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15.3 等腰三角形 课时课后小练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
4．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
6．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
7．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形顶角的角平分线是它的对称轴
B．关于某直线对称的两个图形一定能够重合
C．轴对称图形的对称轴不一定只有一条
D．两个全等三角形组成的图形不一定是轴对称图形
8．如图，在中，平分，平分，过点作，分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
9．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______．
12．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
13．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形．
14．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为________；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为________．
15．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________．
三、解答题
16．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：．
17．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．
18．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向．
(1)求处到灯塔的距离；
(2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
19．在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．
(1)画出与关于轴对称的；
(2)（2）在轴上确定点，使得与之和最小，直接写出点的坐标为 ；
(3)仅用无刻度的直尺画出的重心．（保留作图痕迹）
20．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长；
(3)求证：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C C C A D A A
1．【答案】D
【知识点】等边对等角、全等三角形的性质
【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
2．【答案】B
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的三线合一进行求解即可．
【详解】解：∵，平分，，
∴．
故选：B．
3．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质作图即可解题．
【详解】如图所示，这样的三角形共有7种，
故选：C．
4．【答案】C
【知识点】格点图中画等腰三角形、坐标系中描点
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案．
【详解】如图所示，
当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；
当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；
当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
故符合条件的点一共个．
故选：C．
5．【答案】C
【知识点】找出图中的等腰三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
6．【答案】C
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆，
以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆，
以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，
再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P，
则满足条件的所有点的个数为8，
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7．【答案】A
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查轴对称图形的性质及等腰三角形的特性．根据以上知识逐一判断各选项的正确性，注意对称轴是直线，而三角形的角平分线是线段即可．
【详解】解：∵ 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，而三角形的角平分线是线段，不是直线，∴ A选项错误．符合题意．
∵ 关于某直线对称的两个图形可以沿着该直线翻折即可重合，∴ B选项正确．不符合题意．
∵ 轴对称图形的对称轴可能有多条，如圆有无数条对称轴，∴ C选项正确．不符合题意．
∵ 两个全等三角形组成的图形可能不对称，∴ D选项正确．不符合题意．
故选：A．
8．【答案】D
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查求三角形周长，涉及角平分线定义、平行线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
先由角平分线定义及平行线的性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质确定，数形结合表示出的周长，代值计算即可得到答案．
【详解】解： 平分，
，
平分，
，
，
，，
，，
即，
，
，
故选：D．
9．【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
故选：．
10．【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．【答案】9
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点，
∴．
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
13．【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定、三角形三边关系的应用、绝对值非负性、绝对值方程
【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键．
根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵a，b，c为的三边长，
∴，即
∵a是方程的解
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
14．【答案】 3
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点作轴，使，连接交轴于点，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点的坐标．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，
过点作轴交轴于，使，连接交轴于点，则此时有最小值，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；．
15．【答案】18
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质
【分析】连接，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵点D是中点且于点D，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵点E是中点且于点E，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．【答案】
证明：∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等边对等角、对顶角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证．
【详解】略
17．【答案】见解析
【知识点】等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，
中，腰：和，底边：，顶角为；
∵，
∴为等腰三角形，
中，腰：和，底边：，顶角为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角．
18．【答案】(1)处到灯塔的距离为海里
(2)
解：有触礁的危险，理由如下：
过作于点，
在中，，，
，
．
若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握方位角的转化及直角三角形中角的性质是解题的关键．
（1）先根据方位角求出三角形内角，再结合船行驶的路程，利用等角对等边求出处到灯塔的距离；
（2）过作垂线，利用直角三角形的性质求出灯塔到航线的距离，与海里比较判断是否有触礁危险．
【详解】（1）解：由已知条件可得：，
，，
，
，
海里，
答：处到灯塔的距离为海里．
（2）略
19．【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、重心的概念、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
（1）分别找出A、B、C关于y轴的对应点位置，再连接即可；
（2）作出点B关于x轴的对应点，再连接A、，与x轴的交点即为所求；
（3）分别求作各边上的中线，其中线交点即为所求作的点．
【详解】（1）解：如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图2，点Q即为所求，点Q的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图3，点G即为的重心．
20．【答案】(1)证明：∵，，
，
，
，
，
是等边三角形．
(2)4
(3)证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解；
（3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵是等边三角形，
，
，
，
又，
．
（3）略
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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