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第14讲 解直角三角形及其应用 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解解直角三角形的含义，能运用边角关系求出未知元素
· · 掌握坡度坡角的概念，能解决斜坡、传送带、登高问题
· · 理解仰角、俯角概念，能解决测高、测距问题
· · 理解方向角概念，能解决航海、航空中的定位问题
· · 能将实际问题抽象为直角三角形，作高构造直角三角形求解
知识梳理
☆ 1.解直角三角形的依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）
两锐角关系：∠A＋∠B＝90°
边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝
已知两个元素（至少一边），可求其余三个元素
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，求∠A
解析：sinA＝＝＝，故∠A＝30°
☆ 2.坡度与坡角问题
坡角α：坡面与水平面的夹角
坡度（坡比）i＝tanα＝
常见坡度如i＝1：2即h：l＝1：2
斜坡长s满足s2＝h2＋l2
概念辨析例题：汽车在坡度i＝1：2的斜坡上前进100米，求竖直升高
解析：设升高h，则水平宽2h，由h2＋(2h)2＝1002得5h2＝10000，h＝20
☆ 3.仰角与俯角问题
仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角
同一竖直线上两点的仰角、俯角常结合水平距离列方程
解题关键：过观测点作水平线，构造两个直角三角形
概念辨析例题：无人机在距湖面120m处，测得A俯角45°，B俯角30°，求AB距离
解析：过C作CD⊥AB于D，CD＝120。AD＝CD·tan45°＝120，BD＝CD·tan30°＝120，AB＝AD＋BD＝120(1＋)
☆ 4.方向角问题
方向角一般以正北或正南为基准，如北偏东30°、南偏西50°
解题时以观测点为原点建立方向标（上北下南左西右东）
常作南北方向或东西方向的垂线构造直角三角形
注意方向角的转换：两观测点互为观测时角度互余或互补
概念辨析例题：轮船从A港向南偏西50°航行10km到B岛，A到航线BM最短距离6km，求AC
解析：过A作AD⊥BM于D，在Rt△ABD中BD＝＝8，CD＝BC－BD＝13－8＝5，AC＝＝＝1
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
三边关系 a2＋b2＝c2 勾股定理
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90° 互余
边角关系 sinA＝等 对边邻边勿错
坡度i i＝tanα＝ 铅直：水平
仰角/俯角 视线与水平线夹角 过观测点作水平线
方向角 北偏东/南偏西等 画方向标
实际应用 作高构造直角三角形 建模是关键
核心考点
【考点1】解直角三角形（第1-12题）
· · 先画图，分清对边、邻边、斜边
· · 非直角三角形作高构造直角三角形
· · 网格题用勾股定理求边长
· · 已知一边一角，选合适的三角函数
1．（2024春 杨浦区期末）只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB＝4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（　　）
A．∠A＝60°，∠B＝30° B．BC＝6cm，∠B＝30°
C．BC＝3cm，∠A＝30° D．BC＝5cm，AC＝6cm
2．（2026 澧县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．12
3．（2026 安阳县一模）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025秋 路南区校级月考）如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．（2026 深圳校级模拟）如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．（2026 响水县模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025秋 宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝________ ．
8．（2026 天宁区校级一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点D，则tan∠ADC＝_____ ．
9．（2025 罗湖区校级模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若，，则的值为___________________ ．
10．（2026 浙江模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点．
（1）求线段AD的长．
（2）求tan∠ABC的值．
11．（2025秋 淇滨区校级期末）如图，CD是△ABC中AB边上的高，点E是BC边上一点，，若CD＝9，．
（1）求AE的长；
（2）若AE＝BE，求tan∠ACD的值．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝4，DE＝3．
（1）求AB的长；
（2）求tanC．
【考点2】解直角三角形的应用（第13-21题）
· · 把实际物体抽象为直角三角形
· · 作辅助线（水平线、垂线）拆分图形
· · 多段折线分别解直角三角形
· · 参考数据按题目给定值计算
13．（2026 深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　）
A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40
C． D．
14．（2026 深圳一模）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　）
A．50sin24°米 B．50cos24°米
C．米 D．米
15．（2025 同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　）
A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα
C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα
16．（2023秋 萨尔图区期末）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝55cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 _______ cm．
17．（2026 长沙模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 _______ ．
18．（2026 科左中旗模拟）如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为∠1，液压杆AB与底盘OC的夹角为∠2．已知液压杆AB＝3m，某一工作时刻，∠1＝31°，∠2＝53°．此时AO的长为_________ （精确到小数点后一位，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
19．（2026 菏泽一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m．
（1）求下折臂DE的长；
（2）求路灯AB的高．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，
20．（2026春 新城区期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路AB由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为120m、160m，公路总长AB＝200m，工程车周边120米范围为噪声影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若压路工程车行驶速度为每分钟60m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？
21．（2026 川汇区校级模拟）（哪吒2）国内票房154.45亿，总观影人次3.24亿，共打破113项纪录，获得308项里程碑成就收官，其中影片中出现的万郁华严经塔受到了广大影迷的关注．万郁华严经塔，俗称“白塔”，位于内蒙古自治区，素有“白塔耸光”的美誉，它为八角七级砖木结构楼阁式塔，对研究北方民族史和地方史具有重要价值．呼和浩特某中学数学兴厚小组欲测量白塔的高度，测量过程如下．
步骤1：把长为1.5m的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线BD于点Q，测得QD＝2m；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移17.5m到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得∠APB＝32°．（以上数据均为近似值，参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6，结果精确到1m）
请你根据测量信息，求白塔的大致高度AB．
【考点3】坡度坡角问题（第22-26题）
· · 坡度i＝h：l，设比例系数k
· · 斜坡长s＝
· · 物体升降高度即铅直高度h
· · 多段斜坡分段求解
22．（2025秋 芜湖期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_________________ 米．
23．（2026 兴城市一模）春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线AB长51m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为_______ m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
24．（2025秋 桃源县期末）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为90cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到135°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约_________ cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.41）
25．（2026 常州校级模拟）图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
26．（2026 天桥区三模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图①，驾驶员的眼睛位于点P处，PB和PE为驾驶员看向汽车两侧的视线，△ABC，△FED为汽车两侧的盲区截面图．
图②为示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝35°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝12°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE，垂足分别为C，D，AC＝1.12m．
（1）求盲区中线段BC的长．
（2）已知点H在线段ED上，HD＝2m，在H处有一个高度为0.6m的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．
（参考数据：sin35°≈0.6，tan35°≈0.7，cos12°≈0.9，tan12°≈0.2）．
【考点4-5】仰角俯角与方向角（第27-36题）
· · 仰角俯角：过观测点作水平线
· · 两个仰角常列方程求未知距离
· · 方向角：画方向标，作南北/东西垂线
· · 航海问题注意方位角转换
27．（2026 南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为____________________ m（结果保留根号）．
28．（2026 浙江一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是__________ 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
