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16.3 乘法公式 课时错题巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（如图），然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值是（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
7．若是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．4 B．24 C． D．
8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．已知，，则的值为_________________．
11．若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________．
12．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如：
请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ．
13．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____．
14．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ________．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)
16．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
(2)直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
(3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：
．
17．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系；
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值．
②已知：求的值．
18．某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
(2)当，时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B D C D A D B D
1．【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】两个二项式相乘，存在相同项和互为相反项，即可用平方差公式计算．
【详解】解：选项：，两项均为相反项，不符合要求；
选项：，两项均为相反项，不符合要求；
选项：，相同项是，相反项是和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算；
选项：，两项均为相反项，不符合要求．
2．【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】将看作一个整体，利用平方差公式进行展开后即可直接计算出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
3．【答案】D
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示左图、右图的涂色部分的面积是正确解答的关键．用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．
【详解】解：左图，涂色部分的面积为，
将剩余的部分拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故选：D．
4．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴
故答案为：C．
5．【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；
使用完全平方公式 进行计算每个选项，判断哪个等于即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
6．【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将已知条件代入求解．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴．
故选：A．
7．【答案】D
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】根据完全平方公式的结构，先确定首项和末项对应的平方底数，再根据完全平方式的两种形式计算中间项系数即可.
【详解】解：∵ 完全平方公式为，
又∵，，
∴，
∴.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况．
【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形，
∴正方形的边长可以为：，，，四种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用8张）
即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意；
，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
故选：B．
9．【答案】D
【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，；故①正确；
∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数，
∴，
∴；故②正确；
∵
，
又多项式M与N的乘积中不含项，
∴，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的个数为4个；
故选D．
10．【答案】3
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解．
【详解】解：由平方差公式，得 ，
代入已知和，
得，
解得，
故答案为：3．
11．【答案】6或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】直接利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即或．
【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键．
12．【答案】192
【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解．
【详解】解：观察发现，，
，
∴，
，
∴．
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式．
【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为，
因此整体面积为：
方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为：
边长为 的正方形：2 个，面积和为
边长为 的正方形：1 个，面积和为
长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为
总面积为：
两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为
故答案为：．
14．【答案】/
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解．
【详解】解：设大长方形的短边长为d，
∴由图2知，，
∴，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】单项式乘多项式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答．
（2）运用完全平方公式进行计算，即可作答．
（3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
16．【答案】(1)，，
(2)①；②；
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）配上因式后，连续利用平方差公式进行计算，得出答案．
【详解】（1）解：图（1）中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图（2）中阴影部分是长为，宽为的长方形，
因此其面积为，
由于图1、图2阴影部分的面积相等可得，，
故答案为：，，；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是正确解答的前提．
17．【答案】(1)
(2)；②
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可．
（1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可；
（2）根据（1）的结论代入进行计算即可．
【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得；
（2）解：①
18．【答案】(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
(2)长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗．
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键．
（1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可．
（2）把，代入（1）的结论即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
（2）解：当，时，
原式，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗．
答案第1页，共2页
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