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2026-2027学年人教版九年级数学上学期10月份第一次月考自编模拟卷
（测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大
3．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ 　 ）
A．4 B．3 C．2 D．
4．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增长至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，当时，随的增大而减小的是( )
A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图所示，则它的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．设点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)是抛物线y=﹣2x2+1上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3
8．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是______．
12．如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____．
13．设，，且，则代数式的值为__________．
14．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____．
15．如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是_____．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求的值；
(2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
19．如图，二次函数图象经过点、、．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围．
20．某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
(1)求二月份的销售额；
(2)求三、四月份销售额的平均增长率．
21．某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．
(1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
22．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点．
(1)如图，若该抛物线经过点；
①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由．
(2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）；
(3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A A C D D D D
11．
【详解】解：∵是二次函数，
∴．
解得：．
故答案为：．
12．-1
【详解】解：由题意得：|m-1|=2，且m-3≠0，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
13．23
【详解】解：∵，
∴a，b是的两个根，即，
∴，
∴.
故答案为：23.
14．1
【详解】解：方程的两个根之和为，
则另一个根为，
故答案为：1．
15．，，
【详解】解：∵,
∴,
关于的方程的解是，，令，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
16．
【详解】解：令，即，
解得，
令，，
故A、B、C的坐标为：，
函数对称轴，
点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求，
设的函数表达式为：，
将代入，
得，
解得，
的函数表达式为：，
将代入，，
故点P坐标是．
故答案为：．
17．【详解】（1）解：在方程中，
a=1，b=-4，c=1，
，
，，
所以，原方程的解为，
（2）解：由原方程得：，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，．
18．【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2，
∴，
∴；
(2)证明：∵，
∵，
∴，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
19．【详解】（1）解：二次函数图象经过点、、，
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或．
20．【详解】（1）解：（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为．
21．【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量，
可得：；
（2）解：当时，
可得：，
解得：，
该产品第一年的售价是元/件．
（3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，
，
解得：，
，
第二年的利润，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，且，
当时，有最小值，最小值为万元，
答：该公司第二年的利润至少为万元．
22．【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大为．
23．(1)证明：∵，
∴
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根，
∴，
∵b、c为直角边，斜边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴的周长，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减，
解得：．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减，
∴解得，
∴．
又方程①的两根之积等于1，
∴也是方程①的根，则．
又，
两方程相减，得．
若，则方程①无实根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．
24．【详解】（1）①∵抛物线的对称轴是直线，经过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
∵，对称轴是直线
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标的坐标为；
②∵，
∴
∵
当时，
∴，即
∴
设所占直线解析式为
∴将代入得，
解得
∴所占直线解析式为
如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F
∵点E为直线上方抛物线上的动点
∴设，则
∴
∴
∵
∴当时，由最大值
∴此时；
（2）∵当时，
∴抛物线开口向上
∵对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，
∴，
∵
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
∴；
（3）∵抛物线的对称轴是直线
∴
∴抛物线
如图所示，当时，抛物线开口向上，当抛物线经过点时，
∴
解得
∴若该抛物线与线段恰有一个公共点
∴；
如图所示，当时，抛物线开口向下，当抛物线的顶点在线段上时，此时抛物线与线段只有一个交点
∴此时抛物线顶点坐标为
∴
解得
综上所述，若该抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围为或．
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