29．（2026 滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面）
（1）求路段BQ的长；
（2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
30．（2026 响水县模拟）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．
（参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7）
（1）求塔干OD的长度；
（2）求风叶OA的长度．（精确到1米）
五．考点4：方向角问题（共6小题）
31．（2025秋 龙华区期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km，则C岛和A港之间的距离（　　）
A． B． C． D．8km
32．（2025秋 莱阳市期末）如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4千米处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
33．（2024春 江岸区校级月考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向上，B港口在货轮的北偏西70°方向，则此时货轮与A港口的距离为 ________ 海里．（结果取整数）（sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，）
34．（2026 抚顺校级模拟）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在其北偏西45°方向上，A在其北偏东30°方向上，测得A，C之间的距离为100米，则A，B之间的距离为________ 米．（结果精确到1米．参考数据：，）
35．（2025秋 重庆校级期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西30°方向，E在D的南偏东75°方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，AC＝2BC．（参考数据：，，）
（1）求DC的长度；（结果保留根号）
（2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1）
36．（2025秋 开福区校级期末）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向．
（1）求CD的距离；
（2）求AC的距离（结果保留根号）．
随堂检测
【练习 1】（2026 拱墅区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【练习 2】（2026 龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　）
A．50tanαm B． C．50sinαm D．
【练习 3】（2025秋 浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　）
A．5米 B．10米 C．12米 D．13米
【练习 4】（2026 罗湖区校级三模）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　）
A．2m B．4m C． D．
【练习 5】（2024 西安校级一模）如图，在坡度为i＝3：4的山坡上种树，已知∠C＝90°，相邻两树A、B的坡面距离为10米，则两树的水平距离AC为 _____ 米．
【练习 6】（2026 硚口区模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是________ 海里（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83）．
【练习 7】（2025秋 松江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，，点D在边BC上，且∠ADC＝120°．
（1）求BD的长；
（2）求∠CAD的余弦值．
【练习 8】（2025秋 长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
【练习 9】（2026 汝南县三模）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1．
测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β．
实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．
问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β．
（2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）．
课后巩固
复习建议
· · 解直角三角形关键：先确定直角，再选对三角函数
· · 非直角三角形必作高，拆成两个直角三角形
· · 坡度问题设比例系数k，用勾股定理列方程
· · 仰角俯角问题过观测点作水平线，分别解两个直角三角形
· · 方向角问题画方向标，注意方位角之间的转换
【作业 1】（2025秋 乐陵市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【作业 2】（2026 张家口模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为（2，m），且OP与x轴正半轴夹角的正切值为2，则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
【作业 3】（2024秋 闵行区期末）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　）
A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5
【作业 4】（2026 龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为_____ ．
【作业 5】（2026 武昌区一模）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为____________________ m（结果保留根号）．
【作业 6】（2026 通许县一模）从2025年春晚机器人“秧BOT”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武BOT”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻…这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC、手臂CD使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE．（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【作业 7】（2026 东莞市二模）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
【作业 8】（2026 惠城区校级一模）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝9cm，BC＝38cm，∠ABC＝24°．（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
（1）如图2，∠BCE＝________ 度；
（2）如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm）
（3）如图3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为0.7cm，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度．
【作业 9】（2025秋 闵行区期末）如图，有一块由四条小路AB、BC、CD和DA围成的绿地，其中AB长160m，BC长100m，CD长100m，DA长120m，∠A＝90°．
（1）求绿地ABCD的面积（结果保留根号）；
（2）计划在绿地内部建一座凉亭，希望凉亭（用一个点M来表示）到四个路口（即点A、B、C和D）的距离都相等，小海同学认为连接BD，线段BD的中点就是凉亭M的位置，你同意他的观点吗？如果同意，试证明点M到点A、B、C、D的距离都相等；如果不同意，请说明理由．
【作业 10】（2025秋 徐汇区期末）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m．
（1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．）
【作业 11】（2026 大庆模拟）如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i＝1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，1.41）
（1）求点D到FC的距离；
（2）求塔AB的高度．（结果精确到0.1米）
【作业 12】（2024 闵行区）诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员．
如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是0.2米，即PQ＝MN＝0.2米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线AD经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．AB⊥DC于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离AB＝4米，光线和行驶路线的夹角∠BDA＝11.4°，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据：tan11.4°）
（1）BD的长度是多少米？
（2）相邻遮光板的距离PM是多少米？
【作业 13】（2026 广东一模）如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°．
（1）在图2中，∠BCD＝_________ ；
（2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm．
①∠ACD＝_______ °；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，
第1页（共1页）第14讲 解直角三角形及其应用 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解解直角三角形的含义，能运用边角关系求出未知元素
· · 掌握坡度坡角的概念，能解决斜坡、传送带、登高问题
· · 理解仰角、俯角概念，能解决测高、测距问题
· · 理解方向角概念，能解决航海、航空中的定位问题
· · 能将实际问题抽象为直角三角形，作高构造直角三角形求解
知识梳理
☆ 1.解直角三角形的依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）
两锐角关系：∠A＋∠B＝90°
边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝
已知两个元素（至少一边），可求其余三个元素
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，求∠A
解析：sinA＝＝＝，故∠A＝30°
☆ 2.坡度与坡角问题
坡角α：坡面与水平面的夹角
坡度（坡比）i＝tanα＝
常见坡度如i＝1：2即h：l＝1：2
斜坡长s满足s2＝h2＋l2
概念辨析例题：汽车在坡度i＝1：2的斜坡上前进100米，求竖直升高
解析：设升高h，则水平宽2h，由h2＋(2h)2＝1002得5h2＝10000，h＝20
☆ 3.仰角与俯角问题
仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角
同一竖直线上两点的仰角、俯角常结合水平距离列方程
解题关键：过观测点作水平线，构造两个直角三角形
概念辨析例题：无人机在距湖面120m处，测得A俯角45°，B俯角30°，求AB距离
解析：过C作CD⊥AB于D，CD＝120。AD＝CD·tan45°＝120，BD＝CD·tan30°＝120，AB＝AD＋BD＝120(1＋)
☆ 4.方向角问题
