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第3讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义
（知识梳理+精讲+针对练习）2026-2027学年人教版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的意义，能用判别式判断根的情况
· 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能由两根之和与两根之积求值
· 会利用韦达定理求含参数一元二次方程中参数的值或取值范围
· 能在实数范围内用求根公式对二次三项式进行因式分解
· 会将韦达定理与判别式综合应用，解决等腰三角形、直角三角形等几何综合题
知识梳理
☆ 1.根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由系数a、b、c决定，Δ=b2-4ac称为根的判别式
Δ>0 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 方程有两个相等的实数根；Δ<0 方程没有实数根
使用判别式前必须先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，并注意a≠0这个前提
若二次项系数含字母，必须分类讨论该系数为0时方程是否为一元一次方程
概念辨析例题：关于x的方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
解析：由题意得m-1≠0，且Δ=22-4(m-1)(-1)=4+4m-4=4m>0，解得m>0；又m≠1，故m>0且m≠1。
☆ 2.韦达定理（根与系数的关系）
若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=
使用韦达定理前必须先用判别式确认Δ≥0，否则两根不存在，关系不成立
常见变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；+=；（x1-x2）2=(x1+x2)2-4x1x2
已知一根求另一根及参数：用两根之积或两根之和列方程求解
概念辨析例题：已知x1、x2是方程x2-3x-5=0的两根，求x12+x22的值。
解析：由韦达定理x1+x2=3，x1x2=-5；则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9-2×(-5)=19。
☆ 3.韦达定理的应用
求关于两根的对称式的值：将所求代数式用x1+x2与x1x2整体表示
由根的关系求参数：把已知条件转化为关于参数的方程或不等式，再代回Δ≥0检验
已知一根求另一根：用x1x2=或x1+x2=-直接求
几何综合题：把三角形边长看作方程两根，结合勾股定理、三边关系建立方程
概念辨析例题：已知方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1x2+2x1+2x2=3，求k的值。
解析：Δ=(2k+1)2-4k2=4k+1>0，即k>-；由韦达x1+x2=-(2k+1)，x1x2=k2；代入得k2+2[-(2k+1)]=3，即k2-4k-5=0，解得k=5或k=-1；k=-1不满足k>-舍去，故k=5。
☆ 4.二次三项式的因式分解
二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能分解因式的条件是Δ=b2-4ac≥0
若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
求根公式法分解：先求方程两根，再按上式写结果；含字母系数时注意a不要漏乘
分解必须彻底：如a4-16b4=(a2+4b2)(a+2b)(a-2b)，不能停留在平方差一步
概念辨析例题：在实数范围内分解因式：2x2+4x-3。
解析：方程2x2+4x-3=0中Δ=16+24=40>0，x==，故原式=2（x-）（x-）。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
判别式Δ Δ=b2-4ac 先化一般式ax2+bx+c=0，注意a≠0
Δ>0 两个不相等实数根 二次项含字母时须讨论a=0
Δ=0 两个相等实数根 可用于求参数
Δ<0 无实数根 几何/三角形问题中直接排除
韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 必须先满足Δ≥0
对称式变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 整体代入，勿求根
二次三项式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Δ≥0才能在实数范围内分解
含参检验 求参数后代回Δ≥0 多解时常有一解要舍去
核心考点
【考点1】一元二次方程根的判别式（第1-16题）
· · 看到「有实数根/无实数根/两个相等/两个不相等」立刻算Δ=b2-4ac
· · 二次项系数含字母时，先讨论系数为0的情况是否成立，再用Δ
· · 等腰三角形、直角三角形等几何题中，把边长看作方程两根，结合三边关系验根
· · 新定义题（倍根方程、换位方程等）按定义把条件翻译成韦达关系即可
1．（2025秋 涟源市期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
2．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：||＝ad﹣bc，例如：4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程0的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
3．（2026春 安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　）
A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n
4．（2026 宽城区校级开学）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　）
A．8 B． C．9 D．10
5．（2026 梁园区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．（2026 东莞市校级一模）若关于x的方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的值可以是_____________ （写出一个即可）．
7．（2026 淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 _____ ．
8．（2026 灌南县一模）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____________ ．
9．若一个等腰三角形的底边长和腰长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的两个根，则此三角形的周长为_______ ．
10．（2025春 蔡甸区校级期末）若关于x的方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比3小的正实数，则实数m的取值范围是____________________ ．
11．（2026 沂水县一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝_______ ．
12．（2026 长春）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 _____ ．
13．（2025秋 德阳期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值．
14．（2025秋 浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2．
（1）判断：方程根的情况．
（2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系．
15．（2026春 雨花区期末）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2．
（1）写出方程①的“换位方程”；
（2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
（3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值．
16．（2026 椒江区二模）【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数），
m2＝（2n）2＝4n2，
因为n2是整数，
所以m2能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为_____ ．
证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数），
…
（2）请补全证明过程．
【应用】
（3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．
（注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0）
【考点2】韦达定理与根与系数的关系（第17-36题）
· · 见到「求关于两根的对称式」先用韦达写出x1+x2和x1x2，再整体代入
· · 见到「两根满足某关系求参数」先列方程，再代回Δ≥0舍去增根
· · 见到「已知一根求另一根」用x1x2=最快捷
· · 几何综合题中把边长看作两根，结合勾股定理AB2+AC2=BC2建立方程
