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第三章《圆》章节测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定
2．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
3．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
7．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．下列命题中，不正确的是________
①圆心角相等，所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的弧是等弧
④等弧所对的圆周角相等 ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等．
10．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________．
11．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____．
12．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________．
13．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______
14．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______．
15．如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________．
16．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）．
17．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号）
18．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________．
三、解答题（共9小题，共64分）
19．（5分）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，．
(1)求的度数．
(2)若，求的长．
20．（5分）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点．
(1)求的度数．
(2)求证：．
21．（6分）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米．
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
22．（6分）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分．
(1)求证：；
(2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长．
23．（8分）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、．
①求证的形状，并说明理由；
②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积．
24．（6分）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接．
(1)求和的大小；
(2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积．
25．（7分）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图，已知经过点，画出所在圆的圆心；
(2)在图中找一格点，使（找出一个符合条件的格点即可）；
(3)在图中，正方形网格中的圆经过格点，画出该圆的圆心．
26．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
27．（9分）【材料阅读】
如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值．
解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为．
(1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值．
【迁移拓展】
(2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长．
(3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵的半径为，，且，
∴点A在外．
2．C
解：，，
，，
，
在中，，
．
3．B
解：设与交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，为半径，
∴，
∴，
∴．
4．D
解：设该圆锥的底面半径为，
∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴，
解得，
即该圆锥的底面半径为．
5．D
解：四边形是正方形，
，，
，是圆的切线，
与圆切于点，
根据切线长定理有，，
设，
则，，
四边形是正方形，
，
三角形是直角三角形，
在三角形中由勾股定理得：
，
，
，
，
．
6．B
解；∵分别和切于两点，
∴，
∵过C作的切线分别交于．
∴，
∴，
∴的周长为12，
∴，
∴
7．C
解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接，
多边形为正六边形，
圆心角
正六边形的边长为，
圆的半径
为等边三角形
过点作于点，则
在中，
阴影部分的面积．
8．C
解：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
画出的图象如图，
∵当与点重合时，，当点与点重合时，，
∴是过和的曲线，
由图象可知，当时，，当时，，
即当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是或.
二、填空题
9．①②③
解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确；
②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确；
③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确；
④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确；
⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确．
综上所述，不正确的是①②③．
10．5
解：设两条直角边分别为，，斜边为．
由勾股定理得：．
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴外接圆直径为，
∴外接圆半径为．
11．
解：在优弧上任取一点，连接，．
，
，
四边形内接于 ，
，
．
12．36
解：∵点是正五边形的中心，
，．
，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
∴，.
13．
解：设矢长为米，
由题意可得，，
整理得，
解得（不合题意，舍去）
∴矢长为米，
设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米，
∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．
∴,即，
如图，连接过点作，
∵，米，
∴米
在中，，
∴，
解得米，
即弧田弧所在的圆的半径为米．
14．
解：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
15．
解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则的长是最短的路线长，
底面半径是2，
底面圆的周长为，
即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为，
圆锥的母线长是8，
圆锥侧面展开得到的扇形半径为8，
设圆锥侧面展开的扇形圆心角为，则，
解得，
即扇形的圆心角为．
，
在中，由勾股定理得，
即最短的路线长是．
16．68.56
解：
答：圆心所经过的路线长度是．
17．①②④⑤
解：平分，垂直，垂直，则，
即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确；
在直角三角形中，，故③错误；
如图，连接，
，
，
，
，垂直，垂直，
，
，故⑤正确；
，
，
，
，
弧等于弧，故④正确；
其中结论正确的是①②④⑤．
18．
解：连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示，
，
，
，
，
，
∴的最小值为2．
三、解答题
19．（1）解：连接．
∵，且为的半径，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
20．（1）解：是正五边形的外接圆，
根据圆周角定理可知，，
．
(2)证明：由（1）可知，，
．
根据圆周角定理可知，，
，
．
21．（1）解：连接，
由题意得：米，米，
在中，有，解得米；
（2）解：连接．
米，
∴在中，（米），
米．
，
∴不需要采取紧急措施．
22．(1)证明： 是的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意可得，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
四边形是矩形，
．
23．(1)过点作于点，连接、．
∵是等腰三角形，是底边中点，
∴，且平分．
∵与相切于，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴也等于的半径，
∴是的切线．
(2)①是等腰直角三角形，证明如下：
∵是的直径
∴．
∵平分，
∴．
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形．
②连接，
∵在中，，，，
∴，
∴的半径．
∵平分，
∴，
∴．
∴扇形的面积：．
∵的面积：：
∴．
24．（1）解：∵是的直径，，是的两条切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵为直径，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于，在Rt中，，
∴的面积．
25．(1)解：如图，点即为所求；
(2)解：如图，点（或）即为所求（写一个即可）；
(3)解：如图，设过点的网格线分别交圆于点，，过点的网格线分别交圆于点，，连接，，相交于点，
由网格可得：，，
∴和均为圆的直径，
∴点为该圆的圆心．
26．(1)证明：连接、，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
(2)证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接、，
由（1）知，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
在中，根据勾股定理得，，
由（2）知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴，
又∵为的直径，，
∴，，
∴，
整理得，，
即
又∵，
∴，
整理得，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍），
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴．
27．（1）解：如图，作以为直径的，
，
．
，
．
，
点P在以为直径的上．
∴连接交于点P，此时最小．
点O是的中点，，
，
在中，，，，
，
的最小值为；
（2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
点P在运动中保持，
点P的运动路径是以为直径的圆的弧，
点P的运动路径长为．
（3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，
∵是边上的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
，
．
在中，，
，
，O为圆心，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．

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