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第26章《二次函数》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，二次函数是（　　）
A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c D．
2．对于抛物线，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
3．在同一坐标系中，画函数、、的图象，它们共同特点是（　　）
A．开口向上 B．都是关于轴对称的抛物线，且随的增大而增大
C．开口大小相同 D．都关于轴对称的抛物线
4．已知抛物线过原点，你认为c的值应为（ ）
A． B．0 C． D．
5．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　 ）
A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3
8．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点的坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2019的值为(　 　)
A．2015 B．2016 C．2019 D．2020
9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b=-a；③9a-3b+c=0；④m（am+b）≥a-b（m为任意实数）；⑤4ac-b2＜0，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为___________．
12．将抛物线C1：y＝x2﹣4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到将抛物线C2，则抛物线C2的解析式为：_______________．
13．如已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为_____________．
14．在平面直角坐标系中，若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________．
15．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．已知二次函数．
(1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标；
(2)当为何值时，随的增大而增大．
17．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)判断点是否在这条抛物线的图象上．
18. 某县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同．
(1)求平均每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线．
(1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由．
20．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？
21．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．
(1)直接写出二次函数的解析式： ；当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(2)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”．
(1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）；
①；②；③
(2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”．
①求二次函数的表达式．
②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
23．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
(1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ；
(2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
(3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值．
参考答案
一、选择题
1．B
A、y＝﹣4x+5是一次函数，故选项A不合题意；
B、y＝x（2x﹣3）是二次函数，故选项B符合题意；
C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项C不合题意；
D、不是二次函数，故选项D不合题意．
故选：B．
2．B
解：∵抛物线解析式为
∴
∴抛物线开口向上，故A错误
对称轴为直线，故B正确
顶点坐标为，故C错误
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
3．D
解：的图像开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧的抛物线，且随的增大而增大；
的图像开口向下，对称轴为y轴，故A选项错误，不符合题意；
在对称轴右侧的抛物线，且随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴三个抛物线开口大小不相同，故C选项错误，不符合题意；
的图像开口向上，对称轴为y轴，故D选项正确，符合题意；
4．B
解：∵抛物线经过点(0，0) ，
∴c=0，
5．A
解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
故选：．
6．D
解：饲养室长为，则宽为，
由题意，
解得，
则占地面积．
故选：D．
7．D
∵在点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）中，它们的横坐标分别为：-2、1、2，
∴这三个点到抛物线的对称轴直线的距离由近到远依次是点A、B、C，
又∵抛物线开口方向向下，
∴.
点睛：在抛物线上的点，当时，点距离对称轴越远其对应的函数值越大；而当时，点距离对称轴越近其对应的函数值越大.
8．D
解：∵抛物线y=x2 x 1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m2 m 1=0，
∴m2 m=1，
∴m2 m+2019=1+2019=2020.
故选D.
9．C
解：，
去括号得：，
移项得：，
即，
由函数图象可知，当时，
二次函数的图象在一次函数的图象上边，
不等式的解集为．
10．C
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是x=-=-1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①说法错误；
∵b=2a，∴②说法错误；
∵抛物线与x轴交于（1，0），对称轴是x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0），
∴9a-3b+c=0，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是x=-1，且开口向上，
∴函数最小值为a-b+c，
∴am2+bm+c≥a-b+c，
∴m（am+b）≥a-b，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，⑤说法正确；
正确的个数有3个.
故选：C．
二、填空题
11．
解：∵函数是二次函数，
∴且，
当时，
解得：，，
综上：，
∴函数解析式为，
故答案为：．
12．y＝（x+1）2﹣5
解：抛物线C1：y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），把点（2，﹣3）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后所得对应点的坐标为（-1，﹣5），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣5，
故答案为y＝（x+1）2﹣5．
13．
解：，
开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，
当时，有最小值为1，
，
当时，有最大值为，
y的取值范围为．
14．
解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴ ，即 ，
解得：．
故答案为：
15．37
解：二次函数，
抛物线开口向下，函数有最大值，
当时，米，
故答案为：37．
三、解答题
16．x增大而减小进行解答即可．
【详解】（1）解：，
该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线的开口向下，
当时，随的增大而增大．
17．（1）解：∵顶点坐标是
∴可设解析式为
把点代入得，
∴
∴
（2）解：当时，，
∴点在这条抛物线的图象上．
18．（1）解：设每次下降的百分率为a，
根据题意，得：，
解得：（舍）或，
∴每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价x元，每天盈利为W元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元
四、解答题
19．（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入上式，得，
解得，
乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）．
（2）乒乓球发球器此次发出的球无效，
由题意可知点A的横坐标为1.4，
当时，，
，
乒乓球越过了球网．
令，则，
解得，．
，
乒乓球没有落在球台上．
综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效．
20．解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示：
∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度
∴
设抛物线函数关系式为
∵抛物线经过点
∴
解得
即；
[运用模型]∵，且椅子高度，宽度
∴
解得
则的距离为2；
∵椅子数量为正整数
∴最多可摆放的椅子数量为张．
21．（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O．
∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4），
把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x；
根据题意得：0设直线OA的解析式为，
把点A（3，3）代入，得：3=3k，
解得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上，
∴P（m，-m2+4m），C（m，m），
∴PD=-m2+4m，CD= m，
∴PC=PD -CD=-m2+4m-m=-m2+3m ，
∴当时，线段PC最大，最大；值为；
（2）解：存在，理由如下：
∵C（m，m），P（m，-m2+4m），
∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，
，，
当0由（2）得：PC= PD -CD=-m2+3m，
∴，解得：或0（舍去），
∴此时；
当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m，
当OC=PC时，，
解得：或0（舍去），
∴此时点；
当OC=OP时，有OC2=OP2，
∴，
解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），
∴此时点P（5，-5），
当PC=OP时，
，
解得：m=4或0（舍去），
∴此时点P（4，0）；
综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）．
五、解答题
22．（1）解：①联立，
解得：，
一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意；
②联立，
即，
解得：，，
故②不合题意；
③联立，无解
③不符合题意；
综上所述，只有一个“二倍点”的是①
（2）①抛物线与直线只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，即．
．
．
联立与，得，．
“二倍点”的坐标为．
将代入，得．
．
，
解得．
．
二次函数的表达式为．
②存在，t的值为或．
．
①当，即时，在处y有最小值，
，
即，
解得（舍去），．
②当，即时，y的最小值为，
令，得（舍去）．
③当时，在处y有最小值，
，
解得，（舍去）．
综上所述，t的值为或．
23．（1）解：（），
的顶点坐标为，
，
的图像开口向下，
当时，水池2面积最大，为；
当（）时，（），
化简得（），
因式分解得（），
解得或，
由图像知，当或时，，
即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或；
（2）解：由（1）得，当时，，
当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，
（），，
当时，取最大值，为，
两个水池面积差的最大值为，此时；
（3）解：当水池3与水池2的面积相等时，，
整理得，
（）有唯一值，
，解得．

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