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第一章 2 提公因式法 单元测试卷
（满分：100分 考试时间：90分钟）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 多项式 8a b + 12ab c 的公因式是（ ）
A. 4ab B. 8ab C. 2ab D. 4ab
2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. x - 1 = x(x - ) B. a(a - b) = a - ab
C. x + 2x + 1 = (x + 1) D. x - xy + x = x(x - y)
3. 把多项式 -6x y - 3x y + 12x y 分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A. 3xy B. -3x y C. 3x y D. -6x y
4. 多项式 m(a - 2) + n(2 - a) 分解因式的结果是（ ）
A. (a - 2)(m + n) B. (a - 2)(m - n)
C. (2 - a)(m + n) D. (2 - a)(m - n)
5. 下列因式分解中，正确的是（ ）
A. 5x - 10 = 5(x - 10) B. -a + ab = -a(a + b)
C. a + 2a + 1 = a(a + 2) + 1 D. x - x = x(x - 1)
6. 多项式 (x - y) + (y - x) 的公因式是（ ）
A. x - y B. x + y C. y - x D. (x - y)
7. 若多项式 x + mx + n 可分解为 x(x - 3)，则m、n的值分别是（ ）
A. m = 3，n = 0 B. m = -3，n = 0
C. m = 3，n = 9 D. m = -3，n = 9
8. 把多项式 3a(x - y) - 6b(y - x) 提取公因式后，另一个因式是（ ）
A. x - y - 6b B. x - y + 2b C. a - 2b D. a + 2b
9. 下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（ ）
A. x - x + 1 B. ab - ac + bc C. 3ma - 6mb D. x - xy
10. 利用因式分解计算：2024×25 + 2024×76 - 2024 的结果是（ ）
A. 202400 B. 20240 C. 2024000 D. 2024
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 多项式 15a b + 10a b 的公因式是________。
12. 分解因式：4x - 8 = ________。
13. 分解因式：-3x + 6xy = ________。
14. 分解因式：a(x - 3) + 2(x - 3) = ________。
15. 分解因式：m(n - 1) - (1 - n) = ________。
16. 若 a + b = 5，ab = 3，则 a b + ab 的值为________。
17. 分解因式：(a - b) - (b - a) = ________。
18. 已知 3x - kx + 3 = 3x(x - 1)，则k = ________。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分16分，每小题4分）把下列各式分解因式：
(1) 8a b - 12ab c (2) -5x + 10xy - 15x
2a(b + c) - 3(b + c) (4) x(x - y) - y(y - x)
20.（本题满分10分，每小题5分）利用因式分解进行简便计算：
(1) 125×37 + 125×63 (2) 2025 - 2025×2024
（本题满分6分）先分解因式，再求值：5x(y - 2) - 3(2 - y)，其中x = 2，y = 1。
22.（本题满分6分）已知 a - b = 7，ab = -12，求 a b - ab 的值。
23.（本题满分4分）若多项式 x + ax - b 可分解为 (x + 1)(x - 2)，求 a + b 的值。
24.（本题满分4分）求证：对于任意整数n，(2n+1) - (2n-1) 一定能被8整除。
第一章 2 提公因式法 单元测试卷（附答案）
（满分：100分 考试时间：90分钟）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 多项式 8a b + 12ab c 的公因式是（ ）
A. 4ab B. 8ab C. 2ab D. 4ab
【正确答案】A
【知识点】公因式的确定方法（三看法则）
【解析】系数8和12的最大公约数是4；相同字母为a、b；a的最低次幂是1，b的最低次幂是2，因此公因式为4ab 。