方向角一般以正北或正南为基准，如北偏东30°、南偏西50°
解题时以观测点为原点建立方向标（上北下南左西右东）
常作南北方向或东西方向的垂线构造直角三角形
注意方向角的转换：两观测点互为观测时角度互余或互补
概念辨析例题：轮船从A港向南偏西50°航行10km到B岛，A到航线BM最短距离6km，求AC
解析：过A作AD⊥BM于D，在Rt△ABD中BD＝＝8，CD＝BC－BD＝13－8＝5，AC＝＝＝1
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
三边关系 a2＋b2＝c2 勾股定理
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90° 互余
边角关系 sinA＝等 对边邻边勿错
坡度i i＝tanα＝ 铅直：水平
仰角/俯角 视线与水平线夹角 过观测点作水平线
方向角 北偏东/南偏西等 画方向标
实际应用 作高构造直角三角形 建模是关键
核心考点
【考点1】解直角三角形（第1-12题）
· · 先画图，分清对边、邻边、斜边
· · 非直角三角形作高构造直角三角形
· · 网格题用勾股定理求边长
· · 已知一边一角，选合适的三角函数
1．（2024春 杨浦区期末）只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB＝4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（　　）
A．∠A＝60°，∠B＝30° B．BC＝6cm，∠B＝30°
C．BC＝3cm，∠A＝30° D．BC＝5cm，AC＝6cm
【分析】根据选项中所给条件，结合题中的AB＝4cm，依次进行判断三角形的形状和大小是否确定即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°，
则三角形的形状确定．
再根据∠A的正弦值和余弦值，可求出BC及AC的长，
所以三角形的大小也确定．
故A选项不符合题意．
因为AB＝6cm，AB＝4cm，且它们的夹角为∠B＝30°，
所以依据全等三角形的判定定理“SAS”可知，此三角形的形状和大小都确定．
故B选项不符合题意．
因为∠A＝30°，BC＝3cm，AB＝4cm，
所以此时△ABC的两边和一边的对角确定，
则△ABC的形状和大小都不确定．
故C选项符合题意．
因为AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，
所以依据全等三角形的判定定理“SSS”可知，此三角形的形状和大小都确定．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解直角三角形及全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2026 澧县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．12
【分析】根据同角的余角相等，得到∠BCD＝∠A，进而得到，进而得到，进行求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴，
在Rt△CDB中，，
∵CD＝6，
∴BD＝9；
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2026 安阳县一模）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接DE，先证明△ADE为直角三角形即可求解．
【解答】解：如图，连接DE，
∵DE，AD＝2，AE，
∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2，
∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．
4．（2025秋 路南区校级月考）如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【分析】连接AD，依题意得AC＝BD＝2，AC∥BD，∠ADE＝45°，∠CDE＝45°，由勾股定理得AD＝CD，∠ADO＝90°，证明△AOC和△BOD全等得OC＝ODCD，然后在Rt△AOD中，根据正切函数的定义即可得出tan∠AOD的值．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵正方形网格中，小正方形的边长均为1，
∴AC＝BD＝2，AC∥BD，
由勾股定理得：AD，CD，
∵AD，CD是小正方形的对角线，
∴∠ADE＝45°，∠CDE＝45°，
∴∠ADO＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴△AOD是直角三角形，
∵AC∥BD，
∴∠OAC＝∠OBD，∠OCA＝∠ODB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝ODCD，
在Rt△AOD中，tan∠AOD2．
∴tan∠AOD的值为2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形网格的特点，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理是解决问题的关键．
5．（2026 深圳校级模拟）如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用和分别求出AD、DC长，再利用勾股定理求出BD长，从而求解BC的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，，
∴，
解得：AD＝4，
∴，
在Rt△ADC中，，
∴，
∴DC＝8，
∴BC＝BD+CD＝3+8＝11．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2026 响水县模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意构造出直角三角形，再结合余弦的定义进行计算即可．
【解答】解：连接AM，
由所给网格可知，AM⊥BC．
因为小正方形的边长为1，
所以AB，
BM．
在Rt△ABM中，
cosB．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知余弦的定义是解题的关键．
7．（2025秋 宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝　30°　 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可以得到∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，
∴sinA，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确特殊角的三角函数值．
8．（2026 天宁区校级一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点D，则tan∠ADC＝　2　 ．
【分析】根据所给网格，构造出合适的直角三角形，再结合正切的定义进行计算即可．
【解答】解：连接BM，
∵正方形网格的边长为1，
∴DM，BM．
在Rt△BDM中，
tan∠BDM2．
∵∠ADC＝∠BDM，
∴tan∠ADC＝tan∠BDM＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
9．（2025 罗湖区校级模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若，，则的值为　　 ．
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，过点B作BH⊥AC于点H，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，由正切函数得，设BH＝24a，AH＝7a，利用勾股定理分别求出AB＝AC＝25a，CH＝18a，BC＝30a，则BP＝CP＝15a，再求出BD＝10a，则CD＝20a，DP＝5a，AP＝20a，进而得，，根据∠ACP＝∠ECF得，设EF＝4k，CF＝3k，则CE＝5k，DF＝20a+3k，由正切函数，，即可求解．
【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AP⊥BC于点P，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，如图所示：
∴AP∥EF，
在Rt△ABH中，，
∴设BH＝24a，AH＝7a，
25a，
∴AB＝AC＝25a，
∴CH＝AC﹣AH＝25a﹣7a＝18a，
∴
＝30a，
∵AP⊥BC，
∴BP＝CP＝15a，
∵，
∴，
∴CD＝BC﹣BD＝30a﹣10a＝20a，
DP＝BP﹣BD＝15a﹣10a＝5a，
∴
＝20a，
∴，
∵∠ACP＝∠ECF，，
∴，
设EF＝4k，CF＝3k，
5k，
∴DF＝CD+CF＝20a+3k，
在Rt△APD中，，
在Rt△DEF中，，
∵AP⊥BC，DE⊥AD，
∴∠DAP+∠ADP＝90°，∠EDF+∠ADP＝90°，
∴∠EDF＝∠DAP，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键．
10．（2026 浙江模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点．
（1）求线段AD的长．
（2）求tan∠ABC的值．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用三角函数可计算出CE＝1，，计算出DE＝3，利用勾股定理计算出AD即可；
（2）利用正切函数的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
在Rt△ACE中，，CE＝AC cos∠C＝2×cos60°＝1，
∵BC＝8，点D是边BC上的中点，
∴，
∴DE＝CD﹣CE＝3，
在Rt△ADE中，；
（2）由（1）可知，，DE＝3，
∴BE＝BD+DE＝7，
在Rt△ABE中，．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11．（2025秋 淇滨区校级期末）如图，CD是△ABC中AB边上的高，点E是BC边上一点，，若CD＝9，．
（1）求AE的长；
（2）若AE＝BE，求tan∠ACD的值．
【分析】（1）过点E作EF⊥AB于点F，可证△BCD∽△BEF，根据相似三角形对应边成比例可得EF＝6，可得，根据正弦的定义可得，可以求出AE的长度；
（2）根据（1）可得：BE＝AE＝8，EF＝6，利用勾股定理可以求出BF的长度，根据等腰三角形的性质可以求出AF的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出BD的长度，从而可求AD的长度，根据正切的定义可求tan∠ACD的值．
【解答】解：（1）如图所示，过点E作EF⊥AB于点F，
∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB．
∴CD∥EF．
∴△BCD∽△BEF．
∵，
∴即，
解得EF＝6．
∵，
∴．
解得AE＝8．
（2）由（1）可得EF⊥AB，BE＝AE＝8，EF＝6，
∴．
∵AE＝BE，EF⊥AB，
∴．
∵EF∥CD，，
∴．
∴．
∴．
∴若AE＝BE，则．
【点评】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝4，DE＝3．
（1）求AB的长；
（2）求tanC．
【分析】（1）延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，证得∠ABC＝2∠F，于是得到∠F＝∠C，由等腰三角形的判定得到AF＝AC，根据等腰三角形的性质得到FD＝CD，由BE＝CE即可证得BE+DE＝AB+BD，再将BD＝4，DE＝3代入即可求解；
（2）根据勾股定理求出AD和CD的长，进一步求解即可．
【解答】解：（1）延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，
，
∵BF＝BA，
∴∠F＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠F+∠BAF，
∴∠ABC＝2∠F，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠F＝∠C，
∴AF＝AC，
∵AD⊥BC于点D，
∴FD＝CD，即FB+BD＝CE+DE，
∵BF＝BA，BE＝CE，
∴BE+DE＝AB+BD；
∵BD＝4，DE＝3，
∴（4+3）+3＝AB+4，
∴AB＝6．
（2）AD2，
DC＝DE+CE＝3+CE＝3+BE＝3+7＝10，
tanC．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点2】解直角三角形的应用（第13-21题）
