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18.1 分式及其基本性质 课时课后小练2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的9倍
C．扩大到原来的6倍 D．扩大到原来的3倍
4．若等式成立，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．或
5．若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若式子无意义，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
8．把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　）
A．﹣ B． C． D．
9．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______．
12．化简：_______．
13．下列各式中，最简分式有______个．
①②③④⑤⑥⑦
14．分式的最简公分母是___________．
15．把，，通分后，各分式的分子之和为________．
三、解答题
16．约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
18．问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：；
(2)已知一个长方形的面积为，宽为（为正数），求这个长方形的长．
19．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C A C C C B D
1．【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；
B．分母含字母，属分式；
C．是多项式，属整式；
D． 的分母2是常数，不是字母，属整式．
2．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
3．【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】根据要求变换后，再根据分式的基本性质化简，和原分式比较即可得到结果.
【详解】解：将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，即，
故分式的值扩大到原来的3倍.
4．【答案】C
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可.
【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得，
所以x应满足的条件是.
故选：C.
5．【答案】A
【知识点】分式值为零的条件
【详解】∵分式的值为，
∴可得且，
解得，且，符合条件
因此的值为．
6．【答案】C
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件．
根据分式无意义的条件，即分母为0，进行求解即可．
【详解】解：分式无意义的条件是分母为零，由，得，
故选：C．
7．【答案】C
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴分子分母同正或同负，
∴或
解得或，
故选：C
8．【答案】C
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘﹣1即可.
【详解】分子分母都乘﹣1，得，
原式=，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
9．【答案】B
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数．
【详解】解：
故选：B．
10．【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、，原等式变形错误，故A选项不符合题意；
B、当时，原等式变形错误，故B选项不符合题意；
C、，原等式变形错误，故C选项不符合题意；
D、，原等式变形正确，故D选项符合题意．
故选：D．
11．【答案】6或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解．
【详解】解：，
∵分式的值是大于2的整数，且x是整数，
∴或，
解得：或，
故答案：6或．
12．【答案】
【知识点】约分
【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；将分子和分母分别因式分解，然后约去公因式即可．
【详解】解：．
故答案为．
13．【答案】2
【知识点】最简分式、分式的判断
【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：①是最简分式；
②，不是最简分式；
③不是分式；
④，不是最简分式；
⑤，不是最简分式；
⑥，不是最简分式；
⑦是最简分式；
综上分析可知：最简分式有2个．
故答案为：2．
14．【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．据此求解即可．
【详解】解：分式的分母分别为，，；系数的最小公倍数为6，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，
故最简公分母为，
故答案为：
15．【答案】
【知识点】通分
【分析】本题考查了分式的通分．
先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简．
【详解】解：各分母分解因式：
，
，
，
可知最简公分母为．
的分子通分后为，
的分子通分后为，
的分子通分后为，
分子之和为：
．
故答案为：．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式
【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键．
（1）直接约分即可得到答案；
（2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
17．【答案】(1)时，该式无意义
(2)
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集、分式无意义的条件
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；
所以时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时，，
即．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．
18．【答案】(1)
(2)
【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查运用配方法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键；
（1）仿照题中所给方法进行分解因式即可；
（2）根据题中所给方法及分式的性质直接进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
∵长方形的面积为，宽为，
∴这个长方形的长为：．
19．【答案】(1)
(2)4，5，6，9
(3)；0；2
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求使分式值为整数时未知数的整数值、代入消元法、二元一次方程的解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键．
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得： ，
∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，
∴，
∴，
∴方程的正整数解为；
故答案为：；
（2）解：∵为自然数，x为正整数，
∴取6或3或2或1，
∴x可取4或5或6或9．
故答案为：4，5，6，9；
（3）解：解方程组得：，
∵方程组的解是正整数，
∴8是的倍数，
∴或4或2或1，
∴k取或0或2或3，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，整数的值为；0；2．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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