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14.3 角的平分线 课时课后小练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．图是甲、乙、丙三位同学在内作的尺规作图痕迹，则其中一定能得到的是（ ）

A．只有甲 B．只有甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙、丙都可以
2．如图，是平分线上的一点，，垂足分别为，连接，交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，是边上的一点，，则点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
4．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条角平分线交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
5．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（ ）
A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点
C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点
6．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
8．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（ ）．
①；②平分，③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．到角的两边距离相等的点，在_______，所以，如果点P到两边的距离相等，那么射线OP是______．
10．如图，是的角平分线，若，则_____．
11．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________．
12．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．

13．如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交
于点；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；
③作射线，交于点， 若，则___．
三、解答题
14．如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
15．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：．
16．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数．
17．如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围．
18．阅读下面材料：
直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．
方法一 利用直尺和圆规作角的平分线． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图①， （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （3）画射线．射线即为所求． 方法二 利用三角板画角的平分线． 画已知的平分线． 画法： （1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且． （2）画射线．射线即为所求．
(1)请证明方法一中的是的平分线；
(2)直接写出方法二中的是的平分线的依据．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A C B A C
1．【答案】B
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据角平分线作图的方法即可逐项判断.
【详解】解：甲图是角平分线的尺规作图的方法，可以得出；
乙图是先通过尺规取相同的弧，得到对应线段相等，再通过作平行线以及平行线的性质可以推出；
丙图画的是中线，不是角平分线，不能推出.
甲和乙可以推出.
故选：B.
【点睛】本题考查了作图-角平分线，解题的关键在于观察图形，熟练掌握角平分线的正确作图方法.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度的计算；根据已知条件可以推导出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得出的度数.
【详解】解：是平分线上一点
则是等腰三角形
故选：C ．
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是的角平分线，
∴D点到和的距离相等，
∵表示D点到的距离，，
∴D到的距离为4．
故选：B．
4．【答案】A
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线，的距离相等，
∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键．
根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，
又点P在上，
∴P点是与的平分线的交点，
故选：C．
6．【答案】B
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
．
故选：B．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查的是角平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过D作于点H，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：过D作于点H，
由基本尺规作图可知，是的平分线，
，
，
，，
，
又，
．
故选：A．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确．
【详解】解：①∵平分，，，
∴，故结论①正确；
②过点D作于点H，如图所示：
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴点D在的平分线上，
∴平分，故结论②正确；
③∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，故结论③正确；
④在和中，
，
∴，
∴，
根据题意，无法得到与的大小关系，
∴无法得到和的大小关系，故结论④错误；
⑤在和中，
，
∴，
∴，
同理证明：，
∴，
∴，
即，故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个．
故选：C．
9．【答案】 这个角的平分线上 ∠AOB的平分线
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，由此解答即可．
【详解】解：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．如果∠AOB内一点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是∠AOB的平分线．
故答案为：这个角的平分线上，∠AOB的平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定，解决此题的关键是要熟练掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
10．【答案】/
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可．
【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示：

∵是的角平分线，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得.
【详解】解：由作法得平分，平分，
∴，．
∵
∵，
∴．
故答案为：
12．【答案】三
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用．
【详解】解：如图所示，，即为所求的点，

故答案为：三．
13．【答案】65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了角平分线的定义、尺规作图、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由三角内角和定理可得，由尺规作图可得平分，即，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，在中，，，
∴
由作图可得：平分，即，
∴．
故答案为：65．
14．【答案】
【知识点】两直线平行同位角相等、尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图)
【分析】构造的角平分线，进而构造即可．
【详解】略．
15．【答案】见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
16．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
，，
，
，
，
，即为的平分线．
又，，
．
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分．
17．【答案】的大小保持不变，始终等于．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线性质的实际应用
【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的外角性质，根据角平分线的性质，结合三角形的外角性质可以得到的度数，由此确定的大小，因此可以确定答案．
【详解】解：的大小始终保持不变，理由如下：
∵（三角形外角性质），
又∵平分，平分，
∴，
∴，
又∵（三角形外角性质）
∴．
故答案为：的保持大小不变，始终等于．
18．【答案】(1)
证明：∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
(2)答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】（1）先根据证明，得到，即可证明是的平分线；
（2）在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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