· · 把实际物体抽象为直角三角形
· · 作辅助线（水平线、垂线）拆分图形
· · 多段折线分别解直角三角形
· · 参考数据按题目给定值计算
13．（2026 深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　）
A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40
C． D．
【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AD＝BE＝40cm，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AD＝BE＝40cm，
在Rt△BCE中，∠C＝50°，
∴BC（cm），
∴该椅子座垫高度还要升高的高度＝BC﹣BE＝（40）cm，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2026 深圳一模）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　）
A．50sin24°米 B．50cos24°米
C．米 D．米
【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°，
∴sinA，
∴BC＝50sinA＝50sin24°（米），
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2025 同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　）
A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα
C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα
【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．．
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°，
∴四边形AEOF是矩形，
∴AE＝FO，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∵∠BCO＝α，
∴∠CBO＝90°﹣α，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α，
在Rt△ABF中，FB＝AB cos∠ABF＝cosα，
在Rt△BOC中，BO＝BC sin∠BCO＝4sinα，
∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα，
∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
16．（2023秋 萨尔图区期末）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝55cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 　65　 cm．
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，然后求出EF的长度即可得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，
∵AC＝BD＝55，∠PCA＝∠BDQ＝30°，
∴AEAC，
由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝55+10＝65cm，
故答案为：65 cm．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．
17．（2026 长沙模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　5米　 ．
【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝30°，再由锐角三角函数定义求出AG＝2米，即可求解．
【解答】解：如图，过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，
∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝4米，
∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝30°，
在Rt△AOG中，AG＝AO sin30°＝42（米），
∴点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米），
故答案为：5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
18．（2026 科左中旗模拟）如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为∠1，液压杆AB与底盘OC的夹角为∠2．已知液压杆AB＝3m，某一工作时刻，∠1＝31°，∠2＝53°．此时AO的长为　2.2m （精确到小数点后一位，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【分析】过B点作BH⊥OC于H点，如图，在Rt△ABH中利用正弦的定义求出BH的长，再在Rt△ABH中利用余弦的定义求出AH＝1.8m，在Rt△OBH中利用正切的定义求出OH＝4m，然后计算OH﹣AH即可．
【解答】解：过B点作BH⊥OC于H点，如图，
在Rt△ABH中，
∵AB＝3m，
∴BH＝3×sin53°＝3×0.80＝2.4，
∴AH＝3×cos53°＝3×0.60＝1.8，
在Rt△OBH中，
∵∠1＝31°，，
∴，
∴OA＝OH﹣AH＝4﹣1.8＝2.2．
此时OA的长为2.2m．
故答案为：2.2m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
19．（2026 菏泽一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m．
（1）求下折臂DE的长；
（2）求路灯AB的高．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，
【分析】（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，由题意可得四边形HGCD是矩形，则HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，推出EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，因为∠CDE＝135°，则∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．在Rt△EHD中，；
（2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．根据EK∥HD，推出∠KED＝∠EDH＝45°．因为∠AED＝88°，则∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，根据GC＝HD＝3，BC＝2，得出BG＝5，由题意可得四边形EGBK是矩形，所以EK＝5，KB＝4.5，在Rt△AEK中，，则AK＝EK 0.93°≈5×0.93＝4.65．得出AB＝KB+AK．
【解答】解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，
∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，
∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．
∴在Rt△EHD中，，
答：下折臂DE的长约为4.2m．
（2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．
∵EK∥HD，
∴∠KED＝∠EDH＝45°．
∵∠AED＝88°，
∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，
∵GC＝HD＝3，BC＝2，
∴BG＝5，
由题意可得四边形EGBK是矩形，
∴EK＝5，KB＝4.5，
在Rt△AEK中，，
∴AK＝EK 0.93°≈5×0.93＝4.65．
∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）．
答：路灯AB的高约为9.2m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意正确推理计算．
20．（2026春 新城区期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路AB由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为120m、160m，公路总长AB＝200m，工程车周边120米范围为噪声影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若压路工程车行驶速度为每分钟60m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？
【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答；
（2）根据三角形面积公式求得CD的值，即可解答；
（3）在AB上取一点E，使CE＝120m，连接CE，求得AE的长即可解答．
【解答】解：（1）∵点C与直线AB上两点A，B的距离分别为120m和160m，AB＝200m，
∴AC2+BC2＝AB2，．
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°；
（2）学校C会受噪声影响，
理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，
根据三角形面积公式可得，
∴；
点C与公路上A、B两点距离分别为120m、160m，公路总长AB＝200m，工程车周边120米范围为噪声影响区域
∵压路工程车周围120m以内为受噪声影响区域，且96＜120，
∴学校C会受噪声影响；
（3）在AB上取一点E，使CE＝120m，连接CE，
∴CE＝AC＝120m，
∴当压路工程车在线段AE上时产生的噪声会影响学校．
∵CD⊥AB，
∴ED＝AD，
在Rt△CDA中，，．
∴AE＝2AD＝144m，144÷60＝2.4（分钟），
答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
21．（2026 川汇区校级模拟）（哪吒2）国内票房154.45亿，总观影人次3.24亿，共打破113项纪录，获得308项里程碑成就收官，其中影片中出现的万郁华严经塔受到了广大影迷的关注．万郁华严经塔，俗称“白塔”，位于内蒙古自治区，素有“白塔耸光”的美誉，它为八角七级砖木结构楼阁式塔，对研究北方民族史和地方史具有重要价值．呼和浩特某中学数学兴厚小组欲测量白塔的高度，测量过程如下．
步骤1：把长为1.5m的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线BD于点Q，测得QD＝2m；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移17.5m到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得∠APB＝32°．（以上数据均为近似值，参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6，结果精确到1m）
请你根据测量信息，求白塔的大致高度AB．
【分析】根据题意可得：EF＝CD＝1.5m，DF＝17.5m，在Rt△PEF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，然后设BD＝xm，则BP＝（20+x）m，QB＝（2+x）m，在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再正面A字模型△QCD∽△QAB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：EF＝CD＝1.5m，DF＝17.5m，
在Rt△PEF中，∠P＝32°，
∴PF2.5（m），
设BD＝xm，则BP＝PF+DF+DB＝2.5+17.5+x＝（20+x）m，QB＝QD+BD＝（2+x）m，
在Rt△ABP中，AB＝BP tan32°≈0.6（20+x）m，
∵CD⊥BP，AB⊥BP，
∴∠ABP＝∠CDQ＝90°，
∵∠CQD＝∠AQB，