17．（2025秋 鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．15 D．17
18．（2026 江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2
19．（2026 丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
20．（2025秋 武汉期末）新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，则代数式的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
21．（2025秋 江汉区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列结论：①若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若ac＜0，且b＝0，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．（2026春 柯桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1
23．（2026 成都模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 _______ ．
24．（2026春 阿城区期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的两个实数根，则的值为________ ．
25．（2026 滕州市校级模拟）若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 _______ ．
26．（2026 中山市校级一模）若a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式的值为_____ ．
27．（2024秋 西陵区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1和x2＝2，则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”．若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，c的值为 _______ ．
28．（2026 锦江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝3，则k的值为_____ ．
29．（2026 双流区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 _____ ．
30．（2026春 长沙期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两根分别为x1、x2，且x1x2+x1+x2＝9，求m的值．
31．（2026春 通州区期末）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值．
32．（2025秋 武汉期末）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根．
33．（2026春 莱州市期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值．
34．（2023秋 南海区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0．
（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程的两根为x1x2，且满足，求的值；
（3）已知方程的两根为x1，设，求y的最小值．
35．（2025秋 杨浦区期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
36．（2025春 濉溪县期末）一元二次方程ax2+（b﹣2）x﹣4＝0两根分别为x1，x2且（x1＜x2）
（1）若此方程一根为1，则a+b＝_____ ；
（2）当x1＝﹣1，x2＝2时，求a，b的值；
（3）若﹣2at＝b，x1＝m，x2＝n且n 时，求证：t ．
【考点3】二次三项式的因式分解（第37-42题）
· · 二次三项式能否在实数范围内分解，等价于对应方程是否有实根（Δ≥0）
· · 分解步骤：先求方程两根x1、x2，再写a(x-x1)(x-x2)，注意a不能漏
· · 分解要彻底：平方差公式要继续用，直到每个因式都不能再分为止
· · 复杂多项式用换元法：观察结构相同的整体，设t简化后再分解
37．（2024春 奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　）
A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9
38．（2024秋 崇明区期中）如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且a≠0
39．（2023秋 凉州区期末）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3
C．3x2﹣2xy﹣4y2 D．2x2﹣4x+5
40．把3x2+12xy+11y2在实数范围内进行因式分解．
41．（2022秋 浦东新区校级期中）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3．
42．在实数范围内因式分解：4x2﹣x﹣1＝____________________ ．
课后巩固
复习建议
· · 先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0再算Δ，二次项系数含字母时务必讨论a=0的情况
· · 使用韦达定理前先确认Δ≥0，求出参数后一定要代回判别式检验，舍去不满足的解
· · 熟记对称式变形：平方和、倒数和、两根差的平方，避免解出两根再代入
· · 二次三项式分解因式后务必检查a是否漏乘，并继续分解到不能再分为止
· · 几何综合题中把三角形两边看作方程两根，结合勾股定理与三边关系双重验根
【作业 1】（2026 册亨县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【作业 2】（2026 苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【作业 3】（2026 界首市二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【作业 4】（2025 呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy
【作业 5】（2025秋 台州期末）若关于x的方程x2﹣x+p＝0有两个不相等的实数根，则p的取值范围是____________________ ．
【作业 6】（2026 凉州区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 _____________ ．
【作业 7】（2026 玄武区一模）若α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 _____ ．
【作业 8】（2026秋 重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为_______ ．
【作业 9】（2026 南京一模）设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 _____ ．
【作业 10】（2025秋 金山区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣3＝ ________________ ．
【作业 11】（2026秋 同步）在实数范围内分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24．
【作业 12】（2026春 五华县期末）在实数范围内分解因式：a4﹣16b4．
丽华的解题过程如下：
解：原式＝（a2+4b2）（a2﹣4b2）．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
【作业 13】（2025秋 泉州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+2x2＝1，求m的值．
【作业 14】（2025秋 宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0．
（1）当m＝1时，求该一元二次方程的解；
（2）若方程有两个不等实数根且满足，求m的值．
【作业 15】（2025秋 锡山区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
【作业 16】（2026春 西湖区校级期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0．
（1）判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值．
【作业 17】（2026春 义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值．
【作业 18】（2025秋 南海区校级月考）如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题．
（1）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，写出k的取值范围为____________________ ；