2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. x - 1 = x(x -)
B. a(a - b) = a - ab
C. x + 2x + 1 = (x + 1)
D. x - xy + x = x(x - y)
【正确答案】C
【知识点】因式分解的定义与提公因式法检验
【解析】A出现分式不是整式；B是整式乘法；C是因式分解；D漏项，应为x(x-y+1)。
3. 把多项式 -6x y - 3x y + 12x y 分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A. 3xy B. -3x y C. 3x y D. -6x y
【正确答案】B
【知识点】首项为负的公因式确定
【解析】首项为负，提取负号；系数6、3、12最大公约数是3；相同字母x最低次幂2，y最低次幂2，公因式为-3x y 。
4. 多项式 m(a - 2) + n(2 - a) 分解因式的结果是（ ）
A. (a - 2)(m + n) B. (a - 2)(m - n)
C. (2 - a)(m + n) D. (2 - a)(m - n)
【正确答案】B
【知识点】多项式公因式的提取（符号变形）
【解析】2-a=-(a-2)，原式=m(a-2)-n(a-2)=(a-2)(m-n)。
5. 下列因式分解中，正确的是（ ）
A. 5x - 10 = 5(x - 10)
B. -a + ab = -a(a + b)
C. a + 2a + 1 = a(a + 2) + 1
D. x - x = x(x - 1)
【正确答案】D
【知识点】提公因式法的正误判断
【解析】A应为5(x-2)；B应为-a(a-b)；C结果不是积的形式；D正确。
6. 多项式 (x - y) + (y - x) 的公因式是（ ）
A. x - y B. x + y C. y - x D. (x - y)
【正确答案】A
【知识点】多项式公因式的识别
【解析】(y-x)=-(x-y)，两项都含有因式(x-y)，因此公因式是x-y。
7. 若多项式 x + mx + n 可分解为 x(x - 3)，则m、n的值分别是（ ）
A. m = 3，n = 0 B. m = -3，n = 0
C. m = 3，n = 9 D. m = -3，n = 9
【正确答案】B
【知识点】因式分解与整式乘法的互逆关系
【解析】x(x-3)=x -3x，对比系数得m=-3，n=0。
8. 把多项式 3a(x - y) - 6b(y - x) 提取公因式后，另一个因式是（ ）
A. x - y - 6b B. x - y + 2b C. a - 2b D. a + 2b
【正确答案】D
【知识点】多项式公因式的提取与计算
【解析】原式=3a(x-y)+6b(x-y)=3(x-y)(a+2b)，另一个因式是a+2b。
9. 下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（ ）
A. x - x + 1 B. ab - ac + bc C. 3ma - 6mb D. x - xy
【正确答案】A
【知识点】提公因式法的适用条件
【解析】A各项没有公因式；B可分组提公因式；C公因式3m；D公因式x。
10. 利用因式分解计算：2024×25 + 2024×76 - 2024 的结果是（ ）
A. 202400 B. 20240 C. 2024000 D. 2024
【正确答案】A
【知识点】提公因式法的简便计算应用
【解析】原式=2024×(25+76-1)=2024×100=202400。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 多项式 15a b + 10a b 的公因式是________。
【正确答案】5a b
【知识点】公因式的确定方法
【解析】系数15和10的最大公约数是5；相同字母a最低次幂2，b最低次幂1，公因式为5a b。
12. 分解因式：4x - 8 = ________。
【正确答案】4(x - 2)
【知识点】提公因式法基本运用
【解析】提取公因式4，得4(x - 2)。
13. 分解因式：-3x + 6xy = ________。
【正确答案】-3x(x - 2y)
【知识点】首项为负的提公因式法
【解析】提取公因式-3x，注意括号内各项变号，得-3x(x - 2y)。
14. 分解因式：a(x - 3) + 2(x - 3) = ________。
【正确答案】(x - 3)(a + 2)
【知识点】多项式公因式的提取
【解析】提取公因式(x - 3)，得(x - 3)(a + 2)。
15. 分解因式：m(n - 1) - (1 - n) = ________。
【正确答案】(n - 1)(m + 1)
【知识点】符号变形后提取多项式公因式
【解析】1-n=-(n-1)，原式=m(n-1)+(n-1)=(n-1)(m+1)。
16. 若 a + b = 5，ab = 3，则 a b + ab 的值为________。
【正确答案】15
【知识点】提公因式法的整体代入求值
