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2026-2027学年人教版九年级数学上学期10月份第一次月考押题卷
（测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3
6．已知，，是二次函数图象上的点，则（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　）
A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒
9．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是
A． B． C． D．
10．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为________．
12．已知一元二次方程有两个实数根，点在第 _____象限．
13．若方程有解，那么的取值范围是_____．
14．如图是函数的图象，则k的取值范围是______．
15．已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 _______ 个．
16．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为________．

三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知点与点都在二次函数的图像上．
(1)求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
(2)求该抛物线上纵坐标为的点的坐标；
(3)当时， 求函数的最大值和最小值．
19．生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个．
(1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率；
(2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？
20．已知关于x的方程．
（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，方程有两个不相等的整数根
21．如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离．
22．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线，经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式．
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
23．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点．
(1) （填是或否）存在“”点；
(2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D D A B D C A
11．
【详解】解：由题意可知，且，
解得或，
解得：，
∴，
故答案为：．
12．四
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴点的坐标为，
∴点在第四象限；
故答案为：四．
13．
【详解】解：依题意，在方程中，，
故．
故答案为：
14．
【详解】由图可知开口最小，其次，开口最大，
∴，
∵，开口向下，
∴，，
即，且，，
解得：且，
即，
故答案为：．
15．15
【详解】解：∵关于的方程，总有两个不相等的实数根，
∴
，
关于的二次函数的图象在x轴上方，
，
解得，
直线与轴交于，与轴交于，
，，
，
且，
，故
，
的面积为整数值的三角形个数有15个，
故答案为：15．
16．
【详解】解：连接AC，交y轴于点D，

当时，则，即，
四边形是正方形，
，，
点，
，
解得：，
故答案为：．
17．【详解】（1）解：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
直接开平方，得：，
∴或，
∴方程的解为：，；
（2）解：，
化简得：，
∵，，，，
∴，
∴或，
∴方程的解为：，．
18．【详解】（1）解：已知点在二次函数的图象上，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为，
∵点在二次函数图象上，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为；
（2）解：抛物线上纵坐标为，即，
∴，
解得，，
∴纵坐标为的点的坐标为，；
（3）解：∵二次函数的对称轴为，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，时，，时，，时，，
∴当时，函数的最大值为，最小值为．
19．【详解】（1）解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，
由题意得，
解得或（舍去），
故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为．
（2）解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个，
由题意得，
解得，，
∵要尽可能让消费者得到实惠，
∴，
故该零部件的实际售价应定为元．
20．（1）当 时， 是关于的一元二次方程．
∵不论为何值时，，
∴方程总有实数根；
当时，是关于的一元一次方程．
∴
∴
∴方程有实数根
∴不论为何值时，方程总有实数根；
（2）
分解因式得
解得：
∵方程有两个不相等的整数根
∴为整数，且
所以
21．【详解】（1）解：根据题意首先建立坐标系，如图所示：
抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，
得，
；
（2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是，
，
，
，．
两景观灯间的距离为．
22．【详解】（1）解：令x＝0，得，
∴，令y＝0，得，解得x＝4，
∴，
把A、C两点代入得， ，解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设，则，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为．
23．【详解】（1）解：由，得，
∴或，
解得，，
∵，为整数，
∴是“”点，
故答案为：是；
（2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为，
∴，，
故，；
（3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，
由，
得，
故，
由一元二次方程的根与系数的关系得，，
∴，
∵“”点在直线上，
∴，
∴，
解得，，
所以，
整理得 ，
解得或，
当时，方程为，，，“”点坐标为，符合；
当时，和不是整数解，舍去．
综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时．
24．【详解】（1）解：把 代入得：
解得 ，
抛物线的解析式为；
（2）解：直线上方的抛物线上存在点，使，
理由如下：
作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
将代入可得，解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入得：，解得，
直线解析式为，
联立，解得或，
；
（3）解：设直线解析式为，
将代入可得，解得，
直线解析式为，
设，
又，由勾股定理得，解得：或，故点，
设直线的表达式为，
将代入可得，则直线的表达式为，
由，可得直线的表达式为 ，
设直线的表达式为：，
抛物线的对称轴为：，
点，点，而点；
要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形．
①若，由对称性得，
由，解得，
此时，故；
②若，则，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时；
③若 ，则，
解得：或，
当时，，，此时，
当时，，四边形不存在，舍去；
综上，点的坐标为：或或或．
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