（2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，不解方程求m2+n2的值；
（3）已知实数m，n满足2m2+3m﹣1＝0，2n2+3n﹣1＝0且m≠n，直接写出的值．
第1页（共1页）第3讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义
（知识梳理+精讲+针对练习）2026-2027学年人教版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的意义，能用判别式判断根的情况
· 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能由两根之和与两根之积求值
· 会利用韦达定理求含参数一元二次方程中参数的值或取值范围
· 能在实数范围内用求根公式对二次三项式进行因式分解
· 会将韦达定理与判别式综合应用，解决等腰三角形、直角三角形等几何综合题
知识梳理
☆ 1.根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由系数a、b、c决定，Δ=b2-4ac称为根的判别式
Δ>0 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 方程有两个相等的实数根；Δ<0 方程没有实数根
使用判别式前必须先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，并注意a≠0这个前提
若二次项系数含字母，必须分类讨论该系数为0时方程是否为一元一次方程
概念辨析例题：关于x的方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
解析：由题意得m-1≠0，且Δ=22-4(m-1)(-1)=4+4m-4=4m>0，解得m>0；又m≠1，故m>0且m≠1。
☆ 2.韦达定理（根与系数的关系）
若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=
使用韦达定理前必须先用判别式确认Δ≥0，否则两根不存在，关系不成立
常见变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；+=；（x1-x2）2=(x1+x2)2-4x1x2
已知一根求另一根及参数：用两根之积或两根之和列方程求解
概念辨析例题：已知x1、x2是方程x2-3x-5=0的两根，求x12+x22的值。
解析：由韦达定理x1+x2=3，x1x2=-5；则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9-2×(-5)=19。
☆ 3.韦达定理的应用
求关于两根的对称式的值：将所求代数式用x1+x2与x1x2整体表示
由根的关系求参数：把已知条件转化为关于参数的方程或不等式，再代回Δ≥0检验
已知一根求另一根：用x1x2=或x1+x2=-直接求
几何综合题：把三角形边长看作方程两根，结合勾股定理、三边关系建立方程
概念辨析例题：已知方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1x2+2x1+2x2=3，求k的值。
解析：Δ=(2k+1)2-4k2=4k+1>0，即k>-；由韦达x1+x2=-(2k+1)，x1x2=k2；代入得k2+2[-(2k+1)]=3，即k2-4k-5=0，解得k=5或k=-1；k=-1不满足k>-舍去，故k=5。
☆ 4.二次三项式的因式分解
二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能分解因式的条件是Δ=b2-4ac≥0
若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
求根公式法分解：先求方程两根，再按上式写结果；含字母系数时注意a不要漏乘
分解必须彻底：如a4-16b4=(a2+4b2)(a+2b)(a-2b)，不能停留在平方差一步
概念辨析例题：在实数范围内分解因式：2x2+4x-3。
解析：方程2x2+4x-3=0中Δ=16+24=40>0，x==，故原式=2（x-）（x-）。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
判别式Δ Δ=b2-4ac 先化一般式ax2+bx+c=0，注意a≠0
Δ>0 两个不相等实数根 二次项含字母时须讨论a=0
Δ=0 两个相等实数根 可用于求参数
Δ<0 无实数根 几何/三角形问题中直接排除
韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 必须先满足Δ≥0
对称式变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 整体代入，勿求根
二次三项式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Δ≥0才能在实数范围内分解
含参检验 求参数后代回Δ≥0 多解时常有一解要舍去
核心考点
【考点1】一元二次方程根的判别式（第1-16题）
· · 看到「有实数根/无实数根/两个相等/两个不相等」立刻算Δ=b2-4ac
· · 二次项系数含字母时，先讨论系数为0的情况是否成立，再用Δ
· · 等腰三角形、直角三角形等几何题中，把边长看作方程两根，结合三边关系验根
· · 新定义题（倍根方程、换位方程等）按定义把条件翻译成韦达关系即可
1．（2025秋 涟源市期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【分析】先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：当k＝0时，
此时方程为﹣3x0，
该方程有实数根，
所以k＝0满足题意．
当k≠0时，
Δ＝（﹣3）2﹣4k×（）≥0，
解得k≥﹣1，
综上所述，k的取值范围是k≥﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：||＝ad﹣bc，例如：4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程0的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【分析】先根据新定义得到x（x﹣k）﹣4×2＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x（x﹣k）﹣4×2＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2026春 安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　）
A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n
【分析】根据所给“倍根方程”的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
令关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）的两个实数根为a和b，
则a+b＝3m，ab＝4n．
因为该方程是“倍根方程”，
则不妨令a＝2b，
所以2b+b＝3m，
解得b＝m，
则a＝2m，
所以2m×m＝4n，
整理得，m2＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，理解所给“倍根方程”的定义是解题的关键．
4．（2026 宽城区校级开学）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　）
A．8 B． C．9 D．10
【分析】由原方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0，可得出36﹣4k＞0，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝36﹣4k＞0，
解得：k＜9，
∴k的可能值为8．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（2026 梁园区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】对于ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根，据此即可解答．
【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．
6．（2026 东莞市校级一模）若关于x的方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的值可以是　0（答案不唯一）　 （写出一个即可）．
【分析】根据方程有实数根可得根的判别式大于等于0，求出c的取值范围即可得到符合要求的c的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4c≥0，
解得．
∴c的值可以为0．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键，
7．（2026 淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ．
【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解．
【解答】解：由题意Δ＝0，
∴36﹣4（2m﹣1）＝0，