【解析】a b+ab =ab(a+b)=3×5=15。
17. 分解因式：(a - b) - (b - a) = ________。
【正确答案】(a - b) (a - b - 1)
【知识点】多项式公因式与幂的符号变形
【解析】(b-a) =(a-b) ，原式=(a-b) -(a-b) =(a-b) (a-b-1)。
18. 已知 3x - kx + 3 = 3x(x - 1)，则k = ________。
【正确答案】3
【知识点】因式分解与整式乘法的互逆关系
【解析】3x(x-1)=3x -3x，对比系数得-k=-3，所以k=3。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分16分，每小题4分）把下列各式分解因式：
(1) 8a b - 12ab c
【正确答案】4ab (2a - 3bc)
【知识点】提公因式法基本运用
【解析】公因式为4ab ，提取后得4ab ·2a - 4ab ·3bc = 4ab (2a - 3bc)。
(2) -5x + 10xy - 15x
【正确答案】-5x(x - 2y + 3)
【知识点】首项为负的提公因式法
【解析】提取公因式-5x，注意各项变号：-5x ÷(-5x)=x，10xy÷(-5x)=-2y，-15x÷(-5x)=3，得-5x(x - 2y + 3)。
(3) 2a(b + c) - 3(b + c)
【正确答案】(b + c)(2a - 3)
【知识点】多项式公因式的提取
【解析】把(b+c)看作整体提取公因式，得(b + c)(2a - 3)。
(4) x(x - y) - y(y - x)
【正确答案】(x - y)
【知识点】多项式公因式与幂的运算
【解析】(y-x) =(x-y) ，原式=x(x-y) -y(x-y) =(x-y) (x-y)=(x-y) 。
20.（本题满分10分，每小题5分）利用因式分解进行简便计算：
(1) 125×37 + 125×63
【正确答案】12500
【知识点】提公因式法简便计算
【解析】原式=125×(37+63)=125×100=12500。
(2) 2025 - 2025×2024
【正确答案】2025
【知识点】提公因式法简便计算
【解析】原式=2025×(2025-2024)=2025×1=2025。
21.（本题满分6分）先分解因式，再求值：5x(y - 2) - 3(2 - y)，其中x = 2，y = 1。
【正确答案】(y-2)(5x+3)；当x=2，y=1时，原式=-13
【知识点】提公因式法与代入求值
【解析】先统一符号：5x(y-2)-3(2-y)=5x(y-2)+3(y-2)=(y-2)(5x+3)；当x=2，y=1时，原式=(1-2)(10+3)=(-1)×13=-13。
22.（本题满分6分）已知 a - b = 7，ab = -12，求 a b - ab 的值。
【正确答案】-84
【知识点】提公因式法的整体代入求值
【解析】a b - ab = ab(a - b) = (-12)×7 = -84。先提取公因式ab，再整体代入计算。
23.（本题满分4分）若多项式 x + ax - b 可分解为 (x + 1)(x - 2)，求 a + b 的值。
【正确答案】1
【知识点】因式分解与整式乘法的互逆关系
【解析】(x+1)(x-2)=x -x-2，对比得a=-1，b=2，所以a+b=-1+2=1。
24.（本题满分4分）求证：对于任意整数n，(2n+1) - (2n-1) 一定能被8整除。
【正确答案】证明见解析
【知识点】提公因式法（平方差公式）的整除证明应用
【解析】利用平方差公式分解：(2n+1) -(2n-1) = [(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] = 4n×2 = 8n。因为n是整数，所以8n能被8整除，得证。鲁教版（五四制）八年级上册
第一章 因式分解
2 提公因式法
★知识点梳理●例题精讲★
一、学习目标
1. 理解公因式的概念，能准确找出多项式各项的公因式；
2. 掌握提公因式法分解因式的一般步骤，能熟练运用提公因式法进行因式分解；
3. 掌握确定公因式的方法：看系数（最大公约数）、看字母（相同字母）、看指数（最低次幂）；
4. 理解提公因式法的依据是逆用乘法分配律，体会因式分解与整式乘法的互逆关系；
5. 能解决首项为负、公因式为多项式等较复杂的提公因式问题。
二、重点掌握方向
（一）学习重点
1. 公因式的概念与确定方法（系数最大公约数、相同字母最低次幂）；
2. 运用提公因式法分解因式的基本步骤与书写规范；
3. 首项系数为负数时，提取负号的符号处理。
（二）学习难点
1. 准确找出多项式各项的公因式（尤其是指数不统一的情况）；
2. 公因式为多项式形式时的识别与提取（整体思想）；
3. 提取公因式后剩余项的符号处理与漏项检验。
三、知识点清单总览
序号 知识点名称 核心内容
知识点一 公因式的概念与确定方法 公因式定义；三看法则：系数、字母、指数
知识点二 提公因式法的定义与基本步骤 提公因式法定义；逆用乘法分配律；基本步骤
