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四川广元市旺苍县2026年春八年级期中诊断测试数学试卷
1．若在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴需同时满足二次根式和分式有意义的条件，可得，
解不等式得，
解不等式得，
∴应满足的条件是且．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，以及分式分母不为0，列关于字母x的不等式组，然后求解即可．
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
B.该选项是最简二次根式，故符合题意；
C.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
D.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据最简二次根式需要满足的两个条件：一是被开方数不含有分母，二是被开方数不存在能开得尽方的因数或因式，对每个选项依次进行判断即可.
3．一个六边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：C．
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据二次根式的乘法法则可得选项A正确；
选项B不是同类二次根式，不能够合并；
选项C，原式=2 ；
选项D，原式=2- ，
故选A.
5．如图，直线，则直线之间的距离是（　　）
A．线段 B．线段的长度
C．线段 D．线段的长度
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：直线，，
线段的长度是直线之间的距离，
故答案为：D．
【分析】 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度叫做两平行线间的距离，据此逐项判断得出答案.
6．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故选：C．
【分析】
结合图形，先利用三角形面积公式得到的面积，再借助勾股定理计算出边长的长度，最后再一次利用三角形面积公式完成求解.
7．如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（　　）
A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米
【答案】B
【知识点】线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB=6m，BC=8m，AC=9m，
∴EF=BC=4m，BE=AB=3m，CF=AC=4.5m，
∴需要篱笆的长=4+3+4.5+8=19.5m．
故选 B．
【分析】
先依据三角形中位线定理算出EF的长度，再结合三角形中点的性质分别求出BE、CF的长度，最后计算得到结果即可.
8．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（　　）
①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形；
②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形；
③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形；
④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
∵，
∴加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，①错误；
∵，
∴，
加上，
∴，
∴，
∴四边形一定是平行四边形，②正确；
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形一定是平行四边形，③正确；
∵，
∴，，
加上，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，④错误，
综上，正确的是②和③．
故答案为：C.
【分析】加上，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，得四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，据此可判断①；加上，可推出，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABCD一定是平行四边形，据此可判断②；加上，利用AAS证出，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD一定是平行四边形，据此可判断③；加上，利用“SAS”证出，可得，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，得四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，据此判断④．
9．如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股数；平行四边形的面积；勾股树模型
【解析】【解答】解：根据正方形的面积公式得：，，，
，
，
∵在中，，
，
，
．
故选：A．
【分析】
根据正方形的面积等于边长的平方，可得，，，结合题目给出的三个正方形面积和为8，可得到关系式。因为△ABC是直角三角形，根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即，将该式代入前面的面积和关系式中，整理可得。又因为，因此，据此即可得到结果.
10．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，；
∵将沿折叠，点落在边上的点处，
∴，；
在中，由勾股定理得：
，
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即；
故选：B．
【分析】
首先根据折叠的性质可以得到，；接下来在中，利用勾股定理计算出的长度，由此进一步得到的长度；最后设，即可表示出的长度，在中利用勾股定理列出方程，就可以求解得到结果.
11．已知，则　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，则，
解得，
∴．
故答案为：2.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x=3，然后将x=3代入原等式可算出y的值.
12．在平面直角坐标系中有两点，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：因为点，
所以 ．
故答案为：5.
【分析】平面直角坐标系中，若两点M、N坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则，据此将A、B两点坐标分别代入计算可得答案.
13．若，其中是正整数，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，.
即：1.73∴m的值为
故答案为：2.
【分析】需要掌握，的取值范围即可求出答案.
14．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有　 　条．
【答案】9
【知识点】多边形的对角线；一元一次方程的实际应用-几何问题；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，
由题意得：，
解得，
则该多边形的对角线的条数共有（条）．
故答案为：9.
【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形内角和为(n-2)×180°，该多边形的外角和为360°，然后根据“ 多边形的内角和等于它的外角和的两倍 ”列出方程求解得出n的值，进而根据n边形对角线的总条数为：列式计算即可.
15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，，
又∵，
，
，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：6．
【分析】 勾股定理结合正方形的面积可知，再结合，求出 ，然后根据正方形性质、平行线间的距离处处相等及三角形面积公式可得图中阴影部分的面积为，从而代值计算即可得出答案.
