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2025-2026学年福建省三明市尤溪县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．已知，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．若是方程的一个根，则的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
4．如图，在△中，，，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是矩形 B．若，则是菱形
C．若，则是正方形 D．若，则是矩形
6．下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（　　）
1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
A． B． C． D．
7．物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．下列条件不能判定△△的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．已知，则 　　．
12．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 　　．
13．已知、、、是成比例线段，其中，，，则　　 ．
14．如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是 　　．
15．用配方法解方程，方程可变形为，则　　 ．
16．如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：①；②；③；④若正方形的边长是，则的最小值是．其中正确的结论是 　　（填序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　　 ，估计袋中白球的个数为　　 个；
（2）在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
19．如图，已知是的角平分线，，．
求证：四边形是菱形．
20．如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图．
（1）如图1，在上找一点，使；
（2）如图2，在上找一点，使．
21．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务．
一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解得，． 所以，　　 ，　　 ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式．
任务：
（1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解　　 ，　　 ；
（2）按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程．
22．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求的值．
23．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
24．根据以下素材，探索完成任务．
情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”．
素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个．
素材2 头盔的进价为30元个，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率．
任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
25．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
（1）【基础运用】如图1，当四边形为矩形时，求证：；
（2）【类比探究】如图2，当四边形为平行四边形时，试问（1）的结论是否依然成立？并说明理由；
（3）【拓展迁移】如图3，已知，为的中点，，，，若，求的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B D B A C D C
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．
11．已知，则 　　．
【答案】．
12．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 　4　．
【答案】4．
13．已知、、、是成比例线段，其中，，，则　4　 ．
【答案】4．
14．如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是 　　．
【答案】．
15．用配方法解方程，方程可变形为，则　9　 ．
【答案】9．
16．如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：①；②；③；④若正方形的边长是，则的最小值是．其中正确的结论是 　①②③　（填序号）
【答案】①②③．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．
18．数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　0.25　 ，估计袋中白球的个数为　　 个；
（2）在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
【答案】（1）0.25，3；
（2）．
19．如图，已知是的角平分线，，．
求证：四边形是菱形．
【答案】见解析．
20．如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图．
（1）如图1，在上找一点，使；
（2）如图2，在上找一点，使．
【答案】（1）作图如下：
（2）作图如下：
21．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务．
一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解得，． 所以，　1　 ，　　 ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式．
任务：
（1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解　　 ，　　 ；
（2）按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程．
【答案】（1）1，；
（2），．
22．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）△，
方程总有两个实数根；
（2），．
23．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
【答案】（1）四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）如图，连接，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
．
24．根据以下素材，探索完成任务．
情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”．
素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个．
素材2 头盔的进价为30元个，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率．
任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）10月份到12月份销售量的月平均增长率为；
（2）每个头盔售价定为50元．
25．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
（1）【基础运用】如图1，当四边形为矩形时，求证：；
（2）【类比探究】如图2，当四边形为平行四边形时，试问（1）的结论是否依然成立？并说明理由；
（3）【拓展迁移】如图3，已知，为的中点，，，，若，求的长．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）结论仍然成立；
（3）5．

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