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第二十八章《 旋转》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
3．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（ ）
①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点成中心对称，则点的对称点的坐标是______．
12．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________．
13．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ．
14．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________．
15．如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________．
16．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
18．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．
(1)E是线段的___________，点A与点F关于点___________成中心对称；
(2)若，求证：是等腰三角形．
19．在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点，的对应点分别为点，，连接．
(1)如图①，当点落在的延长线上时，求．
(2)如图②，连接，交于点．当时，证明四边形是平行四边形．
20．如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置．
(1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？
(2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由．
21．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上．
(1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________；
(2)的度数是______________；
(3)若，，求的长．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
(1)试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
(2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________；
(3)请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________．
23．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长．
(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，可得 ，推出，三边之间的数量关系是 ，即可求得 ；
(2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由；
(3)如图③，在中，，点为内一点，连接，且，求的值．
24．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转．
(1)【问题发现】
①线段，之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________．
(2)【类比迁移】
如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
(3)【拓展应用】
如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长．
25．（1）特殊情况，探索结论：
在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____
在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____
在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____
（2）特例启发，引发思考：
点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢
定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”．
①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____；
②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标；
（3）拓展结论，思维提升：
已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
2．D
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
3．B
解：由旋转可得，，，
∴是等腰三角形，
∴．
4．C
解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称，
该对弈图的对称中心为网格的中心点，
左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称，
要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称，
观察图形可知，白方落子应在C点．
5．A
∵是等边三角形，
∴，，
当时，点绕点顺时针旋转，
∵且，
∴点的对应点与点重合点的对应点为，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴与(即)关于对角线的中点成中心对称，
故符合题意．
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
6．D
解：①∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知：
点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意；
②由中心对称的性质可得：，，，
∴，原说法正确，故符合题意；
③∵与成中心对称，点是对称中心，
∴线段与关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意．
故选：D．
7．B
解：如图，．
故选：B．
8．C
解：如图，
∵，
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点顺时针转动，
∴，，，，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵，
∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为．
9．C
解：反比例函数的图象经过点，
，即，
四边形是矩形，，
，且平行于轴，
故上点的纵坐标均为，
点在边上，
点的纵坐标为，
点与点关于点成中心对称，
点是线段的中点，
设，则，
解得，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
点的坐标为．
10．A
解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D，
∵是正三角形，
∴，，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，故结论②正确，符合题意；
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，故结论③正确，符合题意；
四边形的面积为：，
过点O作，
∵是等边三角形，
，
，
，
∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意；
如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且，
同结论④证明过程可求得：，，
∴，故结论⑤正确，符合题意；
综上所述：结论①②③⑤正确
二、填空题
11．
解：四边形与四边形关于原点成中心对称，
点与点关于原点成中心对称．
关于原点成中心对称的点的横、纵坐标分别互为相反数．
点的坐标为，
点的坐标为．
12．
解：反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，
∴点、关于原点中心对称，
即，
∵轴于点C，轴于点D，
∴，
∴ ．
∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴的横坐标为．
将代入反比例函数，得，
因此点的坐标为．
13．5
解：连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
由旋转得：，，
∴．
14．32
解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴，
∴正方形的面积，
根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，
∴阴影的面积是图中正方形面积的一半，
∴阴影部分的面积．
15．
解：直线绕原点逆时针旋转得到直线，
设抛物线与轴的交点为，
时，，
，
设点，由题意得，，
，
（负值舍去），
∴点的坐标为．
16．或
解：如图，连接，
∵是等边三角形，点D为边中点，，
∴，，，
∴，
∵为直角三角形，
∴当点P在线段上时，如图，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，如图，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
三、解答题
17．（1）解：由旋转的性质得：，，
∴．
（2）解：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
(2)
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰三角形．
19．（1）解：∵点落在的延长线上，
∴，
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
(2)证明：由旋转的性质可得，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20．（1）解：可看成绕点D顺时针旋转得到．
理由如下： ∵经过旋转到了的位置，
∴，．
∵为斜边上的高，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴绕点D顺时针旋转得到．
(2)解：，理由如下：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵是斜边上的高，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
21．（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到，
∴旋转中心是点B，旋转角为，
∵四边形为正方形，
∴，
即旋转角的度数是；
（2）解：∵将绕点B顺时针旋转到，
∴，，，
∴，
∴；
（3）解：根据解析（2）可得：，，，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
的长为3．
22．(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；点的坐标为
（3）解：∵点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点D，
∴可由平移得到，即，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，平行四边形是中心对称图形，
∴平行四边形的中心坐标为，
当直线经过平行四边形的中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，
∴将代入直线，
∴，解得：．
23．（1）解：∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
∴；
(2)解：理由如下：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，
则，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即；
（3）解：∵，
∴，
由勾股定理得，
分别将绕点A逆时针旋转，得到，如图，
则，，，
∴均是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
24．（1）①解：线段，之间的数量关系是，理由如下：
∵正方形，正方形，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
②解：线段，，之间的数量关系是，理由如下：
∵正方形，正方形，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∵正方形，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：线段，，之间的数量关系是，理由如下：
∵矩形，矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；，
∴垂直平分；
∴；
∵矩形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当点E在线段上时，
，，
，
延长到点G；使，连接,，
∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分；
∴；
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
解得；
当点E在线段的反向延长线上时，
，，
，
延长到点Q；使，连接,，
∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分；
∴；
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
解得；
综上所述，的长为或；
25．解：（1）点A关于原点O对称的坐标为；
设点B关于对称的点的坐标为，则有，
则，即点B关于对称的点的坐标为；
同理可求得点C关于点对称的点的坐标为；
故答案为：，；
（2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：，
化为一般式为：；
故答案为：；
②，其顶点坐标为，
此点平移后的坐标为，
把代入中，得：，
解得：，即，
∴的顶点坐标为，
由中点公式得：，
∴；
（3），其顶点坐标为，
它关于M的对称点的坐标为，
∴的解析式为：；其最大值为；
当时，；当时，；
当时，在时，函数值随自变量的增大而减小，
最大值为，最小值为，
由题意得：，解得；
当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或，
由题意得：或，
解得：或，
它们均不符合题意；
当时，在时，函数值随自变量的增大而增大，
最小值为，最大值为，
由题意得：，解得：；
综上，t的取值为2或．

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