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2025-2026学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”，“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知方程，下列说法错误的是（　　）
A．二次项是 B．一次项系数是3
C．常数项是1 D．是它的一个根
3．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将△绕点逆时针旋转得到△，若点在线段的延长线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．方程的左边配成完全平方后所得方程为（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个，若前行的点数之和为55，则的值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，已知二次函数的部分图象与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．为任意实数）
二、填空题（每题3分，共计15分）
11．请写出一个过点且开口向上的二次函数解析式 　　．
12．已知是关于的方程的一个根，则的值是　　．
13．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 　　．
14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 　　米．
15．如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，的平分线交的延长线于点，连接，若，，则的长为　　．
三、解答题（共9小题，共75分）
16．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
17．如图，是等边△内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：△△．
18．已知函数是二次函数；
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19．某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度．
20．在平面直角坐标系中，，，．
（1）画出△关于原点对称的△，并写出的坐标；
（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出的坐标．
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两根分别为，，且，求的值．
22．某市交警部门提醒骑电动车出行的市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出25个，六月份售出36个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为40个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少2个．
①若要使七月份销售利润达到432元，且尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
②该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
23．在△中，，将△绕点旋转得到△，直线与直线相交于点．
（1）如图1，当点落在线段上时，求证：；
（2）如图2，当点落在线段上时，且，，当时，求线段的长；
（3）如图3，当点落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由．
24．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于，已知点坐标为，点坐标为，点为抛物线上的一个点，其横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出点的坐标；
（3）过点作轴，交直线于，记的长为，点到轴的距离为，且．
①求与的函数解析式；
②当时，直接写出的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A A B D B C
二、填空题（每题3分，共计15分）
11．请写出一个过点且开口向上的二次函数解析式 　　．
12．已知是关于的方程的一个根，则的值是　　．
13．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 　　．
【答案】．
14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 　　米．
15．如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，的平分线交的延长线于点，连接，若，，则的长为　5　．
【答案】5．
三、解答题（共9小题，共75分）
16．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
17．如图，是等边△内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：△△．
【答案】见详解．
18．已知函数是二次函数；
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）；（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
19．某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度．
【答案】道路的宽度为1米．
20．在平面直角坐标系中，，，．
（1）画出△关于原点对称的△，并写出的坐标；
（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出的坐标．
【答案】（1）△关于原点对称的△，如图1即为所求；
；
（2）△绕点顺时针旋转后得到的△，如图2即为所求；
．
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两根分别为，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
22．某市交警部门提醒骑电动车出行的市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出25个，六月份售出36个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为40个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少2个．
①若要使七月份销售利润达到432元，且尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
②该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）①该品牌头盔每个应涨价2元；②该品牌头盔每个涨价5元时，月销售利润最大为450元．
23．在△中，，将△绕点旋转得到△，直线与直线相交于点．
（1）如图1，当点落在线段上时，求证：；
（2）如图2，当点落在线段上时，且，，当时，求线段的长；
（3）如图3，当点落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）连接，
由旋转的性质知，，，
在△与△，
△△，
；
（2）2；
（3），
，
，，，
由旋转可得：△△，
，，
，，
，
，
，
在△与△中，
，
△△，
．
24．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于，已知点坐标为，点坐标为，点为抛物线上的一个点，其横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出点的坐标；
（3）过点作轴，交直线于，记的长为，点到轴的距离为，且．
①求与的函数解析式；
②当时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）①；②或．

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