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13.3 三角形的内角与外角 课时错题巩固2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（ ）三角形
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
6．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的内角和等于
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12
D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形
7．书架上有本完全一样的书如图所示摆放着，除第本竖着外，从第本起适当倾斜，其平面图形，如图．点、、、、、、，在同一条直线上，，，，，．均为，依次类推，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上，的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是________．
10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______．
11．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为_________．
12．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．

13．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________．
三、解答题
14．在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧．
15．如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
16．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式．
17．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。
18．如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B C C B D
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可．
【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意
B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意．
C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意
D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意．
故选B．
2．【答案】B
【知识点】两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
，
故选： B．
3．【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，三角形内角和定理的应用是解题的关键．根据是的角平分线，所以，由，得，故，在中，由，即可得出答案．
【详解】解：是的角平分线，
，
，
，
又，
，
，
即，
又，，
，
即，
，
故选：．
4．【答案】B
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∴，，
，
∴
，
∴．
5．【答案】C
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．利用三角形内角和定理，根据已知条件推导第三个角的大小，从而判断三角形类型．
【详解】解：∵三角形内角和为，
第三个角，
，
，
，即三角形有一个钝角，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
6．【答案】C
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形的稳定性及应用、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可.
【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意；
B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意；
C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形，
当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意；
D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意；
故选C.
7．【答案】B
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，一元一次不等式的应用．根据题意可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：依题意，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上，
∴
解得：．
∴的最大值为．
8．【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
9．【答案】
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用；
根据，得，再，即可求解；
【详解】解：∵，如图；
∴
∵，
∴
∴
故答案为： .
10．【答案】/65度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【答案】三角形内角和定理
【知识点】三角形内角和定理的证明
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，，

∵，
∴，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
13．【答案】/58度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质．
根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
14．【答案】见详解
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出．
【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴,
∵，
∴．
15．【答案】见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】由角平分线的定义求得，，再利用三角形的内角和定理即可证明．
【详解】证明：、是角平分线，
，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，
（1）直接根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解；
（3）同（2）求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【答案】 ；相等的锐角有：
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
∴相等的锐角有： ．
18．【答案】见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
答案第1页，共2页
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