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴，
∵点H为DF的中点，
∴DH=FH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴GH＝EP＝2．
故答案为：2．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，由二直线平行，内错角相等得∠DPH＝∠FCH，由中点定义得DH=FH，CF=AE，从而由“AAS”证△PDH≌△CFH，由全等三角形的对应边相等得PD=CF，由线段和差算出AP，然后根据勾股定理算出PE，最后根据三角形的中位线定理即可求出GH的长.
17．计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式乘除法法则计算二次根式的除法与乘法，同时根据二次根式的性质化简各个化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围．
【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵三角形的三边分别为，
∴，即，
∴，
又∵为这个三角形的最大边，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】将已知等式左边前三项利用完全平方公式分解因式，根据偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，然后根据三角形三边关系求出第三边c的取值范围，进而结合c是三角形的最大边即可确定出C的取值范围.
19．如图，直角三角形中，，垂足为点，且．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：
，
，
（2）解：设，则，
，
，
，
解得：
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，利用勾股定理直接可算出BC的长；
（2）设，则，在Rt△ACD中，利用勾股定理表示出AC2，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出答案．
（1）解：
，
，
（2）设，则，
，
，
，
解得：
20．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：，
解：隐含条件，解得：．
∴，
∴原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：____________．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知为的三边长．化简：．
【答案】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，
∴，
∴
．
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）按照题干给出的解题步骤推导，就可以得到答案。
（2）结合第一问得到的结论，对式子化简，可以得到，最后去掉括号、合并同类项，即可求出结果。
（3）根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，可以得 ，再结合二次根式的性质对原式化简计算，就可以得到最终答案.
21．如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）依据平行四边形ABCD的性质可知，对边平行且对角线互相平分，由此可以得到对应角相等、对应边相等，利用ASA全等判定定理即可证明△DOF≌△BOE；
（2）由第一问的全等结论可以得到对应边相等，结合平行四边形对角线原本的平分关系，可推导出四边形BEDF的对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证出结论.
22．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题．
资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？
【答案】（1）解：∵四边形为长方形，米，
∴米，，
在中，米，米，
∴米，
∴米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升7米，
∴此时米，
∵长度不变，即米，
∴米，
∴再放出米的线．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）根据长方形的对边相等可得米，由长方形每一个内角都是直角及邻补角得，在中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据AD=AC+CD即可算出答案；
（2）易得AC=16米，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB=20米，然后用20-15即可求出需要放出的线长.
（1）解：∵四边形为长方形，米，
∴米，，
在中，米，米，
∴米，
∴米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升7米，
∴此时米，
∵长度不变，即米，
∴米，
∴再放出米的线．
23．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，请添加一个条件，使四边形为菱形．
【答案】（1）证明：
∵E为 AD 的中点，
∴AE=DE。
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB 中，
∠AFE=∠DBE
∠AEF=∠DEB
(对顶角相等）
AE=DE
∴
∴AF=BD。
又∵AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形。
（2）解：添加，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）通过平行线的性质可得角相等，结合对顶角相等与点E为AD中点得到的边相等，可证，根据全等三角形对应边相等得到，再结合，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证出结论；
（2）添加条件，首先由（1）的结论可知且，结合条件可得且，即可证明四边形是平行四边形；再根据∠BAC=90°，D为BC中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出四边形ADCF是菱形．
（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：添加，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．
24．如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当时，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
四边形是矩形．
（2）证明四边形是菱形，，
四边形是正方形．
，，．
．
由（1）知四边形是矩形，
四边形是正方形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】
（1）已知，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可先判定四边形是平行四边形；再结合菱形的性质可推出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形是矩形；
（2）当时，先证明四边形是正方形，由此可得，结合（1）中已证四边形是矩形，根据一组邻边相等的矩形是正方形，即可证明四边形是正方形。
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
四边形是矩形．
（2）证明四边形是菱形，，
四边形是正方形．
，，．
．
由（1）知四边形是矩形，
四边形是正方形．
25．如图，在正方形中，点G，E 分别在上，，相交于点F．
（1）求证：；
（2）当点E是的中点时，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明：如图，延长，交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=CD，∠ADC=∠BCD=90°，从而利用“SAS”证明△ADG≌△DCE，由全等三角形的对应角相等得∠DAG=∠CDE，由直角三角形两锐角互余、等量代换可求出∠CDE+∠AGD=90°，由三角形的内角和定理得出∠DFG=90°，从而即可得出结论；
（2）延长AB，DE交于点H，由正方形性质得AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠HBE=∠C，∠H=∠CDE，从而用“AAS”证明△BEH≌△CED，由全等三角形的对应边相等可得BH=CD=AB，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB=BF.
