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河北衡水市安平中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，直线．若，则（ ）
A． B． C．2 D．2或
3．若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．空间内有三点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示．
C．直线 必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
10．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则 面
B．若，则
C．若，则到平面的距离为
D．若时，直线与平面所成角为，则
11．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值是
B．的最大值是
C．四边形面积的最小值为
D．当最小时，直线的方程为
三、填空题
12．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______.
13．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______.
14．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______.
四、解答题
15．已知圆.
(1)过点作圆的切线，求的方程；
(2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
16．已知直线．
(1)求证：直线过定点；
(2)若到直线的距离最大，求的值；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
17．在平行六面体中，，，，E为与的交点．

(1)用向量，，表示；
(2)求线段的长；
(3)求异面直线与所成的角．
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是 若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”．
(1)求点P所在曲线的方程；
(2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”．
（i）求直线的方程；
（ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由．
《河北衡水市安平中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A C A A A AC ACD
题号 11
答案 ABD
1．C
2．A
3．A
4．A
5．C
6．A
7．A
8．A
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．或
13．
14．/
15．(1)或；
(2)相交；
16．(1)证明：由直线整理可得：
，即，
则由，即，
故直线过定点；
(2)
(3)
17．(1)
(2)
(3)
18．(1)
取的中点，连接，如下图：
因为为棱的中点，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
(2)
(3)存在点，，理由如下：
假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，即，可得,
所以，
则点到平面的距离是，又，可得,
所以，，
即存在点到平面的距离是,.
19．(1)
(2)（i）；
（ii）存在点为或或时，取定值，理由如下：
易知直线与圆和圆的交点为；
因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为；
依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图：
联立，整理可得，
易知,；
此时
,
令，解得或或
易知时,取定值为4，时,取定值为12，
当时,取定值为3；
综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值，
当点的坐标为时，取定值为4；
当点的坐标为时，取定值为12；
当点的坐标为时，取定值为3；

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