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17.2 用公式法分解因式 课时错题巩固2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列各多项式中，能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．将多项式分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
5．亮亮是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，3，，，，分别依次对应七个字：天，国，中，之，空，眼，桥．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥
6．观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
7．若长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，且的值为30，则其面积为（ ）
A．16 B．6 C．5 D．3
8．已知，，则代数式的值是（　　）
A．2 B． C．15 D．
二、填空题
9．分解因式：__________．
10．若能用完全平方公式因式分解，则的值为__________．
11．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）．
12．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）．
13．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是______．（填一种即可）
三、解答题
14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，，求的值．
15．阅读下列材料：分解因式：．
方法一：原式；
方法二：原式．
对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式．
请尝试利用材料中的方法分解因式：
(1)；
(2)．
16．下面是某同学把多项式分解因式的过程．
解：设，
则原式
．
(1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
(2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式．
17．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
18．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究：
【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：
由于即能被4整除；
而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确．
（1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；
【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明：
（2）是4的倍数；
（3）可以表示为两个正整数的平方差．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C B A B D
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，②因式分解的方法有提取公因式法，公式法等．
根据因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、，不符合平方差公式，不能因式分解，故本选项不符合题意；
D、能用完全公式分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，将分解因式，再代入已知条件计算的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可．
【详解】解：
．
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】本题考查了公式法因式分解．
利用完全平方公式和平方差公式进行解答．
【详解】解：
．
故选：C．
5．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，最后根据密码手册对应汉字即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 密码信息为“中国天眼”，
故选：．
6．【答案】A
【知识点】分组分解法、三角形三边关系的应用
【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出．
【详解】解：，
，
，
∴或，
当时，围成一个等腰三角形；
当时，不能围成三角形；
故选：A．
【点睛】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键．
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解，利用周长求出，将因式分解后求得的值即可．
【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即长方形的面积为6．
故选：B．
8．【答案】D
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵
，
∵，，
∴，
故选：D．
9．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】原式
．
10．【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求完全平方式中的字母系数，解题关键是掌握完全平方公式分解因式．
根据完全平方公式，将表达式与匹配，比较系数求．
【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解，且，，
∴，
∴比较系数得，
故答案为：．
11．【答案】①②
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键；
先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可．
【详解】解：①；
②；
③；
，
所以计算结果与相同的是①②．
故答案为：①②．
12．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案．
【详解】解：，
∴拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法，根据题意，多项式，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答，即可．
【详解】解：∵，
∴，
当括号内的单项式为时，
∴．
故答案为：．
14．【答案】（1）7；（2）10；（3）0.999；（4）
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】（1）根据因式分解的方法，提出公因数，进而计算即可；
（2）提出公因数，再进行计算即可；
（3）提出公因数，再进行计算即可；
（4）提出公因式，进而代入求值即可；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
（）利用分组分解法解答即可；
（）利用分组分解法解答即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．【答案】(1)不彻底，
(2)
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，再结合题干的过程，进行分析，即可作答．
（2）模仿题干的过程，设，故原式，即可作答．
【详解】（1）解：观察题干过程，得出该同学对该多项式的因式分解不彻底，
过程如下：
依题意，原式
；
（2）解：依题意，设，
原式
．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查十字相乘法分解因式，仿照题中例题求解过程分解因式即可．
【详解】（1）解：如图，
由图知．
（2）解：如图，
由图知．
（3）解：如图，
由图知．
18．【答案】
解：（1）即能被4整除，
结果是4的倍数，
又，
可以表示为3和1的平方差，
故验证结论正确；
（2）证明：，
且均为正整数，
是4的倍数；
（3）由（2）可知，，
的奇偶性相同，不妨设，
都是正偶数，
和都是正整数，
一定能表示为两个正整数的平方差．
【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用
【分析】（1）根据题目模仿即可解答；
（2）运用平方差公式求出结果即可得证；
（3）由（2）可得，再进行说明即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）略
【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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