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第26章二次函数单元检测强化训练卷人教版2026—2027学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最大值为 D．当时，随的增大而减小
3．函数与的图象（ ）
A．都关于y轴对称 B．顶点都在原点 C．开口都向上 D．以上都不对
4．将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
8．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与轴有两个交点 D．顶点坐标为
9．如图，顶点为的抛物线（，，为常数，）与轴相交于点．给出下列四个结论：①；②；③对任意实数，有；④若点，在抛物线上，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
10．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最小值7 B．最大值 C．最大值7 D．最小值
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数解析式为________．
12．若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____．
13．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________．
14．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．抛物线的顶点坐标为，并经过点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求函数值的取值范围．
16．如图，抛物线与直线相交于点和点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求点的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集；
(3)若关于的方程在的范围内只有一个实数根或有两个相等的实数根，求出的取值范围．
17．某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为W（元）．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)求日销售利润W与销售单价x的函数解析式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润．
18．已知二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围．
19．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．
(1)求篮球出手点距离地面的高度；
(2)求篮球行进过程中距离地面的最大高度
20．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（为常数）对称，则称该函数为“函数”．
(1)在下列函数中，是“函数”的有______（填序号）．
①；②；③；④
(2)若关于的函数是函数，且过点，求该函数关系式．
(3)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于两点，函数图象的顶点为，当时，求、的值．
参考答案
1．A
【详解】解：A.是整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数，故A正确.
B.中自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数，故B错误.
C. 的函数表达式为分式，不是整式，不是二次函数，故C错误.
D. 的函数表达式为分式，不是整式，不是二次函数，故D错误.
2．D
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
函数有最小值，当时，随的增大而减小.
3．A
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，
∴两函数图象的对称轴均为轴，即都关于轴对称．
4．B
【详解】解：∵二次函数的图象向下平移个单位长度，
∴平移后的函数解析式为．
∵平移后的函数图象过点，
∴，
∴．
5．A
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
又当时，随的增大而增大,
抛物线开口向上，即，
解得．
6．B
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小，
点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，，
．
7．B
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得．
8．D
【详解】解：．
∵，
∴抛物线开口向上，A错误．
∵抛物线顶点式为，
∴对称轴为直线，B错误．
顶点坐标为，D正确．
当时，，
∴抛物线与轴无交点，C错误．
9．B
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则．
顶点的坐标为，
对称轴为直线，即，
，即，故①错误；
设抛物线的解析式为 ．
令，得，即抛物线与轴的交点坐标为．
由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，
， 解得，故②正确；
根据图象得：当时，取得最大值为：，
对任意实数，，
∴，故③正确；
∵对称轴为，
∴，，
当时，两点到对称轴的距离相等且两点重合，，故④错误．
∴B正确．
10．C
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴将，代入得，
解得或，
∵二次函数的对称轴为，对称轴在轴右侧，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为，
配方得，
∵，抛物线开口向下
∴该二次函数有最大值，最大值为.
11．
【详解】解：∵ 抛物线与二次函数的图象开口大小相同，方向相反，
∴ 抛物线的二次项系数，
顶点坐标为，
．
12．
【详解】解：∵二次函数的二次项系数为，
∴函数图象开口向上，最小值为顶点的纵坐标，
函数配方得：，
∴函数的最小值为，
根据题意，得：，
解得．
13．或
【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧，抛物线高于直线，
∴当或时，．
14．36
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，化简得，
解得，
∵，是该一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得，，
展开整理得：，
将，代入得：，
∵二次函数开口向上，对称轴为，且，
∴当时，取得最小值，
将代入得最小值为．
15．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为,
将点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）解：∵，且函数开口向下，抛物线顶点坐标为，
∴当时，函数值最大，此时；
当时，函数值最小，此时；
∴当时，函数值的取值范围是．
16．【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：将点代入，
得，
解得，
直线的函数解析式为，
联立，
解得或，
点的坐标为，
从图象看，不等式的解集为或；
（3）解：由图可知抛物线与直线在的范围内只有一个交点时经过点，
此时，
当直线在轴与直线之间时，在的范围内方程有两个相等的实数根，
抛物线的顶点坐标为，直线经过顶点时在的范围内方程也有一个实数根，
的取值范围是或．
17．【详解】（1）解：由题意得，，
即．
（2）解：由题意得，
，
，且当时，W随x的增大而增大，
∴当时，日销售利润最大，最大利润为960元．
18．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
，
解得，
∴这个二次函数的解析式为，
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）解：当时，需分情况讨论：
①当时，y随x的增大而增大，
由题意可得，当时，y取最大值，即；
当时，y取最小值，．
又，
，
，
解得；
②当时，
∵抛物线开口向下，
∴距离抛物线对称轴越远，所对应的函数值越小．
若，即时，
∴当时，y取最大值，
此时；
当时，y取最小值，此时，
，符合题意；
若，即时，
∴当时，y取最大值，此时，
当时，y取最小值，
，
又，
，
，
解得或，不合题意．
综上所述，t的取值范围为．
19．【详解】（1）解：令，则．
答：篮球出手点距离地面的高度为．
（2）解：．
∴其顶点坐标为，
故篮球行进过程中距离地面的最大高度为．
20．【详解】（1）解：①及②的图象是不平行于轴的直线，不是关于直线（为常数）对称的轴对称图形，即图象上不存在不同的两点关于直线（为常数）对称，函数①②不是“函数”；
③的图象是双曲线，关于直线和对称，但不是关于直线（为常数）对称的轴对称图形，所以图象上不存在不同的两点关于直线（为常数）对称，函数③不是“函数”；
④的图象是抛物线，关于轴对称，满足题目定义，函数④是“函数”；
（2）解：为函数，即其图象的对称轴为，
，即；
又函数图象过点，
，
联立，解得，
该函数关系式为；
（3）解：为“函数”，
其图象的对称轴为；
即，
又函数图象与直线相交于两点，
设点，其中，则点，
，
，函数图象的顶点，如图所示：
，
由抛物线对称性可得，，
是等腰直角三角形，即，
，
联立，
由①得，则，解得或（舍去），
；
综上所述，．
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