解得m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2026 灌南县一模）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣1且m≠0　 ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到Δ＞0且m≠0，代入计算解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴
∴m＞﹣1且m≠0．
故答案为：m＞﹣1且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
9．若一个等腰三角形的底边长和腰长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的两个根，则此三角形的周长为　10　 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为2，腰为4，然后计算这个等腰三角形的周长．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4，
∵当2为腰，4为底时，2+2＝4，不符合三角形三边的关系，
∴等腰三角形的底为2，腰为4，
∴此等腰三角形的周长＝2+4+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
10．（2025春 蔡甸区校级期末）若关于x的方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比3小的正实数，则实数m的取值范围是m＝2或　 ．
【分析】对m分类讨论，当二次项系数为零时，检查根是否满足条件；当二次项系数不为零时，因式分解方程，得到两个根，根据根的条件建立不等式组求解．
【解答】解：当4﹣m2＝0时，
解得m＝2或 m＝﹣2，
若m＝2，方程化为4x﹣1＝0，解得 ，满足 0＜x＜3，符合题意，
若m＝﹣2，方程化为﹣4x﹣1＝0，解得，不是正实数，不符合题意；
当4﹣m2≠0 时，
方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0可因式分解为[（2﹣m）x+1][（2+m）x﹣1]＝0，
解得，，
由题意，所有根都是比 3 小的正实数，故需满足：
，
解得不等式组的解集为，
综上，实数m的取值范围是m＝2或．
故答案为：m＝2或．
【点评】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数，解不等式组，注意分类讨论是解题的关键．
11．（2026 沂水县一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　﹣1　 ．
【分析】根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得a﹣1≠0，据此求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
12．（2026 长春）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　4　 ．
【分析】根据判别式得到关于c的不等式求出答案即可．
【解答】解：根据根的判别式得：
Δ＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了根的判别式判断根的情况，解决此题的关键是熟记判别式公式．
13．（2025秋 德阳期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值．
【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4 3m＝（m﹣3）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4 3m＝（m﹣3）2，
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由条件可得：（x﹣3）（x﹣m）＝0，
解得，x1＝m，x2＝3，
∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和m，
①当4为腰长时，另一腰长也为4，则m＝4．此时三角形三边长为4，4，3．∵4+3＞4，∴能构成三角形．
②当4为底边长时，两腰长相等，则m＝3．此时三角形三边长为4，3，3．∵3+3＞4，∴能构成三角形．
综上所述，m的值为3或4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
14．（2025秋 浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2．
（1）判断：方程根的情况．
（2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝m2+4n2，利用得到Δ＞0，然后根据判别式的意义可判断根的情况；
（2）利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再对两个代数式作差比较大小即可．
【解答】解：（1）x2+mx＝n2，
∴x2+mx﹣n2＝0，
Δ＝m2﹣4×1×（﹣n2）＝m2+4n2，
∴Δ＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数解；
（2）∵α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，
∴将x＝α代入方程得：α2+mα﹣n2＝0，
计算（2α+m）2﹣（m2+4n2）＝4α2+4mα+m2﹣m2﹣4n2＝4α2+4mα﹣4n2＝4（α2+mα﹣n2）＝4×0＝0，
∴（2α+m）2＝（m2+4n2），
∴两式相等．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（2026春 雨花区期末）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2．
（1）写出方程①的“换位方程”；
（2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
（3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值．
【分析】（1）依据题意，根据互为“换位方程”的定义，从而可以得解；
（2）依据题意，由当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0，则方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根，从而得解；
（3）依据题意，，，则，则，
当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，则m≠3，故x0＝﹣1或x0＝1，进而可以计算得解．
【解答】（1）解：由题意，根据互为“换位方程”的定义，
∵方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2，
∴方程①的“换位方程”为（m﹣2）x2+（2m+1）x+1＝0；
（2）证明：由题意，∵当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
（3）解：由题意，，，
∴，则，
当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，
∴m≠3．
∴x0＝﹣1或x0＝1，
∴当x0＝﹣1时，代入方程①得m＝﹣2；当x0＝1时，代入方程①得m＝0．
答：公共根为﹣1时，m＝﹣2；公共根为1时，m＝0．
【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程﹣公式法、解一元二次方程﹣因式分解法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
16．（2026 椒江区二模）【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数），
m2＝（2n）2＝4n2，
因为n2是整数，
所以m2能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为　1　 ．
证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数），
…
（2）请补全证明过程．
【应用】
（3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．
（注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0）
【分析】（1）举例得出结论；
（2）设m＝2n+1（其中n为整数），则m2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1，然后得出结论；
（3）根据Δ＝b2﹣4ac，分b为偶数和b为奇数，由（1）（2）得出结论．
【解答】解：（1）∵32＝9，9÷4＝2...1；
52＝25，25÷4＝6...1；
72＝49，49÷4＝12...1；
...，
∴奇数的平方被4除余数为1，
故答案为：1；
（2）证明：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数），
∴m2＝（2n+1）2
＝4n2+4n+1
＝4（n2+n）+1，
∵n为整数，
∴n2+n为整数，
∴m2被4除余1；
（3）小红计算结果不正确，理由：
∵整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac，
当b为偶数时，b2能被4整除，4ac也能被4整除；
当b为奇数时，b2能被4整除余1，4ac能被4整除，即b2﹣4ac被4除余1；
∴2026÷4＝506...2，即2026被4除余2，不符合上述情况，
∴小红计算结果不正确．
【点评】本题考查根的判别式，以及归纳猜想，关键是分情况讨论．
