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实数 单元巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026·浙江竞赛）若 有意义，则 （　　）
A．a+b B．a-b C．- a+b D．- a-b
2．（2026八上·龙岗期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20 cm2，相邻两张正方形正方形纸片的边长均相差1 cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．（2026·河北模拟）估计的值在（　　）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
4．（2026八上·宝安月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·揭阳月考）下列说法错误的是　　
A．一个正数有两个平方根 B．一个负数的立方根是负数
C．0的算术平方根是0 D．平方根等于本身的数是0，1
6．（2025八上·邵阳期中）化简的结果是（　　）
A．42 B．43 C．44 D．45
7．（2025八上·南山期中）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·印江模拟）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
9．（2025·玄武模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C． D．
10．（2024八上·恩阳期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（　　）．
A． B．4 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·邵阳模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 .
12．（2026·衡阳模拟）计算：=　 　 .
13．（2026八上·双流期末）规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”.若是“最美实数”，则a的值是　 　 .
14．（2026八上·惠州期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为　 　．
15．（2025八上·平谷期末）已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为　 　．
16．（2024八上·平湖期末）如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·桥西期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___．
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
18．（2025八上·龙华期中）已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
19．（2026八下·桐乡市月考）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为．
（1）该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？
（2）若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
20．（2024七上·浙江期中）以下是小明与老师之间的对话：
小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？
老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即．
根据上述对话内容，解答下面的问题：
已知，其中是整数，且．
（1）________；________；
（2）求的值．
21．（2025八上·罗湖期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是
（1）的整数部分是______，的小数部分是______；
（2）数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即：
例如：比较与2的大小．
，又，
，
请利用上述“比差法”，比较与3的大小．
22．（2025八上·裕华期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为a．
（1）图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
（2）估计a的值在两个相邻整数m与n之间（），则______，______．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值（化为最简）．
23．（2025八上·深圳期中）爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，
，即，
，
．
请你根据小明的思维方法，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）已知：，求的值；
（3）计算：___________．
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实数 单元巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026·浙江竞赛）若 有意义，则 （　　）
A．a+b B．a-b C．- a+b D．- a-b
【答案】D
【解析】【解答】解：解：由条件可得
由 得 即
由 得 即
故选： D.
【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到a，b的取值范围，再利用二次根式的性质 化简求解.
2．（2026八上·龙岗期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20 cm2，相邻两张正方形正方形纸片的边长均相差1 cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 正方形的面积等于边长的平方，中间正方形面积为 ，
∴ 中间正方形的边长为 。
∵ 相邻两张正方形纸片的边长相差1cm，
∴ 最大正方形的边长为 ，最小正方形的边长为 。
根据平方差公式 ，计算面积差：
故答案为：D。
【分析】本题考查正方形面积公式、二次根式运算及平方差公式的应用，解题的关键是通过边长关系建立面积差的计算式。首先由中间正方形的面积求出其边长，再根据相邻正方形边长相差1cm，确定最大和最小正方形的边长表达式；最后利用平方差公式简化面积差的计算，避免复杂的完全平方展开，快速得出结果。
3．（2026·河北模拟）估计的值在（　　）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【解析】【解答】解：因为故，因此
故答案为：C.
【分析】得出的范围进而即可得出答案。
4．（2026八上·宝安月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法及二次根式的乘除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025八上·揭阳月考）下列说法错误的是　　
A．一个正数有两个平方根 B．一个负数的立方根是负数
C．0的算术平方根是0 D．平方根等于本身的数是0，1
【答案】D
【解析】【解答】解：A、一个正数有两个平方根，故A不合题意；
B、一个负数的立方根是负数，故B不合题意；
C、0的算术平方根是0，故C不合题意；
D、平方根等于本身的数只有0，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方根的性质可对A、D作出判断；利用立方根的性质可对B作出判断；利用算术平方根的性质可对C作出判断.
6．（2025八上·邵阳期中）化简的结果是（　　）
A．42 B．43 C．44 D．45
【答案】C
【解析】【解答】解：原式
．
【分析】 本题是二次根式混合运算，先完成分母有理化，再合并化简 ．
7．（2025八上·南山期中）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设点所对应的实数是，
由题意得：，
解得，
故选：D．
【分析】设点所对应的实数是，根据题意可得，从而得到，解方程即可得．
8．（2025·印江模拟）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，，且，
∴，
∴E的值在3和4之间．
故答案为：B．
【分析】将，数值代入得，根据，，且，得即可得答案.
9．（2025·玄武模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】
利用乘方的定义及二次根式的化简，即可作答．
10．（2024八上·恩阳期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（　　）．
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选：D．
【分析】观察已知等式，从中找出规律，再用n的式子表示出规律，然后利用规律求解求出的值，再进行求解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·邵阳模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 .
【答案】x≥2026
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义
∴x-2026≥0，
解得：x≥2026.
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解.
12．（2026·衡阳模拟）计算：=　 　 .
【答案】4
【解析】【解答】解：
=10-6
=4.
故答案为：4.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
13．（2026八上·双流期末）规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”.若是“最美实数”，则a的值是　 　 .
【答案】
【解析】【解答】解：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”
∴这个非零实数为1，
若是“最美实数”
则，
，
故答案为：.
【分析】根据“最美实数”的定义得出，即可求出a的值.
