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第25章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．1， D．1，
2．若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
3．关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
4．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（ ）
A．18 B．20 C．19 D．17
5．已知是方程的两个实数根，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一块矩形铁片的长是宽的倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，若设原铁皮的宽为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法：
①当时，c的取值范围为：，且；
②a，c之间共有6个整数；
③若（k为正整数），，则．
其中正确的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________．
12．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______．
13．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________．
14．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________．
15．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．
16．如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：．
18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程
(1)证明：该方程总有实数根；
(2)当m为何值时，方程的两个根互为相反数？
20．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求的值．
21．（8分）如图，一面靠墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成了一个矩形场地，篱笆总长为32m．
(1)若围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽；
(2)能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，请求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．
22．（10分）【阅读材料】
材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系：
材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．
下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________；
(2)已知实数满足，且，求的值；
(3)已知实数满足，且，求的最大值．
23．（10分）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．
求：
(1)几秒后，的面积等于？
(2)的面积能否等于？说明理由．
24．（12分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式，求它的最大值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
(3)知识迁移：
如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值．
25．（14分）如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈铜栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位．
(1)若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m；
(2)设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
解：∵，
∴，
∴二次项系数是1，一次项系数是，
故选D．
2．A
把代入，
得，
解得，
故选A．
3．A
解：∵关于x的一元二次方程中，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．D
解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．D
已知是方程的两个实数根，
其中，
则有，
故选：D．
6．D
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
整理得 ，
解得 ．
7．C
解：∵每次降价率为x，
∴第一次降价后售价为元，
第二次降价后售价为元，
又∵最终售价为100元，
∴．
故选：C．
8．D
解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和．
∴，
化简得；
又．
∴ ，
∴．
9．B
解：正方形铁皮的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长为，宽为厘米，高为厘米，
根据题意列方程得，，
故选：B．
10．B
解：①当时，
∵，
∴，
∴，
∵正实数a，b，c满足（均不为整数），
∴，故①正确；
②，
∴，
∴a，c之间共有个或个整数，故②错误；
∵若（k为正整数），，，
∴当时，
a，c之间有个整数，
则a，b之间的个整数设为，，，
b，c之间的个整数为，，，，
，
或．
当a、c上有个整数，，无整数解．
当时，a、c间有个整数，
则a，b之间的个整数设为，，，，
b，c之间的个整数为，，，
，
或，
当，a、c间有个整数时，
则a，b之间的个整数设为，，，，
b，c之间的个整数为，，
，无整数解；
当时，
则a，b之间的个整数设为，，，，，
b，c之间的个整数为，，
，无整数解
或，无整数解
当时，
则a，b之间的个整数设为，，，，，，
b，c之间的个整数为，
，无解．
综上所述，或或，
则或或．
，或
是正整数．
，故③错误；
故选：B．
二、填空题
11．
解：展开方程，得．
由于二次项系数为负，方程两边乘以，得．
因此常数项为．
故答案为：．
12．，
解：将已知方程整理得 ，其解为．
将待求解方程 变形为
令，则方程变为 ，可得，
即或，
解得．
13．，
解： ，且 ，
，
整理得 ，
因式分解得 ，
即 或 ，
解得 ，．
14．
设这款挂件销量的月平均增长率为，
根据题意列方程得：，
∴，
解得，（舍去），
∴这款挂件销量的月平均增长率为．
15．5
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
则这种植物每个支干长出的小分支个数是．
故答案为：．
16．
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，
，
∴，
∴，，
∴，
解得，负的舍去，线段长不能为负，
∴，
根据勾股定理，得，
，
整理，得，
解得或，负的舍去，线段长不能为负，
故,
故；
三、解答题
17．解：在方程中，，，，
，
∴，
，．
18．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
（2）解：由题意得：，
，
，
．
19．（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴，且，
∴该方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得，，
∵方程的两个根互为相反数，
∴，
解得．
20．（1）解：∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根，
∴ ，
，
，
；
（2）解：∵ 对于方程，根据韦达定理，，，
又∵ ，
∴ ，
解得，
∵ ，符合（1）中的取值范围，
∴ ．
21．（1）解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为，依题意得：，
解得：，
，
答：矩形场地的长为14m，宽为4m．
（2）不能，理由如下：
设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴不能围成一个面积为的矩形场地．
22．（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，．
故答案为：2，．
（2）解：∵，实数满足，，
∴可看作方程的两根，
∴，
∴原式
∴原式的值为．
（3）解：∵，
∴将看作是方程的两实数根；
∴，且，
∴，
∴，
解得，
∴的最大值为1．
23．（1）解：设出发秒时，则， ，．
∴ 即
解得：或（不符合题意，舍去），
∴当出发1秒后，的面积等于；
（2）不能，
理由：假设经过t秒后，的面积等于，即，
∴，
整理得：，
由于，
则方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
24．（1）解：，
，
，
的最大值为；
（2）
，
，
；
（3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动
点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，
，
，
，
，
S的最小值为20．
25．（1）解：∵搭建自行车车库为矩形，车库宽度为xm，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
．
故答案为：．
（2）解：由（1）可得，车库面积为：，
由题意得到，解得，
∴．
（3）解：有必要，理由如下：
由（1）可得：
，解得：或（不符合题意舍去），
当时，．
∴机动车停车位向外移动．
∴有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动．

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