【考点2】韦达定理与根与系数的关系（第17-36题）
· · 见到「求关于两根的对称式」先用韦达写出x1+x2和x1x2，再整体代入
· · 见到「两根满足某关系求参数」先列方程，再代回Δ≥0舍去增根
· · 见到「已知一根求另一根」用x1x2=最快捷
· · 几何综合题中把边长看作两根，结合勾股定理AB2+AC2=BC2建立方程
17．（2025秋 鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．15 D．17
【分析】由a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，可得a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0，将所求式子变形后再代入可算得答案．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0，
∴a2+a＝8，
∴a2+2a+b﹣ab
＝（a2+a）+（a+b）﹣ab
＝8+（﹣1）﹣（﹣8）
＝15．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系．
18．（2026 江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2
【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2
∵，
∴b2+4b＝12，
解得b，
当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意，
当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意，
∴b＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键．
19．（2026 丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn，
所以4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
20．（2025秋 武汉期末）新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，则代数式的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【分析】先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可．
【解答】解：∵mx2﹣（2m+n）x+2n＝0，
∴（mx﹣n）（x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或mx﹣n＝0，
解得：x1＝2，x2，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，
∴分两种情况：
当2＝2时，即m＝n，
此时，
当2×2时，即n＝4m，
此时，
综上所述，代数式的值为或．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键．
21．（2025秋 江汉区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列结论：①若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若ac＜0，且b＝0，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据条件分别进行变形和计算得到b2﹣4ac与0的关系，进行判断即可得到答案．
【解答】解：①由b＞a+c可以得到|b|＞|a+c|或|b|＝|a+c|或|b|＜|a+c|，
∴b2﹣4ac＞（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0或b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0或b2﹣4ac＜（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≤0，
即存在Δ＞0或Δ＝0或Δ＜0的三种情况．
∴方程可能无实数根或有两个相等实数根或两个不相等的实数根．（也可取特值判断），①错误，不符合题意；
②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，
则（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，
则b2﹣4ac＞（a﹣c）2≥0，
∴方程有两个不相等的实数根．②正确，符合题意；
③若b2+4ac＜0，
∴0≤b2＜﹣4ac，0≤2b2＜b2﹣4ac，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．③正确，符合题意；
④若ac＜0，则b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根．
∵b＝0，x1+x2＝0，两根一定互为相反数．④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．熟练掌握该知识点是关键．
22．（2026春 柯桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1
【分析】依据题意，由一元二次方程判别式与韦达定理，可得Δ≥0，进而列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，即可计算得解．
【解答】解：由题意得：
∴．
∴3＜m≤5．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
23．（2026 成都模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　14　 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，
∴，
∴，
∴．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，关键掌握对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根为x1，x2，则，．
24．（2026春 阿城区期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的两个实数根，则的值为　﹣20　 ．
【分析】先利用根与系数的关系，再把要求值代数式变形后代入得结论．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1 x2＝﹣20．
∴x1x2（x1+x2）＝1×（﹣20）＝﹣20．
故答案为：﹣20．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，掌握整式的因式分解、一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
25．（2026 滕州市校级模拟）若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　11　 ．
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．由题意得n2﹣n﹣3＝0，m+n＝1，mn＝﹣3，再代入计算即可求解．
【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0，
∵m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴n2＝n+3，
∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（2026 中山市校级一模）若a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式的值为　3　 ．
【分析】先利用根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝3，ab＝1，
所以．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是掌握 若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
27．（2024秋 西陵区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1和x2＝2，则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”．若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，c的值为 　18　 ．
【分析】根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可设：x＝m与x＝2m且m≠0是方程x2﹣9x+c＝0的两个根，
∴，
m+2m＝3m9，
解得：m＝3，c＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，一元二次方程解的概念，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键．
28．（2026 锦江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝3，则k的值为　5　 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
所以．
因为x1x2+2x1+2x2＝3，
