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江苏省锡山高级中学锡西分校2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知点关于x轴的对称点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
4．已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若，则
C．的最小值为 D．的最大值为4
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面AEF的一个法向量是
D．点D到平面AEF的距离为
11．在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点的轨迹长度为
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______.
13．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）
14．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________.
四、解答题
15．已知向量，
(1)求与的夹角；
(2)若与垂直，求实数t的值．
16．在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设．
(1)求证：；
(2)在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量；
(3)求的面积．
17．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，.

(1)求线段的长度；
(2)求直线和夹角的余弦值.
18．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
19．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
《江苏省锡山高级中学锡西分校2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A D D C C AC BCD
题号 11
答案 ABD
1．D
2．A
3．B
4．A
5．D
6．D
7．C
8．C
9．AC
10．BCD
11．ABD
12．
13．/
14．
15．(1)
(2)
16．(1)证明：由点是线段上靠近点的一个三等分点得，
由题意得，
因此，
而，因此，即；
(2)
(3)
17．(1)
(2)
18．(1)因为是棱的中点，
故,则，同理，
由于,所以,故，
又，平面，
故平面，
平面，因此平面平面
(2)
19．(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，得，
又，则，
因此，又平面，所以平面.
(2)
(3)存在；

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