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人教版2026—2027学年九年级数学上册10月份学情自测重难点常考题型专项训练卷
（测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
4．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
5．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　）
A． B． C． D．
6．抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
7．若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A．3或5 B．3 C．4或5 D．5
8．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______．
12．若是关于的方程的两个根，且，则______．
13．二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为______．
14．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________．
15．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．
16．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是方程的两个实根，且，求的值．
19．已知二次函数．
(1)当x为何值时，y有最值？是多少？
(2)当时，求函数的最值．
(3)当时．求函数的最值．
20．现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0. 6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
21．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？
22．已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点．
(1)求该抛物线的表达式和对称轴．
(2)若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围．
(3)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积．
23．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B B A A B D C
11．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：．
13．或
【详解】解：∵当时，
∴二次函数的图象经过点，
∵二次函数的图象也经过点，
∴二次函数的图象与x轴的交点为和，
∴关于x的方程的根为或，
故答案为：或．
14．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上，
∴，
解得，，
即，，
∴，
∴矩形框架的周长为
故答案为：．
15．5
【详解】解： ，
当时，最大高度为
所以从点火升空到引爆需要的时间为5s.
故答案为：5
16．1
【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴；
由题意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1
17．【详解】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，．
18．(1)
证明：
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得，，
，
，
解得或，
即的值为或．
19．【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为10；
（2）解：由（1）可得对称轴为直线
当时，y随x的增大而增大，
∴由知，当时，y取得最小值，最小值，
当时，y取得最大值，最大值；
（3）解：由（1）可得对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而减小，
∴在范围内，当时，函数取得最大值，最大值，无最小值．
20．【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件），
（万件），
∵，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
∵（万件），
∴，
∴需要再添加3名快递员．
21．【详解】（1）由可知边所用篱笆为，
∴，
∴，
墙的长度不超过，
，
；
（2）在中，
令，则，
解得，（不合题意，舍去），
，
当为，为时，矩形场地的面积为；
（3），且，
当时，y取最大值，即矩形场地的面积最大为．
22．【详解】（1）解：根据题意，
解得：，
∴抛物线的表达式：；
∴抛物线的对称轴为：；
（2）解：令，即，
根据题意：，即，
解得：；
（3）解：令，
解得：，
∴，
将代入，则，
∴，
过点P作于H，则，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
23．【详解】（1）解：把，代入，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）解：令，可得：，
解得：，，
∴B点坐标为：，
抛物线的对称抽为：，
A、B两点关于直线对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴，
∴，
即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为，
如图，
∵，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴P点坐标为：；
（3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示：
设点，则点，
则，
则
，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
此时，
∴．
24．【详解】（1）解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
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