14．（2026八上·惠州期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
∵正方形的面积与长方形相等，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】
先计算长方形的面积为，再根据正方形面积等于长方形的面积为40，再根据40求边长，开方计算即可解答．
15．（2025八上·平谷期末）已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵a的平方根分别是与，
∴，解得，
∴，
则，
∵b是27的立方根，
∴，
∴，
则的算术平方根为，
故答案为：．
【分析】
先利用一个正数的两个平方根互为相反数且互为相反数的两个数的和为0这一性质，列出关于x的方程(
(2x 5)+(x 7)=0，求出x后进而得到a的值；再根据立方根的定义求出b的值；然后计算a 2b的值；最后依据算术平方根的定义求出a 2b的算术平方根。
16．（2024八上·平湖期末）如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，
∵当时，最短，
∴即为所求，
∵，是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故答案为：4．
【分析】作关于的对称点，即有，当三点共线且时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，先设，在中，利用勾勾股定理得到a2的值，然后利用等积法解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·桥西期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___．
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）
（2）解：与互为相反数，
，
，，
，，
，，
，
的平方根为．
【解析】【分析】（1）解：一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，
，
故答案为：.
【分析】(1) 由数轴上点的平移规律入手，数轴上点向右移动，用原数加上移动的单位长度；已知 A 点表示 2，向右爬行 2 个单位，直接列式求出 B 点表示的实数m.
(2) 由相反数的定义入手，两个数互为相反数，则相加等于 0；再结合绝对值、算术平方根的非负性，两个非负数相加为 0，则各自为 0，求出c、d的值；将c、d代入代数式2c+5d算出结果，最后根据平方根定义求出这个数的平方根.
（1）解：一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，
，
故答案为：；
（2）与互为相反数，
，
，，
，，
，，
，
的平方根为．
18．（2025八上·龙华期中）已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是2，
∴，
∵的算术平方根是1，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是4，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）解：∵，，，
∴．
∴的平方根为．
【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，估算无理数的范围即可求出答案.
（2）将a，b，c值代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
（1）解：∵的立方根是2，
∴，
∵的算术平方根是1，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是4，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）∵，，，
∴．
∴的平方根为．
19．（2026八下·桐乡市月考）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为．
（1）该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？
（2）若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长
（2）解：由题意，购买地砖需要花费
元，
答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元；
【解析】【分析】
首先利用二次根式的性质将和化为最简二次根式，然后代入矩形周长公式进行计算；
由题意可知，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解．
（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ；
（2）解：由题意，购买地砖需要花费
元，
答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元；
20．（2024七上·浙江期中）以下是小明与老师之间的对话：
小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？
老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即．
根据上述对话内容，解答下面的问题：
已知，其中是整数，且．
（1）________；________；
（2）求的值．
【答案】（1）10，；
（2）解：由（1）得，
∴原式，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴的整数为，
∵，
∴，
故答案为：10，.
【分析】（1）根据无理数的估算得到，从而得出，进而得出的值，于是可求得的值；
（2）把，的值代入进行计算即可．
（1）解：∵，
∴，
∴的整数为，
∵，
∴，
故答案为：10；；
（2）解：原式，
，
．
21．（2025八上·罗湖期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是
（1）的整数部分是______，的小数部分是______；
（2）数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即：
例如：比较与2的大小．
，又，
，
请利用上述“比差法”，比较与3的大小．
【答案】（1）
（2）解：．理由：
．
又，且，
．
，
即．
．

【解析】【解答】
（1）解：，，而，
，
的整数部分是5，小数部分为，
故答案为：5，；
【分析】
（1）根据算术平方根的定义，对无理数的大小进行估算即可；
（2）参照题目给出的示例方法进行计算解答即可.
（1）解：，，而，
，
的整数部分是5，小数部分为，
故答案为：5，；
（2）解：．理由：
．
又，且，
．
，
即．
．
22．（2025八上·裕华期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为a．
（1）图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
（2）估计a的值在两个相邻整数m与n之间（），则______，______．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值（化为最简）．
【答案】（1）13；.
（2）3；4.
（3）解：∵，
∴边长a的整数部分为，小数部分为，
∴．
【解析】【解答】解：（1）如图，
观察图形可得：，
∴，阴影部分正方形的边长a＝.
故答案为：13；.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；4.
【分析】（1）根据勾股定理，观察图形可得：，即可得，阴影部分正方形的边长a＝即可得答案.
（2）根据得即可得即可.
（3）根据得边长a的整数部分为，小数部分为，代入即可得
.
（1）根据题意可得：，
所以图中阴影部分的面积是，阴影部分正方形的边长a是；
故答案为：13，；
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：3，4；
（3）∵，
∴边长a的整数部分为，小数部分为，
∴．
23．（2025八上·深圳期中）爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，
，即，
，
．
请你根据小明的思维方法，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）已知：，求的值；
（3）计算：___________．
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）9
【解析】【解答】（3）解：，
∴
故答案为：（3）9；
【分析】（1）仿照题意，利用平方差公式将分母有理化，然后结合分式的性质“分子分母同时乘以同一个不为0的数或式子，分数值不变”，列式计算即可；
（2）根据（1）所求，变形得到，再将变形得到，最后代入计算即可；
（3）先计算得出，再把所求式子的每一项按照这种形式分母有理化后计算求解即可．
（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∴
．
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