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(共37张PPT)
第1章 有理数
1.6.1 有理数的乘方
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
借助正方形、正方体实例抽象出乘方概念，认识底数、指数符号，发展符号意识与几何直观。
01
会进行有理数乘方运算，通过探究归纳乘方符号规律，提升运算能力与推理意识。
02
能用乘方表示实际问题，建立乘方模型，运用乘方解决实际问题，发展模型与应用意识。
03
02
新知导入
如图（1），边长为5的正方形，它的面积是5×5=25，5×5可记作52.
如图（2），棱长为2的正方体，它的体积是2×2×2=8，2×2×2可记作23.
03
新知讲解
探究一
有理数的乘方
1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
a·a · a · … · a=an
n个
2.乘方各部分名称：在乘方运算an中，a叫作底数，n叫作a的幂的指数，简称指数。 an读作a的n次方， an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。
an
指数
幂
底数
03
新知讲解
探究一
有理数的乘方
3.乘方的几何引入：例如：在幂52中，底数是5，指数是2，52读作5的2次方（或5的平方）或5的2次幂；23读作2的3次方（或2的立方）或2的3次幂。
4.一个数的一次方，就是这个数本身，例如61就是6，指数1通常省略不写。
04
典例分析
例1
计算
（1）（-4）3；（2）（-2）4.
解 （1）（-4）3=（-4）×（-4）×（-4）=_____.
（2）（-2）4=_____________________________=_____.
用计算器按下列顺序计算：
按键顺序 显示
-64
16
-64
（-2）×（-2）×（-2）×（-2）
16
03
新知讲解
探究一
有理数的乘方
3.乘方的几何引入：例如：在幂52中，底数是5，指数是2，52读作5的2次方（或5的平方）或5的2次幂；23读作2的3次方（或2的立方）或2的3次幂。
4.一个数的一次方，就是这个数本身，例如61就是6，指数1通常省略不写。
5.乘方运算的法则：求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号。
6.计算器进行乘方运算：输入括号、底数、指数、等号，可快速算出乘方结果。
03
新知讲解
拉面师傅制作拉面时，按对折、拉伸的步骤，重复多次，如图所示：
（1）先用乘法计算拉12次得到的面条数，再改用计算器计算幂，这两种方法哪种算得快？
（2）如果拉面师傅每次都将面条的长度拉伸到0.8m，那么拉12次后，得到的面条总长是多少米？
交流
（1）每次对折拉伸，面条数量就乘2。拉12次，用乘法：2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=4096；用乘方：212=4096。
连乘要一步步多次计算，用计算器算幂的方法更快。
（2）拉12次后一共有212=4096根面条，每根长0.8m。4096×0.8=3276.8（m）。因此面条一共长3276.8m。
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
【解析】本题主要考查了乘方的意义．根据乘方表示几个相同的数的积即可解答．
【详解】解：23=2×2×2，即23表示的意义是个相乘．故选：B
1.23表示的含义是（ ）
A．3个2相加 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．2个3相乘
B
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
A
2.计算2+2+2+ +2+4×4×4× ×4的结果是（ ）
A．2m+4n B．m2+4n C．2m+4n D．2m+n4
m
n
【解析】本题考查有理数的乘法，有理数幂，根据加法和乘法的关系，有理数幂的定义，进行求解即可．
【详解】解：2+2+2+ +2+4×4×4× ×4= 2m+4n；故选：A．
m
n
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
【解析】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、化简多重符号
【详解】解：A 、 （ 3）=3≠ 3，故A不符合题意；
B、（ 2）2=4， 22= 4，4≠ 4， 故B不符合题意；
C、 | |= ， （+）= ， = ，故C符合题意；
D、当a<0时，|a|= a≠a，故D不符合题意．
故答案为C
3.下列各组数相等的是（ ）
A． （ 3）和 3 B．（ 2）2与 22 C． | |和 （+） D．|a|与a
C
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
【解析】先根据相反数、绝对值、乘方的运算法则化简每个式子，再根据负数的定义统计负数的个数即可.
