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13.1 三角形的概念 课时错题巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列图形中，是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于三角形的描述，正确的是（ ）
A．由三条线段组成的图形叫做三角形
B．三角形的内角和为，外角和为
C．锐角三角形的三个外角都是钝角
D．直角三角形只有一条高
3．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
4．如图，在中，，点D在线段上，，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．0个
5．如图中包含的直角三角形的个数是　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
7．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（ ）
A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形
B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形
C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形
D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形
8．如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
二、填空题
10．如图，在中， ，若的周长为，则______．
11．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________．
12．如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形．
13．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______．
三、解答题
14．如图所示，
(1)图中有几个三角形？
(2)说出的边和角．
(3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？
15．如图，一共有多少个三角形？其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？分别用数学符号表示这些三角形．
16．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边．
17．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形：
(1)在第一个方框中画锐角三角形；
(2)在第二个方框中画直角三角形；
(3)在第三个方框中画钝角三角形．
18．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果底边长是腰长的一半，求腰长；
(2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长．
19．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律：
在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）
如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：

统计几种简单的情况如下表：
三角形内点的个数 1 2 3 …
最多三角形的个数 3 5 …
(1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形；
(2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______；
分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个；
归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形；
(3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形） 试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B C A B C B D B D
1．【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案．
【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形，
故选：B．
2．【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误；
选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误；
选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确；
选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误；
故选：C．
3．【答案】A
【知识点】三角形的个数问题
【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．
【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；
第②个图中三角形的个数为；
第③个图中三角形的个数为；
…，
故第n个图中三角形的个数为，
故第⑧个图形中三角形的个数为：．
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定．根据有两条边相等的三角形是等腰三角形即可求解．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等腰三角形，
综上，共有3个等腰三角形，
故选：B．
5．【答案】C
【知识点】三角形的分类
【分析】利用直角三角形定义结合图形可得答案．
【详解】解：图中三角形有：，，，，共5个，
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握直角三角形的定义．
6．【答案】B
【知识点】绝对值非负性、三角形的分类
【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论．
【详解】解：由题意得，，
因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0，
所以，，，
解得，，
因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义．
故选：B．
7．【答案】D
【知识点】三角形的分类、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案．
【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形，
根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形，
∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形，
故选：D．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形．
∴这样的直线最多可画4条．
故选：B．
9．【答案】D
【知识点】三角形的分类
【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解．
【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ，
∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角，
∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ，
∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形，
综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能．
10．【答案】
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论．
【详解】解：根据题意得，
∵，
∴，
故答案为：18．
11．【答案】
【知识点】三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可．
【详解】解：所有三角形为：共个．
从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个．
故答案为：．
12．【答案】 5 2
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断．
【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个；
钝角三角形：，，共2个．
故答案为：5；2．
13．【答案】或
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键．
根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可．
【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，．
当为腰时，另一腰也为，底边长为，
∴优美比腰长/底边长．
当为底边时，腰长为，
∴优美比腰长/底边长．
故答案为：或．
14．【答案】(1)5个
(2)的边：，角：
(3)是的边，是的角
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义．
（1）根据三角形的定义，观察图形可得；
（2）根据三角形的边、角的定义，即可求解；
（3）根据三角形的边、角的定义，即可求解．
【详解】（1）解：图中有：，共5个；
（2）解：的边：，角：；
（3）解：是的边，
是的角．
15．【答案】一共有6个三角形．
锐角三角形有2个：、；
直角三角形有3个：、、；
钝角三角形有1个：．
【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题
【分析】本题考查了三角形的分类，由锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，即可求解.
【详解】解：一共有6个三角形：、、、、、；
锐角三角形有2个：、；
直角三角形有3个：、、；
钝角三角形有1个：．
16．【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边．
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解．
【详解】解：除外，还有、、、，
∴除外，图中还有4个三角形
其中，是和的边．
17．【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类；
（1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可；
（2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可；
（3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
18．【答案】(1)腰长为；
(2)底边长为或．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．
（1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；
（2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度．
【详解】（1）解：设底边为，则腰为，
由题意得，
解得，
腰长为；
（2）解：设腰长为，
①当时，得，
腰长，
底边长为，
能构成三角形；
②当时，得，
腰长，
底边长为，
能构成三角形；
综上所述：底边长为或．
19．【答案】(1)7；9
(2)；2；
(3)最多可以得到个三角形
【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、三角形的个数问题
【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可；
（2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答．
（3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示：
依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示：
∴，
同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示：
即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形；
（2）解：观察和比较下面的式子：，，，
则下一个式子为
分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个；
归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形；
（3）解：当时，如图所示：
此时最多三角形的个数为，
当时，如图所示：
此时最多三角形的个数为，
当时，如图所示：
此时最多三角形的个数为，
……
依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数，
即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形．
答案第1页，共2页
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