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数学　选择性必修 第二册 RJ
5.1.2　 第1课时　导数的概念
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x2－x＋1，则f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为(　　)
A．2 B．2Δx＋3
C．2(Δx)2＋3Δx D．2(Δx)2－Δx＋1
2．若函数f(x)可导，则 ＝(　　)
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
3．已知函数f(x)＝3x2＋1，则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f(x)＝a B．f(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
5．(多选)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　)
A．从1到2的平均变化率最小
B．从2到3的平均变化率大于0
C．从3到4的平均变化率比从2到3的平均变化率大
D．从4到7的平均变化率最大
二、填空题
6．若函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，则t＝________．
7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝________．
8．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f(t)＝－t2＋10t，则汽车在t＝1 s时的加速度为________．
三、解答题
9．求函数f(x)＝在x＝x0(x0>－1)处的导数．
10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义．
11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　)
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
12．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________．
13．(1)若函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，求 的值；
(2)已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，求 的值．
14．有一个长方体的容器(如图)，它的宽为10 cm，高为100 cm.右侧面为一活塞，容器中装有1000 mL的水．活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm.
(1)写出y关于x的函数解析式y＝f(x)，x≤200 cm；
(2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？
(3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率．
5.1.2　 第1课时　导数的概念
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x2－x＋1，则f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为(　　)
A．2 B．2Δx＋3
C．2(Δx)2＋3Δx D．2(Δx)2－Δx＋1
答案：B
解析：函数f(x)＝2x2－x＋1从1到1＋Δx的平均变化率为＝
＝2Δx＋3.故选B.
2．若函数f(x)可导，则 ＝(　　)
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
答案：C
解析：＝－＝－f′(1)．故选C.
3．已知函数f(x)＝3x2＋1，则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：D
解析：f(1)＝4，f′(1)＝＝＝(6＋3Δx)＝6.
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f(x)＝a B．f(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
答案：C
解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴＝a＋bΔx，∴f′(x0)＝
＝(a＋bΔx)＝a.故选C.
5．(多选)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　)
A．从1到2的平均变化率最小
B．从2到3的平均变化率大于0
C．从3到4的平均变化率比从2到3的平均变化率大
D．从4到7的平均变化率最大
答案：BC
解析：由函数图象可得，函数y＝f(x)从4到7的平均变化率小于0；从1到2、从2到3、从3到4的平均变化率均大于0且Δx相同，由图象可知函数从3到4的平均变化率最大．故选BC.
二、填空题
6．若函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，则t＝________．
答案：5
解析：因为函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，所以＝
＝2，解得t＝5.
7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝________．
答案：－1
解析：∵f′(x0)＝
＝＝(6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.
8．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f(t)＝－t2＋10t，则汽车在t＝1 s时的加速度为________．
答案：8 m/s2
解析：由题意，得＝＝8－Δt，当Δt无限趋近于0时，可得汽车在t＝1 s时的加速度为8 m/s2.
三、解答题
9．求函数f(x)＝在x＝x0(x0>－1)处的导数．
解：f(x)＝，
则f′(x0)＝＝
＝＝＝.
10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义．
解：根据导数的定义，得
f′(100)＝＝
＝
＝
＝
＝＋＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米．
11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　)
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
答案：B
解析：由题图可知，A，B两机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
12．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________．
答案：16π
解析：∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝－＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π.
13．(1)若函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，求 的值；
(2)已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，求 的值．
解：(1)
＝－
＝－f′(x0)．
(2)
＝
＝－f′(x0)＝.
14．有一个长方体的容器(如图)，它的宽为10 cm，高为100 cm.右侧面为一活塞，容器中装有1000 mL的水．活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm.
(1)写出y关于x的函数解析式y＝f(x)，x≤200 cm；
(2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？
(3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率．
解：(1)由水的体积恒定不变，有10xy＝1000，
∴y＝(1≤x≤200)．
(2)当活塞与左侧面的距离为1 cm时，y1＝＝100(cm)，
当活塞与左侧面的距离为2 cm时，y2＝＝50(cm)，
∴水面高度的改变量为Δy＝y2－y1＝50－100＝－50(cm)．
当活塞与左侧面的距离为8 cm时，y3＝＝12.5(cm)，
当活塞与左侧面的距离为10 cm时，y4＝＝10(cm)，
∴水面高度的改变量为Δy＝y4－y3＝10－12.5＝－2.5(cm)．
可见，前一个过程水面高度的变化较快．
(3)根据瞬时变化率的含义，有y′|x＝10＝
＝＝＝－1.
即当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率为－1.
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