【详解】解：∵ ( 7)=7，结果为正数；∵ ( 7)2= 49，结果为负数；∵ | 7|= 7，结果为负数；∵( 7)2=49，结果为正数；∴负数共有2个.
故答案为C
4.在 （ 7）， （ 7）2， | 7|，（ 7）2中，负数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
【解析】根据绝对值和乘方的性质求出a和b的值，再根据ab>0得到a和b同号，分类讨论求出 2ab的值．
【详解】解：∵| a|=2,b2=25，∴a=±2,b=±5，∵ab>0，∴a和b同号，当a=2,b=5时， 2ab= 2×2×5= 20;当a= 2,b= 5时， 2ab= 2×( 2)×( 5)= 20;综上， 2ab的值为 20，
故选：A．
1.已知| a|=2，b2=25，且ab>0，则 2ab时值为（ ）
A． 20 B．±10 C．20 D．±20
A
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.下列关于有理数的说法中，正确的说法的个数是（ ）
①只有正数的绝对值等于它本身；
② 28的底数是 2；
③若a、b互为相反数，且ab≠0，则= 1；
④若m是有理数，则m+|m|不可能是负数；
⑤除以一个数，等于乘这个数的倒数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
【解析】本题考查了有理数的相关概念，以及有理数的运算．逐一判断每个说法的正误即可．
【详解】解：①∵0的绝对值等于它本身，但0不是正数，∴①错误；②∵ 28的底数是2，不是 2，∴②错误；③∵a、b互为相反数，∴a= b，又∵ab≠0，∴b≠0，∴== 1，∴③正确；④当m≥0时，m+|m|=2m≥0；当m<0时，m+|m|=m+（ m）=0，∴m+m≥0，不可能是负数，∴④正确；⑤∵除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，∴⑤错误；综上，正确说法的个数是2个．
故选：A．
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
【解析】本题考查乘方的应用，理解题意是解题关键．根据题意，n+2级地震释放的能量是n级地震的1000倍，即103倍．6级地震与2级地震的震级差为4级，但能量关系基于每2级差103倍，因此需分两步计算．
【详解】解：∵n+2级地震释放的能量大约是n级地震的1000倍，即103倍，∴6级地震释放的能量大约是4级地震的103倍，4级地震释放的能量大约是2级地震的103倍，∴6级地震释放的能量大约是2级地震的103 × 103 = 106(倍)．故答案为： 106．
3.地震震级是划分震源放出的能量大小的等级，（n+2）级地震释放的能量大约是n级地震的1000倍，则6级地震释放的能量大约是2级地震的_____倍．
106
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么．
(1)( 2)×( 2)×( 2)
(2)×××
(3)m m m m
2n个
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
【解析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．an表示n个a相乘．三小题均首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可。
【详解】（1）解：（-2）×（-2）×（-2）=（-2）3，底数是-2，指数是3.
（2） ×××=（）4
(3)m m m m=m2n,底数是m，指数是2n.
2n个
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
1.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
(1)一个细菌在分裂n次后，数量变为_____个．
(2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有_____个细菌．
(3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
【解析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数．
（1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得；
（2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得；
（3）先算出两个小时后的数量是1000×210=1000×25×25=32000×32，计算可得答案．
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个；
（2）解：∵60÷12=5，
∴1小时后，盘子里有1000×25=32000个细菌；
（3）解：∵2×60÷12=10，
∴两个小时后的数量是1000×210=1000×25×25=32000×32，
∴两个小时后的数量是1小时后的（32000×32）÷32000=32（倍）．
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
2.【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如2÷2÷2，（ 3）÷（ 3）÷（ 3）÷（ 3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（ 3）÷（ 3）÷（ 3）÷（ 3）写作（ 3）④，读作“（ 3）的圈4次方”
【初步探究】（1）直接写出计算结果：（-）②=_____，3③=_____；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算．
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式.