所以k2+2（﹣2k﹣1）＝3，
解得k＝﹣1或5．
当k＝﹣1时，方程为x2﹣x+1＝0，
则Δ＝（﹣1）2﹣4＝﹣3＜0，
所以此方程没有实数根，
故k＝﹣1舍去；
当k＝5时，方程为x2+11x+25＝0，
则Δ＝112﹣4×1×25＝21＞0，
所以k＝5符合题意．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
29．（2026 双流区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　4　 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，
所以m+n＝4，mn＝﹣3，且m2﹣4m﹣3＝0，
则m2﹣4m＝3，
所以m2+mn﹣3m+n＝m2﹣4m+mn+m+n＝3+（﹣3）+4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
30．（2026春 长沙期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两根分别为x1、x2，且x1x2+x1+x2＝9，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2，结合x1x2+x1+x2＝9，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1＞0，
解得：m．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2，
∴1﹣2m+m2＝9，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝4．
又∵m，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合7，找出关于m的一元二次方程．
31．（2026春 通州区期末）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值．
【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可；
（2）通过根与系数关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）
＝a2﹣4a+8
＝（a﹣2）2+4，
∵无论a为何实数时（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，
∴无论a为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2，
∵xx2+x1xx1x2（x1+x2）＝﹣3，
∴（a﹣2）×（﹣a）＝﹣3，
化简得a2﹣2a﹣3＝0
解得a＝3或a＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
32．（2025秋 武汉期末）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根．
【分析】依据题意，设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得到4a＝﹣8，4+a＝﹣m，进行求解即可．
【解答】解：由题意，设方程的另一个根为a，
∴4a＝﹣8，4+a＝﹣m，
∴a＝﹣2，m＝﹣2．
答：m＝﹣2，方程的另一个根为﹣2．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
33．（2026春 莱州市期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝k+1，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，
∴k≤3；
（2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵4，
∴，
∴，
∴k1＝5，k2＝﹣3，
又k≤3，
∴k＝﹣3，
经检验k＝﹣3是分式方程的解．
所以k＝﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
34．（2023秋 南海区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0．
（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程的两根为x1x2，且满足，求的值；
（3）已知方程的两根为x1，设，求y的最小值．
【分析】（1）根据判别式得Δ＝4（k﹣1）2≥0，据此可得出结论；
（2）首先由可得出x1＝x2，据此得关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0有两个相等的实数根，进而得判别式4（k﹣1）2＝0，由此解得k＝1，然后将化简得，最后将k＝1代入进行计算即可得出答案；
（3）首先解一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两根为x＝2k或x＝2，再根据x1＞x2且k判定x1＝2，x2＝2k，然后将其代入之中得到y关于k的二次函数，最后再求出最小值即可．
【解答】（1）证明：∵判别式Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×4k
＝4k2﹣8k+4
＝4（k﹣1）2≥0，
∴不论k取何值，方程总有实数根，
（2）解：∵，
∴，
即：x22＝2x1x2，
∴（x1﹣x2）2＝0，
∴x1＝x2，
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两个根为x1，x2，
∴关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两个根相等，
∴判别式4（k﹣1）2＝0，
∴k＝1，
∴
＝﹣1．
（3）将一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0转化为（x﹣2k）（x﹣2）＝0，
∴一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两根为x＝2k或x＝2，
∵x1＞x2且k，
∴x1＝2，x2＝2k，
∴
＝（2k）2﹣2k+1
＝4k2﹣2k+1
＝4（k）2，
∵4（k）2≥0，
∴4（k）2，
∴y的最小值为．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的最值是解决问题的关键．
35．（2025秋 杨浦区期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
【解答】（1）证明：由题意，∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2）
＝m2+2m+1﹣12m+24
＝m2﹣10m+25
＝（m﹣5）2．
∵对于任意实数m都有（m﹣5）2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：由题意，∵两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根，
∴AC+AB＝m+1，AC AB＝3（m﹣2）（m＞2），
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC AB
＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2）
＝m2﹣4m+13＝25，
∴m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）；
∴m＝6．
【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
36．（2025春 濉溪县期末）一元二次方程ax2+（b﹣2）x﹣4＝0两根分别为x1，x2且（x1＜x2）
（1）若此方程一根为1，则a+b＝　6　 ；
（2）当x1＝﹣1，x2＝2时，求a，b的值；
（3）若﹣2at＝b，x1＝m，x2＝n且n 时，求证：t ．
【分析】（1）将x＝1代入即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（3）将x1＝m，x2＝n代入方程，作差，进行因式分解得到（m﹣n）（am+an+b﹣2）＝0，继而得到a（m+n）+b＝2，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证．
【解答】解：（1）将x＝1代入，则a+b﹣2﹣4＝0，
∴a+b＝6；
（2）∵x1＝﹣1，x2＝2，
∴，，
解得：a＝2，b＝0；
（3）当x1＝m，x2＝n，且m＜n，
am2+（b﹣2）m﹣4＝0①，
an2+（b﹣2）n﹣4＝0②，
①﹣②得：a（m+n）（m﹣n）+（b﹣2）（m﹣n）＝0，
即（m﹣n）（am+an+b﹣2）＝0，
因m﹣n≠0，
∴a（m+n）+b＝2，
∴，
由题知：，
∴即2t≥m，故．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【考点3】二次三项式的因式分解（第37-42题）
· · 二次三项式能否在实数范围内分解，等价于对应方程是否有实根（Δ≥0）
· · 分解步骤：先求方程两根x1、x2，再写a(x-x1)(x-x2)，注意a不能漏
· · 分解要彻底：平方差公式要继续用，直到每个因式都不能再分为止
· · 复杂多项式用换元法：观察结构相同的整体，设t简化后再分解
37．（2024春 奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　）
A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9
