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华东师大版2026—2027学年九年级数学上册第一次月考重难点常考题型模拟卷.培优卷
（测试范围：第20、21章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
4．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．用配方法解方程，配方后可得（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．“任尔东西南北风，乱云飞渡仍从容．为中国，为世界，吾辈当奋发图强！”中国外交部（不跪！）视频发布首日全球播放量突破5亿次，第三天全球播放量突破10亿次．设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（ ）
A．2b B．0 C．-2a D．-2a-2b
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为______．
12．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______．
13．若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
14．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为___________
15．若最简二次根式与能进行合并，则______．
16．若，则＝________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算
(1)；
(2)．
18．用适当的方法解方程．
(1)；
(2)．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)若是该方程的一个根，求m的值；
(2)若一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
20．若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式．
(1)求、的值；
(2)求的值．
21．已知，，则
(1)______；______；______．
(2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子的值．
22．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫______件，每件的利润是______元．（用含x的代数式表示）
（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
23．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
24．定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”．
(1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______；
(2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______；
(3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C A C D D A C
11．2
【详解】解：设道路的宽度为，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴道路的宽度为．
故答案为：2．
12．
【详解】解：整理得，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于x的方程中，，
解得：．
故答案为：．
13．2
【详解】解：设另一个根为，由题意得
，
∴，
故答案为：2．
14．
【详解】解：将代入方程，得，
，
，
，
故答案为：．
15．4
【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并，
∴，
解得：．
故答案为：4
16．/
【详解】解：，
，
．
故答案为： ．
17．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【详解】（1）解：
移项，得：，
配方，得：，
开方，得：，
解得：，．
（2）解：
移项，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
19．【详解】（1）解：把代入方程得到，
解得，
即的值为1；
（2）根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
20．【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，
解得；
（2）解：∵，
∴．
21．【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
．
故答案为：；；
（2）原式，
把，代入，可得：
．
22．【详解】解：（1）30+2x； 40-x
（2）由题意，得（40-x）（30+2x）=1400，
即：（x-5）（x-20）=0，
解得x1=5，x2=20，
为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；
（3）由题意，得（40-x）（30+2x）=1600，
整理，得x2-25x+200=0，
△=252-4×1×200=625-800=-175＜0，
即：该方程无解，
所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．
23．(1)一元二次方程是“有爱方程”，理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有爱方程”．
(2)证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”，
，
，
，
为“有爱方程”的根．
（3）是关于的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或．
24．【详解】（1）解：由题意，得，
∴；
（2）解：由题意，得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：方法一：由题意得，即
，为整数，
，
解得．
方法二：由题意得
，为整数，
，．
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