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有理数及其运算 单元强化提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·永兴月考）2025年浙江省常住人口约万，若将其用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七上·宁波期中） 如图所示的数轴上，点A 表示的数为 ，点B到点A 的距离为2个单位长度，则点B 所表示的数为（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2025七上·缙云期中）已知下列大小关系中正确的是（　　）
A．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c
4．（2025·长春模拟）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·钱塘二模）在有理数—1，-2，0，1中，最小的数是(　　)
A．-1 B．-2 C．0 D．1
6．（2025七上·金华期中） 已知[x]表示不大于x的最大整数， 如： [3.6]=3，[-0.9]=-1. 现定义： {x}=x-[x]， 如：{1.6}=1.6-[1.6]=0.6， 则计算{4.9}-[-1.8]的结果为 (　　)
A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1
7．（2025七上·诸暨期中） 已知： 且 abc>0， a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=(　　)
A．4 B．6 C．9 D．11
8．（2025七上·横州月考）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七上·杭州期中）代数式|a-1|-1的最小值是（　　）
A．0 B．-1 C．1 D．2
10．（2025七上·越秀月考）已知a，b，c是有理数，当 ， 时，求 的值为（　　）
A．1或-3 B．1，-1或-3
C．-1或3 D．1，-1，3或-3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·拱墅一模）计算：（-1）+（-3）=　 　.
12．（2026七上·罗湖月考）比较大小： 　 　 （用“＞或=或＜”填空）．
13．（2025七上·江阳期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示的数，且点A，点B之间的距离为3，点C为线段的中点，则点C表示的数是　 　．
14．（2025七上·兰州期中）小于的最大整数为　 　．
15．（2025七上·深圳期中）已知，为有理数，定义新运算：，则　 　．
16．（2025七上·新会月考）已知a、b为有理数，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　 　．（把正确结论的序号都填上）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·兰州期末）计算
（1）
（2）
18．（2025七上·嘉兴期中）方方与圆圆两位同学计算的过程如下：
方方 ① ② ③ ④ 圆圆 ① ② ③
（1）以上计算过程中，方方开始出错是第　 　步，圆圆开始出错的是第　 　步；
（2）写出你的计算过程．
19．（2025七上·温州期中）浙篮球比赛正在火热进行中，每场比赛一支球队上场名运动员，若每个人的身高以厘米为基准，实际身高超过基准的厘米数记为正数，不足基准的厘米数记为负数，并将其称为身高波动值，记录如表：
运动员 ① ② ③ ④ ⑤
身高波动值（）
（1）身高最高的运动员比最低的运动员高多少厘米？
（2）求这名运动员的平均身高．
20．（2025七上·舟山期中）(6分)周末小明-家打算去露苔基地野餐，路线图如下：
家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露苔基地：
这条路线近似看成东西走向，如果规定向东为正，向西为负，他这天滴滴车行车里程(单位： km)如下：-3， +6， +2.5， - 5， - 12.滴滴车价目表： 起步价(不超过3km时)车费8元， 超过3km时， 超出部分每千米车费加价2元.
（1）求露营基地在家的哪个方向，并求出露营基地与家的距离；
（2）计算炸鸡店到面包店所用的车费.
21．（2025七上·惠来月考）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题
；
；
．
请你想一想：
（1）______，______；
（2）若，那么______；（填入“”或“”）
（3）计算：．
22．（2025七上·缙云期中）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售.原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）.
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 -2 -5 +6 -8 +22 -7
（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱
（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有
（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费6元/箱，那么该果农本周总共收入多少元
23．（2024七上·沅江开学考）点，在数轴上所对应的数分别是，，其中，满足．
（1）求，的值；
（2）数轴上有一点，使得，求点所对应的数；
（3）点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是　 　；的最小值是　 　；取最小值时，点对应的数的取值范围是　 　．
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有理数及其运算 单元强化提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·永兴月考）2025年浙江省常住人口约万，若将其用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：万，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，的绝对值等于小数点移动的位数 ．
2．（2025七上·宁波期中） 如图所示的数轴上，点A 表示的数为 ，点B到点A 的距离为2个单位长度，则点B 所表示的数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】【解答】解：∵数轴上点A表示的数为 点 B到点A的距离为2个单位长度，
∴点B表示的数为 或
故答案为： 或
故选： C.
【分析】由题意，根据点A在数轴上表示的数是 点B到点A的距离为2个单位长度，即可得出答案.
3．（2025七上·缙云期中）已知下列大小关系中正确的是（　　）
A．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c
【答案】D
【解析】【解答】解：已知
故答案为：D.
【分析】先计算出各数的值，再比较出其大小即可.
4．（2025·长春模拟）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：当填入加号时：
当填入减号时：
当填入乘号时：
当填入除号时：
故这个运算符号是乘号；
故选：C
【分析】本题以有理数运算为背景，考查了加减乘除四种运算的结果比较。分别计算：(-1)+(-2)=-3，(-1)-(-2)=1，(-1)(-2)=2，(-1)(-2)=，其中乘法结果最大.