【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可．
【解答】解：∵二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，
∴Δ＝36﹣4p≥0，
解得：p≤9，
故选：A．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
38．（2024秋 崇明区期中）如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且a≠0
【分析】因二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，所以ax2+3x+4＝0有实数根，据此求解即可．
【解答】解：∵二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，
∴ax2+3x+4＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣16a≥0，a≠0，
∴且a≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0．
39．（2023秋 凉州区期末）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3
C．3x2﹣2xy﹣4y2 D．2x2﹣4x+5
【分析】若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，Δ＝b2﹣4ac≥0，计算各选项中的Δ值，根据Δ的符号判断即可．
【解答】解：A、6x2+x﹣15＝（2x﹣3）（3x+5），故本选项不符合题意；
B、3y2+7y+3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×3×3＝11＞0，
∴方程3y2+7y+3＝0有实数解，
∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意；
C、3x2﹣2xy﹣4y2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴方程3x2﹣2xy﹣4y2＝0有实数解，
∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意；
D、2x2﹣4x+5＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0，
∴方程2x2﹣4x+5＝0没有实数解，
在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即Δ＝b2﹣4ac≥0，正确分析Δ＝b2﹣4ac的符号是解题的关键．
40．把3x2+12xy+11y2在实数范围内进行因式分解．
【分析】先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【解答】解：原式
＝3（x2+4xy+4y2）
故答案为：．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．
41．（2022秋 浦东新区校级期中）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3．
【分析】先求出方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，再进行因式分解即可．
【解答】解：在方程2x2+4x﹣3＝0中，
a＝2，b＝4，c＝﹣3，
Δ＝b2﹣4ac＝16+24＝40，
∴，
∴，，
∴．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用求根公式在实数范围内因式分解的方法是解题的关键．
42．在实数范围内因式分解：4x2﹣x﹣1＝　　 ．
【分析】先提公因式，再配方，最后根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝4（）
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0再算Δ，二次项系数含字母时务必讨论a=0的情况
· · 使用韦达定理前先确认Δ≥0，求出参数后一定要代回判别式检验，舍去不满足的解
· · 熟记对称式变形：平方和、倒数和、两根差的平方，避免解出两根再代入
· · 二次三项式分解因式后务必检查a是否漏乘，并继续分解到不能再分为止
· · 几何综合题中把三角形两边看作方程两根，结合勾股定理与三边关系双重验根
【作业 1】（2026 册亨县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
【作业 2】（2026 苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k，
∵x1+x2＝3x1x2，
∴4＝3k，
解得：，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【作业 3】（2026 界首市二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0，
∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两根之积为﹣2，
∴方程有一个正根，一个负根．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
【作业 4】（2025 呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy
【分析】利用平方差公式对选项进行判断即可．
【解答】解：A．x2+y2，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C．﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
D．x2+2xy，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键．
【作业 5】（2025秋 台州期末）若关于x的方程x2﹣x+p＝0有两个不相等的实数根，则p的取值范围是p　 ．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+p＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即：1﹣4p＞0，
解得：p，
故答案为：p．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
【作业 6】（2026 凉州区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣1且m≠0　 ．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m （﹣1）≥0，且m≠0，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故答案为：m≥﹣1且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
【作业 7】（2026 玄武区一模）若α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 　1　 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到α2＝3α+4，则α2﹣4α﹣β可化为4﹣（α+β），再根据根与系数的关系得到α+β＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴α2﹣3α﹣4＝0，
∴α2＝3α+4，
∴α2﹣4α﹣β＝3α+4﹣4α﹣β＝4﹣（α+β），
∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴α+β＝3，
∴α2﹣4α﹣β＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解．
【作业 8】（2026秋 重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为　41　 ．
【分析】利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值．
【解答】解：由条件可知m2﹣5m﹣36＝0，
即 m2﹣5m＝36，
由根与系数的关系可知m+n＝5，
∴m2﹣4m+n＝（m2﹣5m）+（m+n）＝36+5＝41．
故答案为：41．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 9】（2026 南京一模）设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　2　 ．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝3、x1x2＝m，结合x1+3x2＝5可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝m．
∵x1+x2+2x2＝5，
∴3+2x2＝5，
∴x2＝1，
∴x1＝2，
∵x1x2＝m．
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【作业 10】（2025秋 金山区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣3＝ 　（2x﹣3）（x+1）　 ．
【分析】利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：2x2﹣x﹣3＝（2x﹣3）（x+1）．
