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第二十八章《旋转》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是
A．国旗上升的过程 B．球场上滚动的足球
C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西
2．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树 B．②分形树
C．③谢尔宾斯基三角形 D．④雪花
3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与关于点成中心对称，有以下结论：
①点与点是对称点；②；
③；④．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ）
A． B．18 C． D．24

题4图 题5图 题6图
7．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是原点，，将绕逆时针旋转得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（ ）
A．8 B．8 C． D．
题7图 题8图 题9图
10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图所示的四角风车至少旋转__________°就可以与原图形重合．
12．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为_______．
13．如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则图中阴影部分的面积是_________.
题11图 题12图 题13图
14．如图，在中，，，P为内一点，且，，，则的面积为______．
15．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则__________．
题14图 题15图
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________．
17．如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上．
(1)直接写出旋转中心和旋转角；
(2)若正方形的边长是1，直接写出的长．
18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长．
20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．

(1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离；
(2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号）
21．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接．
求：①旋转角的度数　　；
②线段的长　　；
③求的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）．
(1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．
①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值．
(2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____．
23．二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
(1)二次函数的表达式为________，点的坐标为_________；
(2)如图①，是二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
(3)如图②，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标．
(4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意；
B、球场上滚动的足球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意；
C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意；
D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意．
【点睛】本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点 旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
2．D
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
3．D
解：点关于原点对称的点的坐标为．
4．B
解：根据图形旋转的性质可知，
∴．
5．C
解：∵与关于点成中心对称，
∴≌，
∴点与点是对称点，，，，
故①②③正确．
6．A
解：在中，，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的周长为．
7．A
解：如图，设与x轴相交于C，
∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴在中，，
，
∵，即轴，且在第四象限，
∴点的坐标为．
8．B
解：如图作轴于，轴于．
∴，
∵将绕逆时针旋转得，
∴，，
，，
∴，
∴，
∴，，
∵的坐标为，
∴，，
∴点坐标，
9．C
解：过点D作，，连接、交于点O．

由题意知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
旋转过程中，菱形的高不变，底变化，
当两张纸片垂直时，即时，底边最短，此时面积为：，
10．D
解：连接，如图所示：
由题意得：，
∴，
∴，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确；
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，故②正确；
作，如图所示：

则，
∴，
∴
∴四边形的面积，故③正确；
将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：

同理可得：是等边三角形，，，
则，
∴，
∴
∴，故④正确；
二、填空题
11．90
解：如图所示，∠AOB即为所求，
由题意得，∠AOB=90°，
∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合，
12．
解：∵将绕点逆时针旋转°得到．
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，则∠AHB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
，
∴S平行四边形ABCD＝BC AH＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴S△AOF＝S△COE，
∴图中阴影部分的面积＝×S ABCD＝，
故答案为：
14．
解：如图，
把绕点逆时针旋转90°得到，
根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，
，，
，
，
在直角三角形中
故答案为：．
15．
解：∵一段抛物线：，
∴图象与x轴交点坐标为：，，
∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；
∴，，，
∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为，
∵
∴的解析式为，
∴当时，．
三、解答题
16．(1)如图所示．
（2）解：，
向右平移5个单位，再向下平移2个单位．
即每个点的横坐标加5，纵坐标减2．
，
．
17．（1）解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为；
（2）解：∵正方形的边长是1，
∴，，
∴，
∴的长为．
18．(1)证明：由题意，得，，
，
，
平分；
（2）解：由题意，得，，
，，
，
，
，
．
四、解答题
19．（1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，
又∵，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝90°，
由勾股定理得，
∵△AEC≌△ADB，
∴EC＝DB＝．
20．（1）解：如图，连接，由题意得，
是等边三角形，
，
故点与点之间的距离为．
（2）解：过点作于点，垂足为点，且与交于点．
由题易得四边形为矩形，
，
由（1）可知，则
答：点到的距离为．
21．解：（1）①；②4；③；
①为等边三角形，
，
绕点B顺时针旋转后得到，
，
旋转角的度数为；
②绕点B顺时针旋转后得到，
，
而，
为等边三角形；
；
③为等边三角形，
，
绕点B顺时针旋转后得到，
，
在中，，
，
，
为直角三角形，，
；
（2）解：当满足时，
．理由如下：
绕点B顺时针旋转后得到，
，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，，
，
当满足时，．
五、解答题
22．（1）①．理由如下：设分别交，于点，
∵四边形与四边形均为正方形，
．
，即，
，
，
．
，
．
②如图3，过点作于，过点作直线于，
，
，
又，
，
，
，
当有最大值时，四边形面积有最大值，
即当时，有最大值为，
四边形面积的最大值为；
（2）解：如图4，连接，，
点，，，分别是，，，的中点，
，，，，，，，，
由（1）知，，
，
四边形为菱形，
由（1）知，
∵，，
∴，即，
菱形为正方形；
如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上，
此时正方形的面积最大，
，
．
23．（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴．
故答案为：；．
（2）如图1，如图2，连接，，设是的垂直平分线，
∴，
∵二次函数的图像与轴交于点，
∴，且对称轴，
∵点是该二次函数图像的对称轴上一个动点，设，
又∵，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
（3）如图3，设交抛物线的对称轴于点，
设点，
∵点是的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或．
（4）旋转后点、两个顶点在抛物线上，设，
∵，，
∴点向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点重合，
∵将绕点沿逆时针方向旋转后得到，
即线段绕点沿逆时针方向旋转后可得到，
∴点向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点重合，
∴，
∴，
解得：．
∴点的横坐标为．

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