知识点三 公因式为多项式的提公因式法 整体思想；符号变形：b-a=-(a-b)
四、知识点详解与例题精讲
知识点一：公因式的概念与确定方法
【公因式定义】多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
【确定公因式的“三看”方法】
① 看系数：取各项系数的最大公约数；
② 看字母：取各项都含有的相同字母；
③ 看指数：取相同字母的最低次幂。
【例题1】多项式 6a b + 9ab 各项的公因式是（ ）
A. 3ab B. 3a b C. 9ab D. 6ab
【正确答案】A
【知识点】公因式的确定方法（三看法则）
【解析】系数6和9的最大公约数是3；相同字母为a、b；a的最低次幂是1，b的最低次幂是1，因此公因式为3ab。
【例题2】多项式 -8x y + 12x y - 4x y 各项的公因式是________。
【正确答案】-4x y
【知识点】首项为负时公因式的确定
【解析】系数8、12、4的最大公约数是4；相同字母为x、y；x的最低次幂是2，y的最低次幂是1。首项为负，公因式一般带负号，因此公因式为-4x y。
【例题3】下列各组多项式中，没有公因式的一组是（ ）
A. ab - b 与 a - 1
B. 5x y 与 10xy
C. m - 2m 与 m - m + 1
D. a - a 与 a - 1
【正确答案】C
【知识点】公因式的识别与判断
【解析】A组：ab-b=b(a-1)，公因式是(a-1)；B组：公因式是5xy；C组：m -2m=m(m-2)，m -m+1无法分解出公因式，二者无公因式；D组：a -a=a(a-1)，a -1=(a+1)(a-1)，公因式是(a-1)。
知识点二：提公因式法的定义与基本步骤
【提公因式法定义】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
【依据】逆用乘法分配律：ma + mb + mc = m(a + b + c)
【基本步骤】
① 确定公因式；② 提取公因式，用多项式的每一项除以公因式；③ 将公因式与所得的商写成乘积的形式。
【例题1】把下列各式分解因式：
(1) 3x - 6x (2) 12a b - 8ab
【正确答案】(1) 3x(x - 2)；(2) 4ab(3a - 2b)
【知识点】提公因式法的基本运用
【解析】(1) 公因式是3x，提取后得3x·x - 3x·2 = 3x(x - 2)；(2) 公因式是4ab，提取后得4ab·3a - 4ab·2b = 4ab(3a - 2b)。
【例题2】分解因式：-4x + 6xy - 2x
【正确答案】-2x(2x - 3y + 1)
【知识点】首项为负时的提公因式法
【解析】首项为负时，通常提取带负号的公因式，使括号内首项为正。提取-2x后，括号内各项都要变号：-4x ÷(-2x)=2x，6xy÷(-2x)=-3y，-2x÷(-2x)=1，结果为-2x(2x - 3y + 1)。注意最后一项提取后剩1，不能漏项。
【例题3】下列因式分解正确的是（ ）
A. 2a + 4b = 2(a + 2b)
B. 3x - 3y + 3 = 3(x - y)
C. x + x = x (1 +)
D. a b - ab = ab(a - b)
【正确答案】A
【知识点】提公因式法的正误判断
【解析】A正确；B漏项，提取3后最后一项应剩1，应为3(x-y+1)；C出现分式，不是整式，不是因式分解；D提取公因式ab后剩余a-1，应为ab(a-1)，不是ab(a-b)。
知识点三：公因式为多项式的提公因式法（整体思想）
【核心要点】公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式。当多项式各项含有相同的多项式因式时，可以把这个多项式因式看作一个整体提取出来。
【常用符号变形】b - a = -(a - b)；(b - a) = (a - b) ；(b - a) = -(a - b)
【例题1】分解因式：a(x - y) + b(x - y)
【正确答案】(x - y)(a + b)
【知识点】多项式公因式的提取（整体思想）
【解析】把(x-y)看作一个整体，作为公因式提取出来：a(x-y) + b(x-y) = (x-y)(a+b)。
【例题2】分解因式：2m(m - n) - 3(n - m)
【正确答案】(m - n)(2m + 3)
【知识点】符号变形后提取多项式公因式
【解析】先统一符号：n - m = -(m - n)，所以原式=2m(m-n) + 3(m-n)，再提取公因式(m-n)，得(m-n)(2m+3)。
【例题3】分解因式：(a + b) - 2(a + b)
【正确答案】(a + b)(a + b - 2)
【知识点】多项式公因式的提取与剩余项处理
【解析】把(a+b)看作整体提取公因式，注意提取后剩余项为(a+b)-2，不能漏掉括号。原式=(a+b)[(a+b)-2]=(a+b)(a+b-2)。

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