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明：如图，延长，交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点．
（1）如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由；
（2）如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：
如图，连接．
四边形是正方形，
，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，
如图，过点作，交于点，则，
由（1）得，
，
，，
在中，．
由（1）得，
，
同（1）得，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）△AFG是等腰直角三角形，理由如下：连接CF，由等腰直角三角形的性质得CF⊥DE，CF=DF，∠ECF=∠CDF=45°，由正方形性质及角的构成可推出∠ADF=∠GCF=135°，由同角的余角相等推出∠AFD=∠GFC，从而利用“ASA”证△ADF≌△GCF，由全等三角形的对应边相等得出AF=GF，从而根据等腰直角三角形的定义即可得出结论；
（2），证明如下：过点F作FH⊥DE，交DG于点H，易得DF=HF，，∠ADF=∠GHF=135°，同（1）得∠AFD=∠GFH，从而用“ASA”证△ADF≌△GCF，由全等三角形的对应边相等得AD=GH，然后根据线段构成及等量代换可得结论.
（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：
如图，连接．
四边形是正方形，
，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，
如图，过点作，交于点，则，
由（1）得，
，
，，
在中，．
由（1）得，
，
同（1）得，
在和中，
，
，
，
．
1 / 1四川广元市旺苍县2026年春八年级期中诊断测试数学试卷
1．若在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（　　）
A． B．且
C． D．且
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
3．一个六边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线，则直线之间的距离是（　　）
A．线段 B．线段的长度
C．线段 D．线段的长度
6．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（　　）
A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米
8．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（　　）
①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形；
②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形；
③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形；
④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
9．如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
10．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（　　）
A．4 B．5 C． D．
11．已知，则　 　．
12．在平面直角坐标系中有两点，则的长为　 　．
13．若，其中是正整数，则的值是　 　．
14．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有　 　条．
15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
17．计算：
（1）
（2）．
18．已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围．
19．如图，直角三角形中，，垂足为点，且．
（1）求的长；
（2）求的长．
20．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：，
解：隐含条件，解得：．
∴，
∴原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：____________．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知为的三边长．化简：．
21．如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF．
22．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题．
资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？
23．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，请添加一个条件，使四边形为菱形．
24．如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当时，求证：四边形是正方形．
25．如图，在正方形中，点G，E 分别在上，，相交于点F．
（1）求证：；
（2）当点E是的中点时，求证：．
26．如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点．
（1）如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由；
（2）如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴需同时满足二次根式和分式有意义的条件，可得，
解不等式得，
解不等式得，
∴应满足的条件是且．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，以及分式分母不为0，列关于字母x的不等式组，然后求解即可．
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
B.该选项是最简二次根式，故符合题意；
C.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
D.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据最简二次根式需要满足的两个条件：一是被开方数不含有分母，二是被开方数不存在能开得尽方的因数或因式，对每个选项依次进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：C．
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据二次根式的乘法法则可得选项A正确；
选项B不是同类二次根式，不能够合并；
选项C，原式=2 ；
选项D，原式=2- ，
故选A.
5．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：直线，，
线段的长度是直线之间的距离，
故答案为：D．
【分析】 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度叫做两平行线间的距离，据此逐项判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故选：C．
【分析】
结合图形，先利用三角形面积公式得到的面积，再借助勾股定理计算出边长的长度，最后再一次利用三角形面积公式完成求解.
