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湖北随州市随县第一高级中学、曾都区第一高级中学2026-2027学年高二实验班上学期9月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线的斜率为2，经过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
3．已知为虚数单位，复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．9.5
6．在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为同一试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则对立
C．若，则不互斥
D．若，则相互独立
10．已知直线，圆，则（ ）
A．，与相交
B．，使得圆心到的距离为
C．，使得圆截所得的弦长为
D．，使得圆上有4个点到的距离为2
11．如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）

A．平面截四棱柱所得的截面是五边形
B．
C．平面与平面ABCD所成角的余弦值为
D．若∥平面，则点轨迹的长度为
三、填空题
12．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________．
13．设，若点在线段上，则的取值范围是______．
14．已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为___________．
四、解答题
15．已知圆经过，，三点.
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
16．如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次．
(1)求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率；
(2)求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率．
17．如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面．

(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
18．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束．
(1)假设．
（i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率；
（ii）求比赛结束时乙获胜的概率；
(2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略．
19．在四棱锥中，，，，，且平面，
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)过点的平面与侧棱，，分别交于点，，，若四边形为菱形，求的长.
《湖北随州市随县第一高级中学、曾都区第一高级中学2026-2027学年高二实验班上学期9月联考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D C B C D CD ACD
题号 11
答案 BCD
1．C
2．C
3．A
4．D
5．C
6．B
7．C
8．D
9．CD
10．ACD
11．BCD
12．2
13．
14．
15．(1)
(2)或.
16．(1)；
(2)．
17．(1)；
(2)存在点，为中点.
18．(1)（i）；（ii）
(2)乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲
19．(1)
因为，，，
所以由勾股定理得，得到，，
因为，所以，，即，
因为平面，平面，所以；
因为，平面，所以平面.
(2)
(3)

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