∴△QCD∽△QAB，
∴，
∴，
解得：x＝70，
经检验：x＝70是原方程的根，
∴AB＝0.6（20+x）＝54（m），
∴白塔的大致高度AB约为54m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平移的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【考点3】坡度坡角问题（第22-26题）
· · 坡度i＝h：l，设比例系数k
· · 斜坡长s＝
· · 物体升降高度即铅直高度h
· · 多段斜坡分段求解
22．（2025秋 芜湖期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了　20　 米．
【分析】设汽车竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设汽车竖直方向上升的高度为x米，
∵斜坡的坡度i＝1：2，
∴汽车前进的水平宽度为2x米，
有勾股定理得：x2+（2x）2＝1002，
解得：x＝20（负值舍去），
则汽车竖直方向上升的高度为20米，
故答案为：20．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
23．（2026 兴城市一模）春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线AB长51m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为　31　 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】直接根据进行计算即可．
【解答】解：如图，已知风筝线AB长51m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝51m，∠ABC＝37°，
∴，
∴AC＝AB sin37°≈51×0.6＝30.6≈31（m）．
故答案为：31，
【点评】本题解直角三角形，正确进行计算是解题关键．
24．（2025秋 桃源县期末）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为90cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到135°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　18.5　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.41）
【分析】过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点N、点M，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点N、点M，
在Rt△AE′M中，AE′＝90cm，∠E′AB＝135°，
∴∠E′AM＝180°﹣∠E′AB＝45°，
∴AM＝E'MAE'＝45（cm），
在Rt△AEN中，AE＝80cm，∠EAN＝180°﹣150°＝30°，
∴ENAE＝45（cm），
∴E'M﹣EN＝（4545）（cm）≈18.5cm，
即椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约18.5（cm）．
故答案为：18.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
25．（2026 常州校级模拟）图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质求出ED的长度；
（2）根据正弦的定义求出GF，根据正切的定义求出EF，进而求出此运动员的身高．
【解答】解：（1）在Rt△EDM中，∠EMD＝30°，EM＝0.8m，
则DEEM0.8＝0.4（m），
答：此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m；
（2）∵GD＝1.04m，DE＝0.4m，
∴GE＝GD﹣DE＝1.04﹣0.4＝0.64（m），
在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，
∵sin∠GFE，tan∠GFE，
∴GF0.8（m），EF0.48（m），
∴GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m），
答：此运动员的身高约为1.68m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．（2026 天桥区三模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图①，驾驶员的眼睛位于点P处，PB和PE为驾驶员看向汽车两侧的视线，△ABC，△FED为汽车两侧的盲区截面图．
图②为示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝35°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝12°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE，垂足分别为C，D，AC＝1.12m．
（1）求盲区中线段BC的长．
（2）已知点H在线段ED上，HD＝2m，在H处有一个高度为0.6m的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．
（参考数据：sin35°≈0.6，tan35°≈0.7，cos12°≈0.9，tan12°≈0.2）．
【分析】（1）根据题意，在Rt△ACB中求出BC长即可；
（2）根据题意，求出H处视线PE的高度h，与障碍物的高度相比较，即可得到结果．
【解答】解：（1）∵AC⊥BE，∠ABC＝35°，
∴在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1.12m，tan∠ABC，
∴BC1.6（m），
答：盲区中线段BC的长约为1.6米；
（2）∵FD⊥BE，∠FED＝12°，
∴在Rt△FDE中，∠FDE＝90°，FD＝AC＝1.12m，
∴ED5.6（m），
∵H在ED上，HD＝2m，
∴EH＝ED﹣HD＝5.6﹣2＝3.6（m），
∵在Rt△MEH中，∠MHE＝90°，EH＝3.6m，∠FED＝12°，
∴H处视线PE的高度h＝EH tan∠FED＝3.6×tan12°≈0.72（m），
∵障碍物高0.6m＜0.72m，
∴障碍物在盲区△FED内，
∴驾驶员不能看到障碍物．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【考点4-5】仰角俯角与方向角（第27-36题）
· · 仰角俯角：过观测点作水平线
· · 两个仰角常列方程求未知距离
· · 方向角：画方向标，作南北/东西垂线
· · 航海问题注意方位角转换
27．（2026 南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解．
【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m，
∴∠CBD＝∠NCB＝30°，∠CAD＝∠MCA＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴，，
∴．
故答案为：（120+120）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
28．（2026 浙江一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　89.28　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
【分析】作AD⊥BC，分别解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD，BD的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【解答】解：作AD⊥BC，由题意，AD＝36米，∠CAD＝37°，∠DAB＝60°，
在Rt△ADC中，CD＝AD tan37°≈36×0.75＝27（米），
在Rt△ADB中，（米），
∴BC＝BD+CD＝89.28；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
29．（2026 滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面）
（1）求路段BQ的长；
（2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
【分析】（1）求出∠PBQ＝53°，再由锐角三角函数定义求出BQ的长即可；
（2）过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，则四边形ACQD是矩形，得AD＝CQ，DQ＝AC，设AC＝x米，则BC＝3x米，由勾股定理求出ABx米，则PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，进而求出∠PAD＝27°，再由锐角三角函数定义求出AD≈（32﹣2x）米，然后由AD＝CQ列出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°，
∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠PBQ＝53°，
∵tan∠PBQ＝tan53°，
∴BQ12（米），
答：路段BQ的长约为12米；
（2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，
则四边形ACQD是矩形，
∴AD＝CQ，DQ＝AC，
∵引桥坡度i＝1：3，
∴，
设AC＝x米，则BC＝3x米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米），
∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，
∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°，
∴∠APD＝90°﹣27°＝63°，
∵∠ADP＝90°，
∴∠PAD＝27°，
∵tan∠PAD＝tan27°，
∴AD（32﹣2x）（米），
∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米，
∴3x+12＝32﹣2x，
解得：x＝4，
∴ABx≈12.8（米），
∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h，
∵23.04km/h＜30km/h，
∴小汽车没有超速．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
30．（2026 响水县模拟）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．
（参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7）
（1）求塔干OD的长度；
（2）求风叶OA的长度．（精确到1米）
【分析】（1）根据题意可得：OD⊥DE，然后在Rt△ODE中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，即可解答；
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，从而可得∠AOG＝30°，然后设DF＝OG＝x米，则EF＝（200﹣x）米，分别在Rt△AOG和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：OD⊥DE，
在Rt△ODE中，∠OED＝37°，DE＝200米，
∴OD＝DE tan37°≈0.75×200＝150（米），
∴塔干OD的长度约为150米；
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，
由题意得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，
设DF＝OG＝x米，则EF＝DE﹣DF＝（200﹣x）米，
在Rt△AOG中，AG＝OG tan30°x（米），
在Rt△AEF中，∠AEF＝59°，
∴AF＝EF tan59°≈1.7（200﹣x）米，
∵AF﹣AG＝FG，
∴1.7（200﹣x）x＝150，
解得：x≈82.6，
∴OG≈82.6米，
在Rt△AOG中，AO97（米），
∴风叶OA的长度约为97米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五．考点4：方向角问题（共6小题）
