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四川南充市嘉陵第一中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（ ）
A．100 B．200 C．90 D．80
2．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B．若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若的标准差为4，则的标准差是8
4．若，，，则下列结论错误的是（ ）
A．事件与相互独立 B．
C．事件与互斥 D．
5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
6．某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（ ）
A．众数<平均数<中位数
B．众数<中位数<平均数
C．中位数<平均数<众数
D．众数=平均数=中位数
7．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（ ）

A．至多与之一垂直 B．是的公垂线
C．与相交 D．与异面
8．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数为9 B．这组数据的40%分位数是7.5
C．这组数据的极差是4 D．这组数据的平均数是9
10．盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（ ）
A． B．
C． D．事件与相互独立
11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
C．存在Q点，使得平面
D．若直线与平面所成角的正切值为，那么Q点的轨迹长度为
三、填空题
12．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______．
13．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________．
14．在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
四、解答题
15．已知向量.
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)若与垂直，求实数t的值．
16．如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设.
(1)用表示；
(2)求的值.
17．国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
(3)已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率．
18．如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．
(1)证明：；
(2)若，，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
《四川南充市嘉陵第一中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C C B B C AC ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
2．C
3．D
4．C
5．C
6．B
7．B
8．C
9．AC
10．ABD
11．ABD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
(3)
16．(1)，
(2)2
17．(1)
(2)众数为 ，平均数为
(3)
18．(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系．
则，，，，，．
因为为棱的中点，所以，
因为为侧面内的一点，且，所以可设，．
因为，所以．
所以，
所以．
又因为，，，平面，且，
所以平面．
所以为平面的法向量 ，
因为，且平面，
所以平面．
解法二：因为，设的中点为，连接，则，
所以在正方形中，，且平面，平面，
所以平面．
又因为为棱的中点，为中点，连接，则，
且平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
平面，所以平面；
(2)
(3)
19．(1)证明：因为为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面平面，所以，
因为，所以；
(2)（i）；（ii）．

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