（ 3）④=_____；（-）⑩=_____，a =_____
（3）请利用（2）中结论计算：92÷（-）④×（-）③ （-）④÷34
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
【解析】本题考查有理数的乘方，新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据题意，可以计算出所求式子的值；（2）根据题意，可以计算出所求式子的值；（3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算加减法即可．
【详解】解：（1）由题意得：（-）②=（-）÷（-）=1，3③=3÷3÷3=
故答案为：1；．
（2）（ 3）④=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=（-3）×（-）×（-）
×（-）=（-）2；
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
（-）⑩=（-）÷（-）÷（-）÷…÷（-）=（-）×（-2）×（-2）×…×
（-2）=（-2）8
a =a÷a÷a÷a÷…÷a=a××××…×=（）n-2
故答案为：（-）2；（-2）8 ；（）n-2
（3） 92÷（-）④×（-）③ （-）④÷34=81÷（-3）2×（-2）-（-3）2÷34
=81÷9×（-2）-9÷81=-18-=-18.
06
课堂小结
总结
1.从正方形面积、正方体体积的几何问题出发，结合拉面实例，发现多个相同因数相乘的书写麻烦，引出乘方的必要性。
2.学习乘方的定义，认识底数、指数、幂，掌握乘方的读法，明白乘方本质是特殊的乘法运算。
3.归纳有理数乘方符号法则：正数任何次幂为正；负数奇次幂负、偶次幂正，计算时先算绝对值乘方，再定符号。
4.会进行有理数乘方计算，能用乘方解决拉面倍增这类实际问题，体会乘方简化重复乘法的作用。
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
C
1. 的4次幂应记为（ ）
A． B．-（）4 C．（-）4 D．-
2.若m，n均为正有理数，且a=（ m）×（ n）×（ m）×（ n），b=（ m）×（ n）×（ mn），则下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数
C
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（ ）
A．27个 B．82个 C．24个 D．28个
D
4.已知x2=9，则x=_____，若x3=( 4)3，x= _____．
±3
-4
【知识技能类作业】选做题：
07
作业布置
1.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．小明采用“满五进一”的方式，记录自己打卡背单词的天数．图1中表示打卡的天数为，那么图2表示打卡的天数为（ ）
A．50 B．214 C．159 D．234
B
【知识技能类作业】选做题：
07
作业布置
2.利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为 a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为 0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生，那么表示7班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】选做题：
07
作业布置
3.有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则p=m2 n．若这列数为 1，a， 2，b，…，则第6个数为（ ）
A．114 B．128 C．56 D．42
B
【综合拓展类作业】
07
作业布置
1.《庄子》中记载：「一尺之捶，日取其半，万世不竭。」意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完。现有一根长1米的木棍，第1天截去它的一半，剩下米；第 2 天再截去剩下的一半，剩下米；以后每天都截去前一天剩下的一半。
（1）第 3 天截取后剩下多少米？第 4 天呢？
（2）第 n 天截取后剩下多少米？（用幂的形式表示）
（3）已知 210 = 1024，要使剩下的长度首次小于0.01米，至少需要截取多少天？
（4）这个结论说明了什么？请谈谈你的理解。
【综合拓展类作业】
07
作业布置
【详解】（1）第 3 天截取后剩下米，第 4 天截取后剩下米；
（2）第n天截取后剩下（）n 米；
（3）要使（）n< 0.01，即（）n<，也就是2n>100。
因为26=64<100，27=128>100，所以 n 至少是 7，即至少需要截取7天；
（4）无论截取多少次，剩下的长度总是一个正数，永远不可能等于0，所以木棍永远截不完。这说明有限的长度可以无限地分割下去，「万世不竭」正是对这一数学事实的生动描述。
08
板书设计
Thanks!
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