31．（2025秋 龙华区期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km，则C岛和A港之间的距离（　　）
A． B． C． D．8km
【分析】根据题意，利用勾股定理求出BD的长度，再求出CD的长度，再用勾股定理求出AC的长度即可．
【解答】解：由题意，得：AB＝10km，AD＝6km，
Rt△ABD中，，
由BC＝13km，
∴CD＝BC﹣BD＝5km，
Rt△ACD中，，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解直角三角形的应用—方向角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
32．（2025秋 莱阳市期末）如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4千米处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【分析】过点B作BD⊥OC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，由勾股定理和锐角三角函数定义分别求出AE、BE的长，再求出OB的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4千米，
∴AE＝BEAB＝2（千米），
在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，∠AOE＝30°，
∴OE2（千米），
∴OB＝OE+BE＝（22）千米，
在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠BOD＝30°，
∴BDOB＝（）（千米），
即船A离灯塔B的最近距离是（）千米，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
33．（2024春 江岸区校级月考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向上，B港口在货轮的北偏西70°方向，则此时货轮与A港口的距离为 　141　 海里．（结果取整数）（sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，）
【分析】作BD⊥AC于点D，分别解直角三角形求出AD、DC即可得到答案．
【解答】解：作BD⊥AC于点D，
由题知，∠BAD＝25°+25°＝50°，∠BCD＝70°﹣25°＝45°，AB＝100海里，
∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴BD＝AB sin50°≈100×0.766＝76.6海里，
AD＝AB cos50°≈100×0.643＝64.3海里，
∴货轮与A港口的距离为76.6+64.3＝140.9≈141海里．
故答案为：141．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形性质，方向角，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
34．（2026 抚顺校级模拟）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在其北偏西45°方向上，A在其北偏东30°方向上，测得A，C之间的距离为100米，则A，B之间的距离为　137　 米．（结果精确到1米．参考数据：，）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中，求出BD的长度，继而可求得AB的长度．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵AC＝100米，∠ACD＝30°，
∴（米），
（米），
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，
∴（米），
∴（米），
即A，B之间的距离约为137米．
故答案为：137．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
35．（2025秋 重庆校级期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西30°方向，E在D的南偏东75°方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，AC＝2BC．（参考数据：，，）
（1）求DC的长度；（结果保留根号）
（2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1）
【分析】（1）过点E作EF⊥CD于点F，分别利用锐角三角函数比求出DF，CF的长即可；
（2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可．
【解答】解：（1）如图，D在C的南偏西60°方向，米，过点E作EF⊥CD于点F，
∴∠ECD＝60°，∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝30°，
∴∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝75°﹣30°＝45°，
∴（米），
∴（米），（米），
∴（米）；
（2）∵AC＝2BC，∠B＝90°，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，∠DAC＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°，则∠ADC＝30°，
∴（米），（米），
∵小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，
∴小聪所用时间为：（分钟），
小明所用的时间为：（分钟），
∵10.5＜11.7，
∴小明先到达景点D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
36．（2025秋 开福区校级期末）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向．
（1）求CD的距离；
（2）求AC的距离（结果保留根号）．
【分析】（1）根据方向角的定义得出∠BDA＝∠BAD＝45°，∠DAC＝30°，∠FDC＝60°，利用三角函数的定义求出AD＝200，利用外角的性质得出∠DAC＝∠ACD＝30°，根据等角对等边即可得答案；
（2）过点C作CE⊥AD于E，根据三角函数求出海里，再根据，含30°角的直角三角形的性质求出AC的长即可．
【解答】解：（1）如图所示：
∠BDA＝∠BAD＝45°题意可得，（海里），∠BDA＝∠BAD＝45°，
∴∠B＝90°，
∴（海里），
∵目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向，
∴∠DAC＝30°，∠FDC＝60°，
∴∠ACD＝∠FDC﹣∠DAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴CD＝AD＝200（海里）．
（2）如图，过点C作CE⊥AD于E，
∵CD＝200海里，∠FDC＝60°，
∴（海里），
∵∠DAC＝30°，
∴（海里）．
【点评】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
随堂检测
【练习 1】（2026 拱墅区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，在Rt△ABC中，根据tan∠CAB，设BC＝a，则AC＝3a，证明△ACE和△ECB相似得CE，证明△CFD是等腰直角三角形DECF＝DF，由勾股定理得DCCF，在Rt△ADF中，根据tan∠CAB得CF，进而得DCCF，据此可得的值．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠CAB，
∴tan∠CAB，
设BC＝a，则AC＝3a，其中a＞0，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
点E为DC延长线上的一点，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝135°，∠ECB＝180°﹣∠BCD＝135°，
∴∠ACE＝∠ECB＝135°，
在△ACE和△ECB中，
∠EAC＝∠BEC，∠ACE＝∠ECB＝135°，
∴△ACE∽△ECB，
∴，
∴，
∴CE，
在△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝∠ACD＝45°，
∴△CFD是等腰直角三角形，
∴CF＝DF，
由勾股定理得：DCCF，
在△ADF中，∠AFD＝90°，AF＝AD﹣CF＝3a﹣CF，
∴tan∠CAB，
∴CF，
∴DCCF，
∴．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行进行计算是解决问题的关键．
【练习 2】（2026 龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　）
A．50tanαm B． C．50sinαm D．
【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m，
由三角函数可得：．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解．
【练习 3】（2025秋 浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　）
A．5米 B．10米 C．12米 D．13米
【分析】过点B作BC垂直地面于点C，设BC＝x米，则AC＝2.4x米，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，过点B作BC垂直地面于点C，
由题意可得：，
设BC＝x米，则AC＝2.4x米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即x2+（2.4x）2＝262，
解得：x＝10，
∴物体离地面的高度为10米，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，知道坡比的定义是解题的关键．
【练习 4】（2026 罗湖区校级三模）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　）
A．2m B．4m C． D．
【分析】根据题意可得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，从而可得∠EOC+∠ECO＝90°，再利用平角定义可得∠FOB+∠EOC＝90°，从而可得∠FOB＝∠ECO，进而可得∠α＝∠ECO，再利用对顶角相等可得∠EOD＝∠α，从而可得，然后分别在Rt△ECO和Rt△EOD中，利用锐角三角函数的定义求出EC和ED的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，
∴∠EOC+∠ECO＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∴∠α＝∠ECO，
∵∠EOD＝∠α，
∴，
在直角三角形ECO中，OE＝3m，
∴，
在直角三角形EOD中，，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
【练习 5】（2024 西安校级一模）如图，在坡度为i＝3：4的山坡上种树，已知∠C＝90°，相邻两树A、B的坡面距离为10米，则两树的水平距离AC为 　8　 米．
【分析】根据坡度比可得，设AC＝4xm，BC＝3xm，由勾股定理得102＝（3x）2+（4x）2，解方程即可得到答案．
【解答】解：由题意得，，
设AC＝4xm，BC＝3xm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，
∴102＝（3x）2+（4x）2，
解得x＝2，
∴AC＝4x＝8米，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【练习 6】（2026 硚口区模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是　130　 海里（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83）．
【分析】首先根据题意得出∠APC＝90°﹣65°＝25°，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：如图，在Rt△APC中，∠APC＝90°﹣65°＝25°，
