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数学　选择性必修 第二册 RJ
5　导数中的函数构造问题
一、单项选择题
1．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(2)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜1，则f(x)＞x－1的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x＞2}
2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则(　　)
A．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
3．定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＜f′(x)，f(0)＝2，则不等式f(x)＜2ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
4．已知a＝sin0.1，b＝0.1，c＝ln ，则(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>c>a D．b>a>c
5．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－1，0) B．(－1，1)
C．(0，1) D．(－1，0)∪(0，1)
二、多项选择题
6．已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．aea>beb B．aln b>bln a
C．aln a>bln b D．bea>aeb
7．已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f′(x)sinx＞f(x)cosx(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f＞－f B.f＞－f
C.f＞2f D.f＜f
三、填空题
8．已知f(x)是定义在R上的可导函数，满足f(1)＝0，且对任意的x∈R，都有f′(x)>ex，则不等式f(ln x)9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)＋>0，且f(e)＝－1，则不等式f(ex)＋x>0的解集为________．
10．若实数x1，x2分别是方程ln (x－1)＋x＝3，xln x＝e2的根，则x1x2－x2的值为________．
四、解答题
11．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，求不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集．
12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，其导函数为f′(x)，若f(x)＝f(－x)－2sinx，且当x≥0时，f′(x)>－cosx，求不等式f>f(x)＋sinx－cosx的解集．
13．已知e是自然对数的底数，a＝，b＝e2sin，c＝，试比较a，b，c的大小．
14．已知函数f(x)＝ekx＋1，g(x)＝ln x．若kf(x)≥g(x)，求实数k的取值范围．
5　导数中的函数构造问题
一、单项选择题
1．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(2)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜1，则f(x)＞x－1的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x＞2}
答案：B
解析：令g(x)＝f(x)－(x－1)，则g′(x)＝f′(x)－1＜0，所以g(x)在R上单调递减．又f(2)＝1，所以g(2)＝f(2)－(2－1)＝0.由f(x)＞x－1，得f(x)－(x－1)＞0，即g(x)＞0，解得x＜2.故选B.
2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则(　　)
A．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
答案：A
解析：设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数．∵a＜b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)．故选A.
3．定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＜f′(x)，f(0)＝2，则不等式f(x)＜2ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：A
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝，因为f(x)＜f′(x)，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在R上单调递增．因为f(0)＝2，所以g(0)＝＝2，则不等式f(x)＜2ex等价于g(x)＜g(0)．因为函数g(x)在R上单调递增，所以x＜0，即不等式f(x)<2ex的解集为(－∞，0)．故选A.
4．已知a＝sin0.1，b＝0.1，c＝ln ，则(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>c>a D．b>a>c
答案：B
解析：设f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，因为0.1>0，所以f(0.1)>f(0)＝0，即0.1－sin0.1>0，即0.1>sin0.1，所以b>a；设g(x)＝ln x－，x>0，则g′(x)＝－＝≥0恒成立，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g>g(1)＝0，即ln －>0，所以c>b.综上可知，c>b>a.故选B.
5．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－1，0) B．(－1，1)
C．(0，1) D．(－1，0)∪(0，1)
答案：D
解析：构造F(x)＝，则F′(x)＝，∵当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，∴当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增，根据f(－1)＝0，可得F(－1)＝0，∴当x∈(－1，0)时，F(x)＞0，则f(x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．故选D.
二、多项选择题
6．已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．aea>beb B．aln b>bln a
C．aln a>bln b D．bea>aeb
答案：ACD
解析：设f(x)＝xex，x>1，则f′(x)＝(x＋1)ex>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故f(a)>f(b)，即aea>beb，故A成立；设g(x)＝，x>1，则g′(x)＝，易知函数g(x)在(1，e)内单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故当1g(b)，即>，故aln b1，则h′(x)＝ln x＋1>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(a)>h(b)，即aln a>bln b，故C成立；设k(x)＝，x>1，则k′(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)在(1，＋∞)上单调递增，故k(a)>k(b)，即>，故bea>aeb，故D成立．故选ACD.
7．已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f′(x)sinx＞f(x)cosx(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f＞－f B.f＞－f
C.f＞2f D.f＜f
答案：BC
解析：由已知，得函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)为奇函数，由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f′(x)sinx＞f(x)cosx，得f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，令g(x)＝，则g′(x)＝，当x∈(0，π)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，π)内单调递增．对于A，因为＞，即f＞f，所以f＝－f＜－f，故A不成立；对于B，因为＞，即f＞f＝－f，故B成立；对于C，因为＜，即f＞2f，故C成立；对于D，因为＞，即f＞f，故D不成立．故选BC.
