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15.3 等腰三角形 课时错题巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度
A． B． C． D．
2．如图，在等腰中，，过点C作且，过点A作于点D，过点E作交的延长线于点F，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（ ）
A．8 B．10 C．15 D．20
4．如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
5．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形顶角的角平分线是它的对称轴
B．关于某直线对称的两个图形一定能够重合
C．轴对称图形的对称轴不一定只有一条
D．两个全等三角形组成的图形不一定是轴对称图形
7．如图，，点在的延长线上，且平分，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
9．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①连接，，则；②；③；④平分；⑤．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
11．如图，是等边三角形，若，则________ °．
12．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是________三角形．
13．在中，，则________．（填“”、“”或“”）
14．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，，与交于点G，若，则的长为________．
15．如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是________．
三、解答题
16．已知：如图，，．求证：．
17．如图，在中，于点是上一点，．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
18．如图，灯塔在海岛B的北偏西方向，某天下午2点，一艘船从海岛B出发，以20海里/时的速度由东向西航行，下午5时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏西方向．
(1)求处到灯塔的距离．
(2)已知在以灯塔为中心，周围32海里的范围内均有暗礁，若该船继续由东向西航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
19．如图，是等边三角形，为边延长线上一点，平分，．
(1)求证：；
(2)判别是什么特殊三角形？并说明理由．
20．在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．
(1)画出与关于轴对称的；
(2)（2）在轴上确定点，使得与之和最小，直接写出点的坐标为 ；
(3)仅用无刻度的直尺画出的重心．（保留作图痕迹）试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B D A A C D B
1．【答案】A
【知识点】作线段(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：由作法得：，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A
2．【答案】B
【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质．
先由三线合一得到，再证明，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出，，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，再根据的周长是13，得出，再根据三角形的周长，即可得出的周长．
【详解】解：与的平分线交于点，
，，
又，
，，
，，
，，
的周长是13，
，
，
即，
又，
的周长为：．
故选：B
5．【答案】D
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①为等腰底边时，符合条件的C点有0个；
②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：D．
6．【答案】A
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查轴对称图形的性质及等腰三角形的特性．根据以上知识逐一判断各选项的正确性，注意对称轴是直线，而三角形的角平分线是线段即可．
【详解】解：∵ 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，而三角形的角平分线是线段，不是直线，∴ A选项错误．符合题意．
∵ 关于某直线对称的两个图形可以沿着该直线翻折即可重合，∴ B选项正确．不符合题意．
∵ 轴对称图形的对称轴可能有多条，如圆有无数条对称轴，∴ C选项正确．不符合题意．
∵ 两个全等三角形组成的图形可能不对称，∴ D选项正确．不符合题意．
故选：A．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，进而由等腰三角形的判定即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．【答案】C
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置．
【详解】解：∵，，
∴，
如图：
以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰，
以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，，
作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰，
综上所述，符合条件的一共有4个，
故选：C．
9．【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查的是角平分线性质、垂直平分线性质、直角三角形性质与全等三角形判定的综合运用．灵活运用垂直平分线的性质可得，结合角平分线的性质可得，再利用含角的直角三角形性质推导，最后通过全等三角形推导，而平分无法由题干条件直接推出．
【详解】解：如图，连接，，
垂直平分，
，
①正确；
平分，，，
，
②正确；
，平分，
，
，
，
，
同理得，，
，
③正确；
由题意得，，
，
假设平分，
，
和重合，
但仅当时，它们才重合，而题中也不能证得一定等，
不能判断一定平分，
④错误；
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
⑤正确；
综上所述，①②③⑤正确．
故选：．
10．【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答．
【详解】解：∵与的平分线相交于点O，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，即都为等腰三角形．
又∵，，
∴，且，
∴都为等腰三角形．
∵，与的平分线相交于点O，
∴，
∴，即是等腰三角形．
故等腰三角形有：．
故选：B．
11．【答案】130
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：130．
12．【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到 ．由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形．
【详解】解：∵直尺的对边平行
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
13．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答．
【详解】解：在中，，即，
∵对，对，根据大边对大角，
∴．
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，进而求出，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，（两直线平行，同位角相等），
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．【答案】6
【知识点】最短路径问题、垂线段最短、等边三角形的性质
【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可．
【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接，
由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形，
∴，
，当点、P、E共线，且时取等号，
的最小值为，
，，
，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
16．【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再由全等三角形对应角相等即可得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中
，
，
．
17．【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和
(2)直角三角形有和；等腰三角形有
【知识点】三角形的分类、找出图中的等腰三角形、三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键：
（1）写出图中三角形，即可得出结果；
（2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和；
（2）∵，
∴，
∴直角三角形有和，
∵，
∴是等腰三角形．
18．【答案】(1)处到灯塔的距离为60海里
(2)有危险，理由见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，方向角的计算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可证明，则，据此路程等于速度乘以时间求出的长即可得到答案；
（2）过点作，交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再与32海里比较即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，
根据题意，得，，
（海里），
∵，
，
，
（海里）．
答：处到灯塔的距离为60海里．
（2）解：有危险．理由如下：
如图所示，过点作，交的延长线于点．
∴
（海里），
（海里），
，
若这条船继续由东向西航行会有触礁的危险．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（）通过等边三角形性质、角平分线性质得到相等的边和角，证明，从而得对应角相等；
（）利用全等三角形性质得到及角关系，计算，判定为等边三角形．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：为等边三角形，
∵，
∴，
即，
∴，
∴为等边三角形．
20．【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、重心的概念、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
（1）分别找出A、B、C关于y轴的对应点位置，再连接即可；
（2）作出点B关于x轴的对应点，再连接A、，与x轴的交点即为所求；
（3）分别求作各边上的中线，其中线交点即为所求作的点．
【详解】（1）解：如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图2，点Q即为所求，点Q的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图3，点G即为的重心．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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