∴PC＝PA sin∠APC≈80×0.91＝72.8．在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∴（海里），
即：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里．
故答案为：130．
【点评】此题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．
【练习 7】（2025秋 松江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，，点D在边BC上，且∠ADC＝120°．
（1）求BD的长；
（2）求∠CAD的余弦值．
【分析】（1）如图，过点A作AH⊥BD于点H．解直角三角形求出BH，DH可得结论；
（2）过点D作DJ⊥AC于点J．想办法求出AJ可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BD于点H．
∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，
∴AH＝BHAB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADH＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∴DHAH＝1，
∴BD＝BH+DH＝1；
（2）过点D作DJ⊥AC于点J．
∵∠AHD＝90°，∠DAH＝30°，
∴AD＝2DH＝2，
∵AC，
∴CH2，
∴CD＝CH﹣DH＝1，
∵ AC DJ CD AH，
∴DJ，
∴AJ，
∴cos∠CAD．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
【练习 8】（2025秋 长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出CF，AF，再根据正切的定义可得答案；
（2）先根据锐角三角函数求出，即可勾股定理求出CD，再证明△ABD∽△ECD，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴，
∴在Rt△ACF中，，
∴；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△ACF中，，
∴在Rt△BDC中，，
∴，
∴，
又∵∠BAD＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，即，
∴EC．
【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键．
【练习 9】（2026 汝南县三模）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1．
测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β．
实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．
问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β．
（2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）．
【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5米，GQ＝HR＝12米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：延长OD交PK于L，
由题意得：OL⊥PK，
∴∠OLP＝90°，
∵∠POD＝α，
∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α，
∴β＝90°﹣α；
（2）延长GQ交EF于点M，
由题意得：GQ＝HR＝12m，GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5m，
设EM＝x米，
在Rt△EGM中，∠GEM＝60°，
∴（米），
在Rt△EQM中，∠QEM＝45°，
∴QM＝EM tan45°＝x（米），
∵GM﹣QM＝GQ，
∴，
解得：，
∴米，
∴米，
∴大楼EF的高度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 解直角三角形关键：先确定直角，再选对三角函数
· · 非直角三角形必作高，拆成两个直角三角形
· · 坡度问题设比例系数k，用勾股定理列方程
· · 仰角俯角问题过观测点作水平线，分别解两个直角三角形
· · 方向角问题画方向标，注意方位角之间的转换
【作业 1】（2025秋 乐陵市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据正切的定义，设AC＝12x，BC＝5x，勾股定理得到AB＝13x，再根据正弦的定义，进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴设AC＝12x，BC＝5x，
∴，
∴；
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键．
【作业 2】（2026 张家口模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为（2，m），且OP与x轴正半轴夹角的正切值为2，则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，则有OA＝2，PA＝m，然后通过，再求出m的值即可．
【解答】解：如图所示，过P作PQ⊥x轴，
在Rt△OPQ中，tanα2，且P（2，m），
∴，
解得：m＝4，
∴点P（2，4），
根据勾股定理得：，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，熟记以上知识点是解题的关键．
【作业 3】（2024秋 闵行区期末）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　）
A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5
【分析】过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质求出BE，根据题意求出AE，再根据坡比的概念计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，
则四边形BEDC为矩形，
∴BE＝CD＝2米，
由题意得：AE＝7﹣2﹣1＝4（米），
∴斜坡AB的坡比是：BE：AE＝2：4＝1：2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【作业 4】（2026 龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为　1　 ．
【分析】如图标记格点E，连接AD，BD，则，由此可得∠DAB＝∠CDE，所以∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，根据外角定理可得∠AOC＝∠ADE＝45°即可解答．
【解答】解：
方法一：如图标记格点E，连接AD，BD，
设小正方形的边长均为1，
∴，，
∵∠ADB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴，
∵，
∴∠DAB＝∠CDE，
∴∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，
∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∠ADE＝∠CDE+∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝∠ADE＝45°，
∴tan∠AOC＝1．
方法二：如图可得，Rt△AHB为等腰三角形，
∴∠HAB＝45°，
∵AC∥HD，AC＝HD，
∴四边形ACDH是平行四边形，
∴AH∥DC，
∴tan∠AOC＝tan∠HAB＝tan45°＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角函数，明确“等角的三角函数值相等”是解题的关键．
【作业 5】（2026 武昌区一模）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝90m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解．
【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝90m，
∴∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．
【作业 6】（2026 通许县一模）从2025年春晚机器人“秧BOT”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武BOT”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻…这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC、手臂CD使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE．（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【分析】（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，根据三角函数求出CQ，根据DE＝CP＝CQ+PQ即可得解；
（2）根据勾股定理求出当点B、C、D三点共线时AD，比较AD与AM大小关系，即可得解．
【解答】解：（1）如图2，过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，则∠ABQ＝∠BQC＝90°，
由题意得：四边形CDEP，ABQP都是矩形，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBQ＝143°﹣90°＝53°，
在Rt△BCQ中，BC＝70cm，
∴CQ＝BC sin53°≈70×0.8＝56（cm），
∵CD∥l，PQ＝AB＝50cm，
∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106（cm），
答：手臂端点D离操作台l的高度DE约为106cm；
（2）手臂端点D能碰到点M．理由如下：
如图3，
当B、C、D三点共线时，BD＝60+70＝130（cm），AB＝50cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD120（cm），
∵120cm＞110cm，
∴手臂端点D能碰到点M．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【作业 7】（2026 东莞市二模）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
【分析】（1）由题意得∠ABN＝45°，再根据锐角三角函数求出∠OBD即可求解；
（2）过点C作CE⊥OD于E，解Rt△OEC和Rt△OEC求出CE、BN的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解．
【解答】解：（1）∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°，
∴∠ABN＝45°，
∴，
∴∠OBD＝66.4°，
∴∠ABO＝180°﹣45°﹣66.4°＝68.6°；
（2）在规定范围内，理
过点C作CE⊥OD于E，则∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝90°，∠OBD＝66.4°，
∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝90°﹣66.4°＝23.6°
∴∠COE＝90°﹣∠BOD＝90°﹣23.6°＝66.4°，
∴CE＝OC sin∠COE≈25×0.92＝23cm，
∵∠NAB＝45°，AB＝40cm，
∴，
∴此时手绢端点C与舞者距离为100﹣（28.28+12+23）≈36.7cm，
∵安全距离范围为30 40cm，
∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【作业 8】（2026 惠城区校级一模）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝9cm，BC＝38cm，∠ABC＝24°．（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