故答案为：（2x﹣3）（x+1）．
故答案为：（2x﹣3）（x+1）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），也考查了十字相乘法．
【作业 11】（2026秋 同步）在实数范围内分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24．
【分析】将（x﹣3）（x+4）与（x﹣1）（x+2）分别相乘得出的结果中都含有（x2+x）这个整体，再用换元法比较简单．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24
＝（x﹣3）（x+4）（x﹣1）（x+2）+24
＝（x2+x﹣12）（x2+x﹣2）+24
令x2+x＝t，
∴原式＝（t﹣12）（t﹣2）+24
＝t2﹣14t+48
＝（t﹣6）（t﹣8）
∴原式＝（x2+x﹣6）（x2+x﹣8）
＝（x+3）（x﹣2）（x）（x）．
【点评】本题考查了对于复杂多项式进行因式分解，采用分组相乘，利用系数特点进行分组相乘，再用一元二次方程的求根公式进行求根在分解．
【作业 12】（2026春 五华县期末）在实数范围内分解因式：a4﹣16b4．
丽华的解题过程如下：
解：原式＝（a2+4b2）（a2﹣4b2）．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
【分析】根据因式分解要彻底的原则进行求解．
【解答】解：丽华因式分解的结果不正确，
∵a4﹣16b4
＝（a2+4b2）（a2﹣4b2）
＝（a2+4b2）（a+2b）（a﹣2b），
∴丽华因式分解的结果不正确，
【点评】此题考查了因式分解的能力，关键是能准确、彻底的因式分解．
【作业 13】（2025秋 泉州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+2x2＝1，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝12m2+4，由偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出12m2+4＞0，即Δ＞0，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，结合x1+2x2＝1，可得出x2＝﹣1，再将x＝﹣1代入原方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3m2）＝12m2+4，
∵m2≥0，
∴12m2+4＞0，
即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，
又∵x1+2x2＝1，
∴x2＝﹣1．
将x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2+2﹣3m2＝0，
解得：m＝±1，
∴m的值为±1．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”．
【作业 14】（2025秋 宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0．
（1）当m＝1时，求该一元二次方程的解；
（2）若方程有两个不等实数根且满足，求m的值．
【分析】（1）依据题意，当m＝1时，可得一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0，从而计算可以得解；
（2）依据题意，由一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0的两实数根为x1，x2，则Δ＝1﹣4（2m﹣4）＞0，即m；x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，结合，可得2m﹣4﹣3+9＝m2﹣1，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，当m＝1时，可得一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0．
∴（x﹣2）（x+1）＝0．
∴x＝﹣1或x＝2；
（2）由题意，∵一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0的两实数根为x1，x2，
∴Δ＝1﹣4（2m﹣4）＞0，即m；x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4．
又∵，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1．
∴2m﹣4﹣3+9＝m2﹣1．
∴m＝﹣1或m＝3（舍去）．
∴m＝﹣1．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、解一元二次方程﹣因式分解法、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键．
【作业 15】（2025秋 锡山区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论；
（2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\
＝k2+4k+4﹣8k+4
＝k2﹣4k+4+4
＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为3，
∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x1＝1，
∴另一个根为1，k＝2．
【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型．
【作业 16】（2026春 西湖区校级期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0．
（1）判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得k的取值范围，再计算Δ可判断方程根的情况；
（2）把x＝﹣2代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案；
（3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由条件可知k+1≠0，
∴k≠﹣1，
而Δ＝（k+3）2﹣4×2（k+1）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴当k＝1时，原方程有两个相等的实数根，当k≠1且k≠﹣1时，原方程有两个不相等的实数根．
（2）由条件可知4（k+1）﹣2（k+3）+2＝0，
解得：k＝0，
∴方程为：x2+3x+2＝0，
∴（x+2）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1，
∴方程的另一个根为﹣1．
（3）由条件可知[（k+1）x+2]（x+1）＝0，
∴（k+1）x+2＝0，x+1＝0，
解得：，x2＝﹣1，
∵方程的一个根是另一个根的2倍，
∴当时，解得：k＝0，经检验符合题意；
当时，解得：k＝3，经检验符合题意；
综上：k＝0或k＝3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 17】（2026春 义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝16＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）方程的一根为t，则另一根为2t，利用根与系数的关系得到t+2t＝2m，t 2t＝m2﹣4，解得tm，代入2t2＝m2﹣4，解方程即可求得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：方程的一根为t，则另一根为2t，
根据题意得t+2t＝2m，t 2t＝m2﹣4，
∴tm，2t2＝m2﹣4，
∴m2＝m2﹣4，即m2＝4
∴m＝±6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
【作业 18】（2025秋 南海区校级月考）如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题．
（1）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，写出k的取值范围为k　 ；
（2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，不解方程求m2+n2的值；
（3）已知实数m，n满足2m2+3m﹣1＝0，2n2+3n﹣1＝0且m≠n，直接写出的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，得到Δ＝32﹣4×≤k≥0，求出k的解集即可；
（2）先得到，化简（m+n）2﹣2mn，再代值计算即可；
（3）先推导出实数根为m，n可看作一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则，求出，，则，即可解答．
【解答】解：（1）由条件可知Δ＝32﹣4×k≥0，
解得k，
故答案为：k；
（2）由条件可知，
∴；
（3）由条件可知实数为m，n可看作一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴，
∴，，
∴，
则．
【点评】本题考查一元二次方程的判别式，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键．
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