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数学　选择性必修 第二册 RJ
5.1.1　变化率问题
一、选择题
1．某直线运动的物体从时刻t到t＋Δt的位移为Δs，那么为(　　)
A．从时刻t到t＋Δt物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt位移的改变量
C．该物体在Δt时刻的瞬时速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
2．某一质点的运动规律为s(t)＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]内相应的平均速度为(　　)
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
3．已知抛物线y＝2x2－1上一点(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则这两点所在割线的斜率为(　　)
A．2＋Δx B．2－2Δx
C．4＋2Δx D．4
4．一质点M沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
5.(多选)如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内位移的变化情况，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度等于乙的平均速度
二、填空题
6．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________．
7．抛物线y＝x2－2在点处的切线方程为______________．
8．一物体的位移s与时间t之间的关系为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．
三、解答题
9．若一物体的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度；
(3)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
10．航天飞机发射后的一段时间内，时间t与飞机高度h的关系为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？
(2)求第1 s内航天飞机的平均速度；
(3)求第1 s末航天飞机的瞬时速度．
11．已知某登山者爬山的路程h(单位：m)与时间t(单位：h)之间的函数关系为h(t)＝at2＋600t，若该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是360 m/h，则该登山者在t＝3时的瞬时速度是(　　)
A．180 m/h B．240 m/h
C．360 m/h D．480 m/h
12.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是1，2，3，则三者的大小关系为________．
13．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2.5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
14．若抛物线f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为8，求f(x)在x＝x0处的切线方程．
5.1.1　变化率问题
一、选择题
1．某直线运动的物体从时刻t到t＋Δt的位移为Δs，那么为(　　)
A．从时刻t到t＋Δt物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt位移的改变量
C．该物体在Δt时刻的瞬时速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
答案：D
解析：根据题意，直线运动的物体从时刻t到t＋Δt，时间的改变量为Δt，而物体位移的改变量为Δs，所以为该物体在t时刻的瞬时速度．故选D.
2．某一质点的运动规律为s(t)＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]内相应的平均速度为(　　)
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案：A
解析：＝＝＝＝6＋Δt.故选A.
3．已知抛物线y＝2x2－1上一点(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则这两点所在割线的斜率为(　　)
A．2＋Δx B．2－2Δx
C．4＋2Δx D．4
答案：C
解析：这两点所在割线的斜率为k＝＝4＋2Δx.
4．一质点M沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：B
解析：∵质点M在t＝2 s附近的平均速度＝＝＝4a＋aΔt，∴质点M在t＝2 s时的瞬时速度为 (4a＋aΔt)＝4a＝8，即a＝2.
5.(多选)如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内位移的变化情况，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度等于乙的平均速度
答案：BC
解析：在0到t0范围内甲、乙的平均速度均为＝，所以A错误，B正确；在t0到t1范围内甲的平均速度为，乙的平均速度为，很明显>，所以C正确，D错误．故选BC.
二、填空题
6．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________．
答案：1
解析：Δs＝5×32＋3m－(5×22＋2m)＝25＋m，Δt＝3－2＝1，∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，∴＝25＋m＝26，解得m＝1.
7．抛物线y＝x2－2在点处的切线方程为______________．
答案：2x－2y－5＝0
解析：抛物线y＝x2－2在点处的切线斜率k＝ ＝ ＝1，故所求切线方程为y－＝1×(x－1)，即2x－2y－5＝0.
8．一物体的位移s与时间t之间的关系为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．
答案：1
解析：∵＝＝＝14t0－13＋7Δt，v＝(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，∴t0＝1.
三、解答题
9．若一物体的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度；
(3)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解：(1)＝＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均速度为
＝
＝3Δt－18，
所以物体在t＝0时的瞬时速度为
(3Δt－18)＝－18(m/s)．
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1 s附近的平均速度为
＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1 s时的瞬时速度为
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
10．航天飞机发射后的一段时间内，时间t与飞机高度h的关系为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？
(2)求第1 s内航天飞机的平均速度；
(3)求第1 s末航天飞机的瞬时速度．
解：(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度．
(2)＝＝80(m/s)，
即第1 s内航天飞机的平均速度为80 m/s.
(3)v＝ ＝[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120(m/s)，
即第1 s末航天飞机的瞬时速度为120 m/s.
11．已知某登山者爬山的路程h(单位：m)与时间t(单位：h)之间的函数关系为h(t)＝at2＋600t，若该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是360 m/h，则该登山者在t＝3时的瞬时速度是(　　)
A．180 m/h B．240 m/h
C．360 m/h D．480 m/h
答案：B
解析：Δh＝h(3)－h(1)＝8a＋1200，Δt＝3－1＝2，所以该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是＝＝4a＋600＝360，所以a＝－60，所以 ＝ ＝ (－60Δt＋240)＝240，故该登山者在t＝3时的瞬时速度是240 m/h.故选B.
12.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是1，2，3，则三者的大小关系为________．
答案：1＜2＜3
解析：∵1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由题图，得kOA＜kAB＜kBC，∴1＜2＜3.
13．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2.5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解：设子弹从枪口射出时刻为t0，
∵＝
＝
＝5×105t0－2.5×105Δt，
∴v＝ (5×105t0－2.5×105Δt)＝5×105t0.
又t0＝1.6×10－3 s，
∴v＝5×105t0＝8×102＝800(m/s)．
∴子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
14．若抛物线f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为8，求f(x)在x＝x0处的切线方程．
解：因为抛物线f(x)＝2x2＋4x在x＝x0附近且通过该点的割线斜率为
k＝
＝
＝2Δx＋4x0＋4，
所以 (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4＝8，
即x0＝1，
所以f(x0)＝f(1)＝2×12＋4×1＝6.
所以所求切线方程为y－6＝8(x－1)，
即8x－y－2＝0.
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