三、填空题
8．已知f(x)是定义在R上的可导函数，满足f(1)＝0，且对任意的x∈R，都有f′(x)>ex，则不等式f(ln x)答案：(0，e)
解析：因为f′(x)>ex，所以f′(x)－ex>0，构造函数F(x)＝f(x)－ex，则F′(x)＝f′(x)－ex>0，所以函数F(x)＝f(x)－ex在R上单调递增，不等式f(ln x)9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)＋>0，且f(e)＝－1，则不等式f(ex)＋x>0的解集为________．
答案：(1，＋∞)
解析：构造函数g(x)＝f(x)＋ln x，则g′(x)＝f′(x)＋>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，不等式f(ex)＋x>0可化为f(ex)＋ln ex>f(e)＋ln e，即g(ex)>g(e)，所以ex>e，解得x>1.故不等式f(ex)＋x>0的解集为(1，＋∞)．
10．若实数x1，x2分别是方程ln (x－1)＋x＝3，xln x＝e2的根，则x1x2－x2的值为________．
答案：e2
解析：∵x1，x2分别是方程ln (x－1)＋x＝3，xln x＝e2的根，∴ln (x1－1)＋x1＝3，x2ln x2＝e2，且x1>1，x2>1，即ln (x1－1)＋x1－1＝2，变形为ln (x1－1)＋ln ex1－1＝2，从而(x1－1)e x1－1＝e2＝x2ln x2，同构，得e x1－1·ln e x1－1＝x2ln x2，且x1>1，x2>1，e x1－1＞1.设f(x)＝xln x，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝1＋ln x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又f(e x1－1)＝f(x2)，∴ex1－1＝x2，则x1－1＝ln x2，∴x1x2－x2＝x2(x1－1)＝x2ln x2＝e2.
四、解答题
11．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，求不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集．
解：构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以02，
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．
12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，其导函数为f′(x)，若f(x)＝f(－x)－2sinx，且当x≥0时，f′(x)>－cosx，求不等式f>f(x)＋sinx－cosx的解集．
解：令h(x)＝f(x)＋sinx，
则h(－x)＝f(－x)－sinx，
又f(x)＝f(－x)－2sinx，
所以f(x)＋sinx＝f(－x)－sinx，
即h(x)＝h(－x)，
所以h(x)为R上的偶函数，
又x≥0时，h′(x)＝f′(x)＋cosx>0，
所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又h(x)为R上的偶函数，
所以h(x)在(－∞，0]上单调递减，
由f>f(x)＋sinx－cosx，得
f＋cosx>f(x)＋sinx，
所以f＋sin>f(x)＋sinx，
即h>h(x)，
所以>|x|，解得x>－，
所以不等式f>f(x)＋sinx－cosx的解集为.
13．已知e是自然对数的底数，a＝，b＝e2sin，c＝，试比较a，b，c的大小．
解：构造函数f(x)＝，x>e，
则f′(x)＝>0在(e，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
因为a＝＝，c＝＝，
所以f(4)>f(π)>f(e)＝e，即c>a>e.
构造函数g(x)＝x－sinx，x>0，
则g′(x)＝1－cosx≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(x)>g(0)＝0，即x>sinx，x>0，
所以>sin，又e>0，则e>e2sin，即e>b.
综上所述，c>a>b.
14．已知函数f(x)＝ekx＋1，g(x)＝ln x．若kf(x)≥g(x)，求实数k的取值范围．
解：因为f(x)＝ekx＋1，
所以kf(x)＝k(ekx＋1)．
由kf(x)≥g(x)，得k(ekx＋1)≥ln x(x>0)，
即kx(ekx＋1)≥(1＋x)ln x(x>0)，
即ln ekx·(ekx＋1)≥(1＋x)ln x(x>0)．
构造函数h(x)＝(1＋x)ln x(x>0)，
则ln ekx·(ekx＋1)≥(1＋x)ln x(x>0)可化为h(ekx)≥h(x)(x>0)．
因为h′(x)＝ln x＋＋1(x>0)，
令t(x)＝ln x＋＋1(x>0)，
则t′(x)＝－＝(x>0)，
令t′(x)＝0，解得x＝1，
当x∈(0，1)时，t′(x)<0，t(x)在(0，1)内单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，t(x)取得最小值，即t(x)min＝t(1)＝2>0，
所以t(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为h(ekx)≥h(x)(x>0)，所以ekx≥x(x>0)，
即kx≥ln x(x>0)，即k≥(x>0)．
令m(x)＝(x>0)，则m′(x)＝(x>0)，
令m′(x)＝0，则1－ln x＝0，解得x＝e，
当x∈(0，e)时，m′(x)>0，m(x)在(0，e)内单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以当x＝e时，m(x)取得最大值，
即m(x)max＝m(e)＝，
所以m(x)≤，所以k≥.
故实数k的取值范围为.
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