（1）如图2，∠BCE＝　114　 度；
（2）如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm）
（3）如图3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为0.7cm，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度．
【分析】（1）易得∠CBF的度数，进而根据平行线的性质可得∠BCE的度数；
（2）根据BC的长和∠ABC的正弦值可得CG的长；
（3）作ME⊥CD于点E，易得∠CME＝24°，进而根据CE长和∠CME的正切值可得ME的长度，加上杯托的深度即为乘客水杯的最大深度．
【解答】解：（1）由题意得：AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠CBF＝90°﹣24°＝66°，
∵CD∥BF，
∴∠BCE＝180°﹣66°＝114°，
故答案为：114；
（2）延长DC交AB于点G，则∠BGC＝90°，
∵BC＝38cm，∠ABC＝24°，
∴CG＝38×sin24°≈38×0.41≈15.6（cm）．
答：点C到靠背AB的距离约为15.6cm；
（3）作ME⊥CD于点E，则∠MEC＝90°，
∵CD∥BF，
∴∠ACD＝∠CBF＝66°，
∴∠CME＝90°﹣66°＝24°，
∵CE＝9cm，
∴ME20（cm），
∵杯托凹陷深度为0.7cm，
∴乘客水杯的最大高度为20.7cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形，利用相应的三角函数解决问题是解决本题的关键．
【作业 9】（2025秋 闵行区期末）如图，有一块由四条小路AB、BC、CD和DA围成的绿地，其中AB长160m，BC长100m，CD长100m，DA长120m，∠A＝90°．
（1）求绿地ABCD的面积（结果保留根号）；
（2）计划在绿地内部建一座凉亭，希望凉亭（用一个点M来表示）到四个路口（即点A、B、C和D）的距离都相等，小海同学认为连接BD，线段BD的中点就是凉亭M的位置，你同意他的观点吗？如果同意，试证明点M到点A、B、C、D的距离都相等；如果不同意，请说明理由．
【分析】（1）连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积＝直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．
（2）根据直角三角形的性质得出点M到点A、B、C、D的距离都相等即可．
【解答】解：（1）连接BD．如图所示：
∵∠A＝90°，AB长160m，DA长120m，
∴BD（m），
在△BCD中，∵BC＝100m，CD＝100m，BD＝200m，
∴BC2+DC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形．
∴ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD
＝9600+500（平方米）；
即绿地ABCD的面积为9600+500平方米；
（2）线段BD的中点是凉亭M的位置，理由如下：
连接BD，MA，MC，
∵在Rt△DAB中，M是BD的中点，
∴AM＝DM＝BM，
∵在Rt△DCB中，M是BD的中点，
∴CM＝DM＝BM，
∴AM＝DM＝BM＝CM，
即点M到点A、B、C、D的距离都相等．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出BD的长．
【作业 10】（2025秋 徐汇区期末）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m．
（1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．）
【分析】（1）依据题意，过B点作BM⊥AD于M，在Rt△ABM中，cosα，则sinα，故BM＝ABsinα＝3.93.6（m），从而得解；
（2）依据题意，在Rt△ABM中，AM＝AB cosα＝1.5m，则MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m），又C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P，故BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m，则EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m），在Rt△CEF中，CE＝EF tan70°≈1×2.747＝2.747（m），可得BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753（m），要确保DF≥2.6m，求得BC＝0.76．
【解答】解：（1）过B点作BM⊥AD于M，
在Rt△ABM中，cosα，
∴sinα，
∴BM＝ABsinα＝3.93.6（m）．
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.6m；
（2）如图，在Rt△ABM中，AM＝AB cosα＝1.5m，
∴MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m），
过C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P，
∴BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m，
∴EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m）．
在Rt△CEF中，CE＝EF tan70°≈1×2.747＝2.747（m），
∴BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753，
∵DF≥2.6m，
∴BC至少要0.76m才能确保遮阳效果．
答：档板BC至少要0.76m才能确保遮阳效果．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
【作业 11】（2026 大庆模拟）如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i＝1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，1.41）
（1）求点D到FC的距离；
（2）求塔AB的高度．（结果精确到0.1米）
【分析】（1）过D点作DM⊥BF于M点．如图，根据坡度的定义得到，设DM＝x，CMx，则CD＝2x，所以2x＝10，解方程得x＝5（米），从而得到点D到FC的距离；
（2）过D点作DH⊥AB于H点，如图，易得四边形DMBH为矩形，则BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC，在Rt△ADH中利用∠ACB＝45°得到BC＝AB＝AH+5，则DH＝AH+5+5，在Rt△ADH中利用正切的定义得到AH＝DH tan31°，即AH＝0.6（AH+5+5），然后解方程求出AH，最后计算AH+BH即可．
【解答】解：（1）过D点作DM⊥BF于M点．如图，
∵斜坡CE的坡度i＝1：，
∴，
设DM＝x，CMx，
∴CD2x，
即2x＝10，
解得x＝5（米），
∴DM＝5米，CM＝5米，
答：点D到FC的距离为5米；
（2）过D点作DH⊥AB于H点，如图，
∵∠DMB＝∠DHB＝∠HBM＝90°，
∴四边形DMBH为矩形，
∴BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC，
在Rt△ADH中，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝AH+5，
∴DH＝BC+CM＝AH+5+5，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH，
∴AH＝DH tan31°，
即AH＝0.6（AH+5+5），
解得AH≈20.475（米），
∴AB＝AH+BH＝20.475+5≈25.5（米）．
答：塔AB的高度为25.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解仰角俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．也考查了坡度．
【作业 12】（2024 闵行区）诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员．
如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是0.2米，即PQ＝MN＝0.2米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线AD经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．AB⊥DC于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离AB＝4米，光线和行驶路线的夹角∠BDA＝11.4°，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据：tan11.4°）
（1）BD的长度是多少米？
（2）相邻遮光板的距离PM是多少米？
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义求解即可；
（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，中轴线l与AB交于点O，然后根据平行线的性质求出PE的长，再根据矩形的判定与性质求出AF以及QF的长，最后根据平行线的性质，求出tan∠PMQ，从而可以求出PM．
【解答】解：（1）tan∠BDA，
∴BD＝5AD＝20（米）；
（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，中轴线l与AB交于点O，如图：
∵AB⊥BC，
∴BD∥PE∥QF，
∴∠EPA＝∠BDA，
∵EF∥PQ，
∴四边形EFQP为矩形，
∴EF＝PQ，PE＝QF，
∵O是AB中点，也是EF的中点，
∴AE＝AO+OE＝2+0.1＝2.1米，AF＝AO﹣OF＝2﹣0.1＝1.9（米），
∴PE＝5AE＝10.5米，
∴tan∠FQA，
∵PM∥QF，
∴∠PMQ＝∠FQA，
∴PM0.2（米）．
答：相邻遮光板的距离PM是米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，正确理解锐角三角形正切的定义是本题解题的关键．
【作业 13】（2026 广东一模）如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°．
（1）在图2中，∠BCD＝　127°　 ；
（2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm．
①∠ACD＝　53　 °；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，
【分析】（1）过点B作BF∥CD，由平行线的性质得出∠BCD+∠CBF＝180°，由已知条件得出∠CBF＝57°，进而可求出∠BCD；
（2）①根据题意可知∠ACD＝180°﹣∠BCD代入计算即可；
②过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．求出EF，GF，再加上0.7cm减去1cm即可求出答案．
【解答】解：（1）过点B作BF∥CD，
∴∠CBF+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝37°，
∴∠CBF＝90°﹣37°＝53°，
∴∠BCD＝180°﹣53°＝127°，
故答案为：127°；
（2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，
由（1）知∠BCD＝127°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝53°，
故答案为：53°；
②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．
在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈1520（cm），
在Rt△FGH中，FG1（cm）
乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
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