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2026-2027学年人教版九年级数学上学期10月份第一次月考自编模拟提分训练卷
（测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．把方程化成的形式，其中的值分别是（ ）
A．1，3，2 B．1，，6 C．1，， D．1，，6
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
5．宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2024年注册用户为50万户，2026年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A． B． C． D．或
8．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．或 D．或1
9．若函数当时，该函数的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
10．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________．
12．已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______．
13．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______．
14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
15．若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．
16．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为______．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程
(1)
(2)（用配方法）
18．抛物线的对称轴为直线．
(1)求a的值；
(2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式．
19．一个二次函数的图象经过(﹣1，﹣1)，(0，0)，(1，9)三点
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)若另外三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)也在该二次函数图象上，求n的值.
20．已知关于的一元二次方程的两个根是和．
(1)当时，求的值；
(2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值．
21．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
22．投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离．
(3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围．
23．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
24．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求：
①请求出k的值．
②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式．
(3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
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试卷第1页（共3页）
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D B A C A B C
11．1
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：1．
12．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则
解得：，
故答案为：．
13．36
【详解】解：，
抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0，
当时，，
当时，，
当时，最大值为36，最小值为0，
二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：．
故答案为：36．
14．/
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
15．4
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
则，，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．
【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线：，
当时，，
所以抛物线与y轴的交点坐标为，
又∵抛物线与线段恰有一个公共点，
当时，将坐标代入函数解析式得：，
解得；
将坐标代入函数解析式得：，
解得：，
当时，抛物线为，
联立得，，即，
解得，，此时抛物线与线段有两个公共点，
不符合题意，舍去；
当时，抛物线为，
联立得，，即，
解得，，此时抛物线与线段只有一个公共点，
符合题意；
如图，要使抛物线与线段只有一个公共点，
当时，，当时，，
即且
解得，
故答案为：．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．【详解】（1）解：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式是，
设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，
则抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴平移后得到的抛物线的表达式是．
19．【详解】解：(1)设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，
∵二次函数的图象经过点(0，0)，(﹣1，﹣1)，(1，9)三点，
∴，解得，
所以二次函数的解析式是：y＝4x2+5x；
(2)∵二次函数为y＝4x2+5x，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)在该二次函数图象上，
∴＝﹣，
∴x1+x2＝﹣，
∴n＝4×(﹣)2+5×(﹣)＝0．
20．【详解】（1）解：当时，原方程为，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，
∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∵，
∴．
21．【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
依题意，得．
解得，，．
经检验，是原方程的根．
∴每盒产品的成本为：（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）
；
（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下
∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当时，每天的最大利润为元．
22．【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为，
∴抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，
解得或（舍），
∵四边形是矩形，
∴，
∴（米），
∴人离壶的距离为米；
（3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，
当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入，
得，
解得，
∴，
∴．
23．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
对于一次函数，
当时，，
∴，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：
（2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，
理由：的周长为最小，
设直线的表达式为
把，代入得：
，解得
∴直线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，，即点；
（3）解：存在，理由：
设点
∵直线与y轴的交点为D，
当时，，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
，
．
∵，
∴．
即P点的坐标为
24．【详解】（1）解：①解方程得，，
，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
，
方程是“邻根方程”；
③解方程得，
，
方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：②④．
（2）解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
，，，
，
，
解得；
②方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
，，
解得，，
点是一次函数图象上的一点，
，
，
一次函数的解析式为；
，，
点是一次函数图象上的一点，
，
，
一次函数的解析式为；
故一次函数的解析式为或；
（3）解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根，
，
，，均为常数，是关于的“邻根方程”，
，
，
，
，
，
，
，
方程是“邻根方程”
则，
方程的根为或．

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