明△ADP≌△CDP（SAS），得到∠DAP＝∠DCP，根据矩形的性质得到∠DAP＝∠CFE，又因为∠DAP+∠AMD＝90°，所以∠CFE+∠AMD＝90°，得到AH⊥EF．
②当P为BD的中点时，MC＝0，可见MF≠MC．
③先证明△CPM∽△HPC，得到，因为四边形PECF为矩形，所以PC＝EF，EF2＝PM PH．
④因为EF＝PC＝AP，当AP⊥BD时，EF取最小值，进而得到AP＝EF．
【解答】解：①如图，连接PC，交EF于点O，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴OF＝OC，
∴∠FCP＝∠CFE，
∴∠DAP＝∠CFE，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠CFE+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF，
故①正确；
②当P为BD的中点时，MC＝0，可见MF≠MC，故②错误；
③∵AD∥BH，
∴∠H＝∠DAP，
∵△ADP≌△CDP（SAS），
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠H＝∠DCP，
∵∠CPH＝∠MPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴，
又∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴EF2＝PM PH，
故③正确；
④∵△ADP≌△CDP（SAS），
四边形PECF为矩形，
∴EF＝PC＝AP，
∴当AP⊥BD时，EF取最小值，
AP BD＝AB BD，
∴AP＝EF，
故④错误，
综上正确的结论有①③，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【作业 5】（2026 白银模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是　　 cm．
【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业 6】（2025秋 南京期末）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作CD⊥AB，垂足为D，测得AD＝10m，AC＝20m，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是　40m ．
【分析】根据垂直定义可得∠ADC＝∠ACB＝90°，然后证明△ADC∽△ACB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
解得：AB＝40，
∴A，B两点之间的距离是40m，
故答案为：40m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【作业 7】（2026 西丰县一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝　8　 ．
【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，HF∥BC，
∴∠EFH＝∠B，
∴△EFH∽△EBP，
∴，
∴，
解得PB＝6，
∴BC＝PB+CP＝6+2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确求出PB的长是解答本题的关键．
【作业 8】（2023秋 西湖区校级月考）已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，则AQ＝　4　 ．
【分析】过点A作AC∥QB，交QP的延长线于点C，利用平行线的性质和角平分线的定义可得△AQC是等腰三角形，从而可得AQ＝AC，再根据黄金分割的定义可得，从而可得AP＝BQ＝22，然后证明8字模型△BQP∽△ACP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AC∥QB，交QP的延长线于点C，
∴∠BQP＝∠C，
∵QP平分∠AQB，
∴∠AQP＝∠BQP，
∴∠AQP＝∠C，
∴AQ＝AC，
∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，
∴，
∴AP＝22，
∵BQ＝AP，
∴BQ＝22，
∵∠BPQ＝∠APC，
∴△BQP∽△ACP，
∴，
∴AC＝4，
∴AQ＝AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【作业 9】如图，△ABC∽△DAC，试找出对应角，并写出比例式．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴对应角为∠CAB＝∠CDA，∠CBA＝∠CAD，∠ACB＝∠DCA，
比例为．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质．
【作业 10】（2024春 威海期末）如图，Rt△ABC的两条直角边，AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm，秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）求当动点运动时间t为多少秒时，△BDE与△ABC相似；
（2）在运动过程中，当CD⊥DE时，求t的值．
【分析】设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t）；
（1）分类：当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值；
（2）先计算出DF＝AB﹣AD﹣BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t．
【解答】解：设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t），
（1）当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴BD：BA＝BE：BC，即（4﹣t）：4＝2t：5，
∴t；
当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴BD：BC＝BE：BA，即（4﹣t）：5＝2t：4，
∴t；
所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似；
故答案为：或；
（2）当CD⊥DE时，t秒．理由如下：
如图，过点E作EF⊥AB于F，
DF＝AB﹣AD﹣BF＝4﹣t4t，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ADC+∠EDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠FDE，
∵∠CAD＝∠DFE，
∴Rt△ACD∽Rt△FDE，
∴AC：DF＝AD：EF，即3：（4t）＝t：，
∴t（秒）．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．
【作业 11】（2024 兴宁市校级一模）如图， ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H．
①求证：AH CH＝DH GH；
②若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；
（2）①先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，进而得证；
②利用△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴1，
∴AF＝AB；
（2）①证明：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴，
∴AH CH＝DH GH；
②解：由①得△DCH∽△AGH，
∴，即，
∴GH＝1.2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．
【作业 12】（2023 兴义市校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△AEG∽△BCH；
（2）如果AG＝DF，求证：BE2＝AB AE．
【分析】（1）证明△CDF≌△CBE（SAS），得出∠DCF＝∠BCE，则∠DCG＝∠BCH，根据平行线的性质得出∠AEG＝∠DCG，∠EAG＝∠D，进而得出∠AEG＝∠BCH，∠EAG＝∠B，即可证明△AEG∽△BCH；
（2）根据菱形的性质得出AG∥BC，证明△AEG∽△BEC，得出，根据AG＝DF，AB＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B．
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS）．
∴∠DCF＝∠BCE．
∴∠DCG＝∠BCH．
∵CD∥BH，
∴∠AEG＝∠DCG，∠EAG＝∠D．
∴∠AEG＝∠BCH，∠EAG＝∠B．
∴△AEG∽△BCH．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AG∥BC，BC＝AB．
∴△AEG∽△BEC．
∴．
又AG＝BE，AB＝BC，
∴BE2＝AB AE．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【作业 13】（2025秋 平原县期末）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠DAE＝∠E，CF＝3，AF＝2EF，求DC的长度．
【分析】根据∠DAE＝∠E，对顶角相等，即可证明；根据AF＝2EF得出相似比，再根据相似比求出DF的长度，即可求解．
【解答】解：∵AF＝2EF，
∴，
∵∠DAE＝∠E，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF．
∴，
∵CF＝3，
∴DF＝6，
∴DC＝CF+DF＝9．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业 14】（2025秋 扬州期末）如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD＝4，AB＝6，AC＝5，求AE的长．
【分析】（1）由∠1＝∠2，得∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，则∠ACB＝∠AED，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；
（2）由相似三角形的性质得，而AD＝4，AB＝6，AC＝5，则AE．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，
∵∠ACB＝∠1+∠ACD，∠AED＝∠2+∠ACD，
∴∠ACB＝∠AED，
∵，
∴△ABC∽△ADE．
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝4，AB＝6，AC＝5，
∴AE，
∴AE的长是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出∠ACB＝∠AED，进而证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
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