7．【答案】B
【知识点】线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB=6m，BC=8m，AC=9m，
∴EF=BC=4m，BE=AB=3m，CF=AC=4.5m，
∴需要篱笆的长=4+3+4.5+8=19.5m．
故选 B．
【分析】
先依据三角形中位线定理算出EF的长度，再结合三角形中点的性质分别求出BE、CF的长度，最后计算得到结果即可.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
∵，
∴加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，①错误；
∵，
∴，
加上，
∴，
∴，
∴四边形一定是平行四边形，②正确；
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形一定是平行四边形，③正确；
∵，
∴，，
加上，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，④错误，
综上，正确的是②和③．
故答案为：C.
【分析】加上，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，得四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，据此可判断①；加上，可推出，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABCD一定是平行四边形，据此可判断②；加上，利用AAS证出，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD一定是平行四边形，据此可判断③；加上，利用“SAS”证出，可得，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，得四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，据此判断④．
9．【答案】A
【知识点】勾股数；平行四边形的面积；勾股树模型
【解析】【解答】解：根据正方形的面积公式得：，，，
，
，
∵在中，，
，
，
．
故选：A．
【分析】
根据正方形的面积等于边长的平方，可得，，，结合题目给出的三个正方形面积和为8，可得到关系式。因为△ABC是直角三角形，根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即，将该式代入前面的面积和关系式中，整理可得。又因为，因此，据此即可得到结果.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，；
∵将沿折叠，点落在边上的点处，
∴，；
在中，由勾股定理得：
，
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即；
故选：B．
【分析】
首先根据折叠的性质可以得到，；接下来在中，利用勾股定理计算出的长度，由此进一步得到的长度；最后设，即可表示出的长度，在中利用勾股定理列出方程，就可以求解得到结果.
11．【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，则，
解得，
∴．
故答案为：2.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x=3，然后将x=3代入原等式可算出y的值.
12．【答案】5
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：因为点，
所以 ．
故答案为：5.
【分析】平面直角坐标系中，若两点M、N坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则，据此将A、B两点坐标分别代入计算可得答案.
13．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，.
即：1.73∴m的值为
故答案为：2.
【分析】需要掌握，的取值范围即可求出答案.
14．【答案】9
【知识点】多边形的对角线；一元一次方程的实际应用-几何问题；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，
由题意得：，
解得，
则该多边形的对角线的条数共有（条）．
故答案为：9.
【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形内角和为(n-2)×180°，该多边形的外角和为360°，然后根据“ 多边形的内角和等于它的外角和的两倍 ”列出方程求解得出n的值，进而根据n边形对角线的总条数为：列式计算即可.
15．【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，，
又∵，
，
，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：6．
【分析】 勾股定理结合正方形的面积可知，再结合，求出 ，然后根据正方形性质、平行线间的距离处处相等及三角形面积公式可得图中阴影部分的面积为，从而代值计算即可得出答案.
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴，
∵点H为DF的中点，
∴DH=FH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴GH＝EP＝2．
故答案为：2．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，由二直线平行，内错角相等得∠DPH＝∠FCH，由中点定义得DH=FH，CF=AE，从而由“AAS”证△PDH≌△CFH，由全等三角形的对应边相等得PD=CF，由线段和差算出AP，然后根据勾股定理算出PE，最后根据三角形的中位线定理即可求出GH的长.
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式乘除法法则计算二次根式的除法与乘法，同时根据二次根式的性质化简各个化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵三角形的三边分别为，
∴，即，
∴，
又∵为这个三角形的最大边，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】将已知等式左边前三项利用完全平方公式分解因式，根据偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，然后根据三角形三边关系求出第三边c的取值范围，进而结合c是三角形的最大边即可确定出C的取值范围.
19．【答案】（1）解：
，
，
（2）解：设，则，
，
，
，
解得：
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，利用勾股定理直接可算出BC的长；
（2）设，则，在Rt△ACD中，利用勾股定理表示出AC2，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出答案．
（1）解：
，
，
（2）设，则，
，
，
，
解得：
20．【答案】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，
∴，
∴
．
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）按照题干给出的解题步骤推导，就可以得到答案。
（2）结合第一问得到的结论，对式子化简，可以得到，最后去掉括号、合并同类项，即可求出结果。
（3）根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，可以得 ，再结合二次根式的性质对原式化简计算，就可以得到最终答案.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）依据平行四边形ABCD的性质可知，对边平行且对角线互相平分，由此可以得到对应角相等、对应边相等，利用ASA全等判定定理即可证明△DOF≌△BOE；
（2）由第一问的全等结论可以得到对应边相等，结合平行四边形对角线原本的平分关系，可推导出四边形BEDF的对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证出结论.
