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18.3 分式的加法与减法 课时课后小练2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．无论为何值，都有恒成立，下列说法：
①；
②若，则；
③若，则．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（ ）
嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
4．已知的三边长分别为，且，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形
C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形
5．中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A． B． C． D．
6．小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）
A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如果，，那么，的值为（ ）
A．36 B．16 C．14 D．3
二、填空题
9．计算的结果是____．
10．并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）．
11．集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________．
12．我们把分式（x≠0）记为f，把分式中的x换成其倒数，此时所得的分式记为f′．则f+f'＝___．
13．已知，则的值为_____________.
三、解答题
14．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
15．如果两个分式与的差为整数，那么称为的“汇整分式”，整数称为“汇整值”，如分式，则为的“汇整分式”，“汇整值”．
(1)已知分式，判断A是否为的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”；
(2)已知分式，其中为多项式，且为的“汇整分式”且“汇整值，求所表示的多项式．
16．列式计算：
(1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？
(2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？
(3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
17．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）．
(1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克；
(2)求出乙两次所购大米的平均单价？
(3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C C C A A
1．【答案】A
【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、同分母分式加减法
【分析】本题考查整式的运算，分式的运算，因式分解，代数式求值，熟练掌握这些运算法则并掌握题意是解题的关键．将化为，利用待定系数法即可求解和，则可计算①；②中，由题意得，则通过降幂的思想进行化简即可求解；③中，由 ，可得当时，，则即可计算．
【详解】解：∵无论为何值，恒成立，
∴无论为何值，恒成立，
∴，
解得：，
①中，，
故①错误；
②中，∵，即，
∴，
∴
，
故②错误；
③中，∵，
∴当时，，
∴
，
故③错误；
综上，正确的个数是，
故选：A．
2．【答案】A
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的加减，
通过因式分解分母，并通分，合并分式后化简即可．
【详解】解：
．
故选：A．
3．【答案】B
【知识点】整式与分式相加减
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键．
根据分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母．
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】整式的加减运算、分式加减混合运算、三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
或，
或，
∴一定是腰长为的等腰三角形，
故选：C．
5．【答案】C
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算．直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：C．
6．【答案】C
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】平均速度总路程总时间，题中没有单程，可设从家到学校的路程为千米，那么总路程为千米．本题考查了分式的混合运算；解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
【详解】解：依题意得：设从家到学校的路程为千米，那么总路程为千米．
∵通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为千米/时，
∴为总时间
∴（千米/时）．
故选：C．
7．【答案】A
【知识点】计算单项式乘单项式、同底数幂相乘、分式化简求值、同底数幂的除法运算
【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方和分式运算进行解答.
【详解】解：A、，该选项正确；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误；
故选：A.
【点睛】此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方，关键是根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方法则解答.
8．【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案．
【详解】解：由，去分母，得
，
则
∵，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键．
9．【答案】1
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减法的运算法则是解题的关键．
分母相同，将分子直接相减即可．
【详解】解：．
故答案为：1．
10．【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式．
【详解】解：∵，
∴，
根据异分母分式减法法则通分计算得：，
对等式两边取倒数得：．
11．【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查的是分式的加减运算的应用，根据题意列式计算速度差即可.
【详解】解：∵大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，
∴高铁列车的平均速度比普通列车提升了，
故答案为：
12．【答案】1
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】先根据分式的除法法则求出f′的值，再求出f+f′即可．
【详解】解：∵f＝（x≠0），把分式中的x换成其倒数，此时所得的分式记为f′．
∴f′＝＝＝＝，
∴f+f′＝+＝＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的定义和分式的运算法则，能求出f′的值是解此题的关键．
13．【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、分式加减混合运算
【分析】将两边平方求出，进一步可得，即可求出．
【详解】解：∵，∴，即，
∴
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查分式加减运算，平方根，算术平方根，解题的关键是掌握运算法则．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】整式四则混合运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）根据整式的混合运算，同底数幂的乘除法法则即可求解；
（2）根据分式的加减法，因式分解，化简即可求解；
（3）根据实数的运算律，整式的混合运算即可求解；
（4）根据同底数幂的乘除法，分式的性质化简即可求解；
（5）运用乘法公式因式分解，分式的性质化简即可求解；
（6）运用乘法公式因式分解，分式的性质化简即可求解；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题主要考查整式、分式、因式分解，乘法公式的综合运算，掌握整式的混合运算，分式的性质，因式分解的方法，乘法公式是解题的关键．
15．【答案】(1)是，
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、异分母分式加减法
【分析】题目主要考查分式的加减混和运算，
（1）根据题意，直接计算，根据结果判断即可；
（2）先求，结合新定义可得，化简可得E所代表的多项式，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）根据题意得：
∴，
∴．
16．【答案】(1)
(2)
(3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍
【知识点】列代数式、分式加减的实际应用
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解；
（2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可；
（3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果．
【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有
，
解得，
故调制这种混合饮料需甲种饮料；
（2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字，
则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即．
（3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：，
乙工程队修600米所用时间为：，
则其比值为：，
∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍．
17．【答案】(1)
(2)
(3)乙所购买的大米的平均单价较低
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式除法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键．
（1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价；
（2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价；
（3）二者相减比较大小即可．
【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克，
∴甲的平均单价为：；
故答案为：；
（2）解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克，
∴乙的平均单价为：；
（3）解：乙所购买的大米的平均单价较低．
理由：，
因为是正数且，
所以，，
故，
即甲的平均单价大于乙的平均单价．
答案第1页，共2页
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