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2026-2027学年人教版九年级数学上学期第一次月考自编模拟提分训练卷
（测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是方程的一个根，则c的值为（ ）
A． B．8 C．9 D．
3．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
4．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
5．函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
9．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
10．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是_______．
12．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是_________．
13．已知二次函数，当时，函数的最小值为_________ ．
14．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是______米．
15．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为___________ ．
16．已知抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则_____．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．二次函数的图象经过点，顶点坐标为
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围．
21．用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m．
(1)若围成的花圃面积为，求的长；
(2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
22．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
(1)求喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；
(2)求线段的长；
(3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式．
24．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B B A C D D D
11．且
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
12．4
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为，
∴，，
解得，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最小值为，
故答案为：．
14．5
【详解】解：，
∴水柱的最大高度是5米，
故答案为：5．
15．20
【详解】解：，
，
或，
，
①三角形的三边是5，7，2，
∵，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理，
∴三角形的周长是，
故答案为：20．
16．或
【详解】解：∵，
∵当时，，
∴A点坐标，
又∵，直线平行x轴
∴B点坐标为或，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴或
解得，或
故答案为：或
17．【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
18．【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为，
将代入，得，，
解得，，
∴这个二次函数的表达式为．
（2）∵二次函数的表达式为．
∴当时，，
当时，
∵抛物线的顶点坐标为
∴y的最小值为，
∴当时，y的取值范围为；
（3）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得，
∴与x轴只有一个交点即，
当时，，
∴与y轴有一个交点即，符合题意；
当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：，
当时，，
解得：，
所得交点为，符合题意；
∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点．
19．【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程两实数根分别为，，
∴，
，
∵，
∴，
，
解得：（舍去）或，
∵，
∴．
20．【详解】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，
抛物线开口向下，
抛物线上的三个点，，，总有，
．
．
①当时，
．
．
②当时，
．
．
综上，或．
21．【详解】（1）解：设平行于墙的边长为．
根据题意得，，
则，
∴，
因为，
所以舍去，
所以，
答：的长为；
(2)不能围成花圃，理由如下：
根据题意得，
，
方程可化为，
∴，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃．
22．【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
∴，
令，易得，
令，得，
可求得，
因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
函数的对称轴为直线，
把代入，得
因此A喷头喷出的水流的最大高度是；
（2）解：依题意，函数，
令，得，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
23．【详解】（1）解：
，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，令得，
解得，
∴；
∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，
∴抛物线的解析式为
当时，，
解得，
∴，
∴；
（3）由（2）得，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∴，得，
∴或，
∵
∴或，
∴平移后新抛物线的表达式为或．
24．【详解】（1）存在，理由：由题意得，的“级变换点”为，将代入反比例函数表达式得：，
解得：；
(2)证明：点A在直线上，所以设A的坐标为，则由题意得，点的坐标为，所以，点在直线上，
则，，
则，
∵，则，即；
（3）解：点、的“1级变换点”坐标为、，
将、代入得，
则，即点A在直线上，同理可得，点在直线上，
即点A、所在的直线为，
∴抛物线与直线交点为，，
∴、是一元二次方程的两个根，
由，可知，，，
∴，
，，
∴，
由， 可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，
令，则，
即，
∴．
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