5．（2025·钱塘二模）在有理数—1，-2，0，1中，最小的数是(　　)
A．-1 B．-2 C．0 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，|-2|=2，
∴-2<-1，
∴有理数-1，-2，0，3的大小关系为-2<-1<0<3.
故答案为：B.
【分析】0大于任何负数，小于任何正数；负数的绝对值越大，这个数就越小.
6．（2025七上·金华期中） 已知[x]表示不大于x的最大整数， 如： [3.6]=3，[-0.9]=-1. 现定义： {x}=x-[x]， 如：{1.6}=1.6-[1.6]=0.6， 则计算{4.9}-[-1.8]的结果为 (　　)
A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵（不大于的最大整数），
∴．
故答案为：C .
【分析】根据新定义，先分别计算 和，再求它们的差．
7．（2025七上·诸暨期中） 已知： 且 abc>0， a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=(　　)
A．4 B．6 C．9 D．11
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数，
又∵，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
当，则，，，
∴
；
当，则，，，
∴
；
当，则，
∴
；
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案．
8．（2025七上·横州月考）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴
∴最接近标准质量的是
故答案为：C．
【分析】先求出选项之间数据的绝对值的大小，再求解即可.
9．（2025七上·杭州期中）代数式|a-1|-1的最小值是（　　）
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即 代数式|a-1|-1的最小值是 -1，
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性，确定 代数式|a-1|-1的最小值 .
10．（2025七上·越秀月考）已知a，b，c是有理数，当 ， 时，求 的值为（　　）
A．1或-3 B．1，-1或-3
C．-1或3 D．1，-1，3或-3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 、 、 ，
∵ ，
∴a、b、c三数中有2个正数、1个负数，
则 ，
若a为负数，则原式=1-1+1=1，
若b为负数，则原式=-1+1+1=1，
若c为负数，则原式=-1-1-1=-3，
所以答案为1或-3．
故答案为：A．
【分析】根据 ， ，可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数，把 变形代入代数式求值即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·拱墅一模）计算：（-1）+（-3）=　 　.
【答案】-4
【解析】【解答】解：根据有理数的加法法则：
(-1)+(-3)=-4.
故答案为：-4.
【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据有理数的加法法则进行计算即可.
12．（2026七上·罗湖月考）比较大小： 　 　 （用“＞或=或＜”填空）．
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵ ＞ ，
∴ ＜ ；
故答案为：＜．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．
13．（2025七上·江阳期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示的数，且点A，点B之间的距离为3，点C为线段的中点，则点C表示的数是　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：由题意可知：，
设点表示的数为，
点表示的数是，
，
即，
解得或，
当时，设点表示的数为，
点是的中点，
，
当时，设点表示的数为，
点是的中点，
，
综上所述，点所表示的数为或．
故答案为：或．
【分析】根据数轴表示数的方法以及数轴上两点的距离的计算方法求出点所表示的数，再根据线段中点的定义进行计算即可．
14．（2025七上·兰州期中）小于的最大整数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
∵，
∴小于的最大整数是．
故答案为：．
【分析】先利用有理数的乘方计算，再求出，从而得解.
15．（2025七上·深圳期中）已知，为有理数，定义新运算：，则　 　．
【答案】23
【解析】【解答】解：对于，
，；
对于，
，；
因此．
故答案为：．
【分析】根据新运算，结合有理数的乘法，减法即可求出答案.
16．（2025七上·新会月考）已知a、b为有理数，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　 　．（把正确结论的序号都填上）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，，，故①错误，②正确，
∴，，故③④正确，
故答案为：②③④．
【分析】本题主要考查了绝对值的定义与运算、有理数的乘法运算法则、以及有理数的比较大小，根据，得到，，进而求得，，，，结合题意，逐个分析判断，即可得到答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·兰州期末）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七上·嘉兴期中）方方与圆圆两位同学计算的过程如下：
方方 ① ② ③ ④ 圆圆 ① ② ③
（1）以上计算过程中，方方开始出错是第　 　步，圆圆开始出错的是第　 　步；
（2）写出你的计算过程．
【答案】（1）②；①
（2）解：
【解析】【解答】解：（1）正确的计算顺序是：先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法，所以以上计算过程中，方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步，
故答案为：②，①．
【分析】(1)由有理数乘方的运算法则，同级运算法则，即可判断；
(2)由有理数混合运算的运算法则，即可计算.