22．【答案】（1）解：∵四边形为长方形，米，
∴米，，
在中，米，米，
∴米，
∴米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升7米，
∴此时米，
∵长度不变，即米，
∴米，
∴再放出米的线．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）根据长方形的对边相等可得米，由长方形每一个内角都是直角及邻补角得，在中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据AD=AC+CD即可算出答案；
（2）易得AC=16米，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB=20米，然后用20-15即可求出需要放出的线长.
（1）解：∵四边形为长方形，米，
∴米，，
在中，米，米，
∴米，
∴米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升7米，
∴此时米，
∵长度不变，即米，
∴米，
∴再放出米的线．
23．【答案】（1）证明：
∵E为 AD 的中点，
∴AE=DE。
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB 中，
∠AFE=∠DBE
∠AEF=∠DEB
(对顶角相等）
AE=DE
∴
∴AF=BD。
又∵AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形。
（2）解：添加，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）通过平行线的性质可得角相等，结合对顶角相等与点E为AD中点得到的边相等，可证，根据全等三角形对应边相等得到，再结合，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证出结论；
（2）添加条件，首先由（1）的结论可知且，结合条件可得且，即可证明四边形是平行四边形；再根据∠BAC=90°，D为BC中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出四边形ADCF是菱形．
（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：添加，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．
24．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
四边形是矩形．
（2）证明四边形是菱形，，
四边形是正方形．
，，．
．
由（1）知四边形是矩形，
四边形是正方形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】
（1）已知，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可先判定四边形是平行四边形；再结合菱形的性质可推出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形是矩形；
（2）当时，先证明四边形是正方形，由此可得，结合（1）中已证四边形是矩形，根据一组邻边相等的矩形是正方形，即可证明四边形是正方形。
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
四边形是矩形．
（2）证明四边形是菱形，，
四边形是正方形．
，，．
．
由（1）知四边形是矩形，
四边形是正方形．
25．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明：如图，延长，交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=CD，∠ADC=∠BCD=90°，从而利用“SAS”证明△ADG≌△DCE，由全等三角形的对应角相等得∠DAG=∠CDE，由直角三角形两锐角互余、等量代换可求出∠CDE+∠AGD=90°，由三角形的内角和定理得出∠DFG=90°，从而即可得出结论；
（2）延长AB，DE交于点H，由正方形性质得AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠HBE=∠C，∠H=∠CDE，从而用“AAS”证明△BEH≌△CED，由全等三角形的对应边相等可得BH=CD=AB，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB=BF.
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明：如图，延长，交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：
如图，连接．
四边形是正方形，
，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，
如图，过点作，交于点，则，
由（1）得，
，
，，
在中，．
由（1）得，
，
同（1）得，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）△AFG是等腰直角三角形，理由如下：连接CF，由等腰直角三角形的性质得CF⊥DE，CF=DF，∠ECF=∠CDF=45°，由正方形性质及角的构成可推出∠ADF=∠GCF=135°，由同角的余角相等推出∠AFD=∠GFC，从而利用“ASA”证△ADF≌△GCF，由全等三角形的对应边相等得出AF=GF，从而根据等腰直角三角形的定义即可得出结论；
（2），证明如下：过点F作FH⊥DE，交DG于点H，易得DF=HF，，∠ADF=∠GHF=135°，同（1）得∠AFD=∠GFH，从而用“ASA”证△ADF≌△GCF，由全等三角形的对应边相等得AD=GH，然后根据线段构成及等量代换可得结论.
（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：
如图，连接．
四边形是正方形，
，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，
如图，过点作，交于点，则，
由（1）得，
，
，，
在中，．
由（1）得，
，
同（1）得，
在和中，
，
，
，
．
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