19．（2025七上·温州期中）浙篮球比赛正在火热进行中，每场比赛一支球队上场名运动员，若每个人的身高以厘米为基准，实际身高超过基准的厘米数记为正数，不足基准的厘米数记为负数，并将其称为身高波动值，记录如表：
运动员 ① ② ③ ④ ⑤
身高波动值（）
（1）身高最高的运动员比最低的运动员高多少厘米？
（2）求这名运动员的平均身高．
【答案】（1）解：（厘米），
∴身高最高的运动员比最低的运动员高厘米；
（2）解：
（厘米），
∴这名运动员的平均身高为厘米．
【解析】【分析】（）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数计算即可；
（）利用180加身高波动的平均数计算即可；
（1）解：（厘米），
答：身高最高的运动员比最低的运动员高厘米；
（2）解：
（厘米），
答：这名运动员的平均身高为厘米．
20．（2025七上·舟山期中）(6分)周末小明-家打算去露苔基地野餐，路线图如下：
家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露苔基地：
这条路线近似看成东西走向，如果规定向东为正，向西为负，他这天滴滴车行车里程(单位： km)如下：-3， +6， +2.5， - 5， - 12.滴滴车价目表： 起步价(不超过3km时)车费8元， 超过3km时， 超出部分每千米车费加价2元.
（1）求露营基地在家的哪个方向，并求出露营基地与家的距离；
（2）计算炸鸡店到面包店所用的车费.
【答案】（1）解：（1）﹣3+6+2.5﹣5﹣12＝﹣11.5（千米），
即露营基地在家的西边，露营基地与家的距离为11.5千米；
答：露营基地在家的西边方向，与家的距离11.5km
（2）（2）8+（6﹣3）×2
＝8+3×2
＝8+6
＝14（元），
即炸鸡店到面包店所用的车费为14元．
答：炸鸡店到面包店所用的车费为14元
【解析】【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可；
（2）根据题意列式计算即可
21．（2025七上·惠来月考）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题
；
；
．
请你想一想：
（1）______，______；
（2）若，那么______；（填入“”或“”）
（3）计算：．
【答案】（1）11；
（2）
（3）解：．
【解析】【解答】（1）解：∵；；，
∴，．
故答案为：11；．
（2）解：若，，，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据题干中的定义列出算式，再利用有理数的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用题干中的定义分别求出和，再比较大小即可；
（3）利用题干中的定义及计算方法先求出括号内的，再求括号外的.
（1）解：∵；；，
∴，．
故答案为：11；．
（2）解：若，，，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）解：．
22．（2025七上·缙云期中）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售.原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）.
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 -2 -5 +6 -8 +22 -7
（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱
（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有
（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费6元/箱，那么该果农本周总共收入多少元
【答案】（1）解：10×5+4-2-5+6-8=45(箱)，
答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱；
（2）4-2-5+6-8+22-7=10>0，
答：达到了计划数量.
（3）解：由题意得：（70+10）×（80-6）=5920（元），
答：总收入5920元.
【解析】【分析】(1)将前五天的销售量相加即得结论；
(2)将表格中记录的数据相加得出结果，与0作比较解答即可；
(3)利用本周的总收入减去总运费解答即可.
23．（2024七上·沅江开学考）点，在数轴上所对应的数分别是，，其中，满足．
（1）求，的值；
（2）数轴上有一点，使得，求点所对应的数；
（3）点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是　 　；的最小值是　 　；取最小值时，点对应的数的取值范围是　 　．
【答案】（1）解：，，．
．
（2）解：设点的坐标为，
当时，
，
，
解得：．
当时，
，
不合题意．
当时，
，
解得：．
使得，点所对应的数为或．
（3）8；-1；
【解析】【解答】解：（3）当P在AB之间时，|PA|＋|PB|＝[3-（-5）]＝8，
当P在A点左边时，|PA|＋|PB|＞8，
当P点在B点右侧时，|PA|＋|PB|＞8．
所以，|PA|＋|PB|的最小值是8．
因为D点是AB的中点，
所以D点所对应的数为-1．
DO的中点所对应的数为.
当P点为时，|PD| |PO|＝0．
当P点对应的数小于-1时，|PD|-|PO|＜0．
并且P点在D点左侧，|PD|-|PO|＝-1．
当P点对应的数大于0时，|PD|-|PO|＞0．
所以|PD|-|PO|的最小值为-1．
只有|PA|＋|PB|和|PD|-|PO|都取最小时，|PA|＋|PB|＋|PD|-|PO|才取取最小值．
也就是当-5≤a≤-1时，|PA|＋|PB|＋|PD|-|PO|取最小值．
即|PA|＋|PB|＋|PD|-|PO|取最小时，-5≤a≤-1．
故答案为：8；-1；-5≤a≤-1．
【分析】（1）根据两个非负数之和为0，这两个数都为0，就可以解出x、y.
（2）设M点所对应的值为m，在根据等式代入线段长，就可以求出m的值．
（3）先确定|PA|＋|PB|取最小时，P的范围，再确定|PD| |PO|取最小值时P的范围，最终确定|PA|＋|PB|＋|PD| |PO|取最小值时P的取值范围．
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