资源简介

第26章《二次函数》章节检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
3．关于二次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而减小
C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点
4．若函数是关于的二次函数，则为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上，则关于的一元二次方程的两根，判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与的符号都不确定
7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（ ）
A． B．
C．方程无解 D．
9．如图，已知点，O为坐标原点，P是线段上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线与相交于点D．当时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5 B． C．8 D．12
10．已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法：
①存在唯一的一组，，的值，使得为整式；
②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为；
③若，则满足条件的共有个．
其中正确的个数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．用配方法将函数写成的形式是__________
12．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________.
13．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________．
14．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______．
16．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，；
(1)求y与x的函数关系式；
(2)时，函数的值为多少？
18．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)填空：__________，__________；
(2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标；
19．（8分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知．
(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值．
20．（8分）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为．
(1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值．
21．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点．
(1)求点的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小．
23．（10分）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：．
(1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？
(2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表．
目前实施方案 调整方案
点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口
形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度
自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟
①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？
②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果．
24．（12分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米．
分值（分） 11 12 13 14 15
落地距离（m）
（注：落地距离包含最小值，不包含最大值）
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：）
(3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？
25．（14分）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标；
(3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A．，的最高次数为1，不是二次函数，故A不符合题意；
B．，即，的指数为，不是二次函数，故B不符合题意；
C．，的最高次数为1，不是二次函数，故C不符合题意；
D．，的最高次数为2，且，是二次函数，故D符合题意．
故选：D．
2．A
解：把代入得，
解得或，
，
．
故选：．
3．C
解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意；
∵，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意；
∵点是抛物线上的点，
∴，
当时，，
∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意；
二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得，
当时，
∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意．
故选：C
4．C
解：函数是关于的二次函数，
，且，
解方程，即，
解得或，
又∵，
，
．
5．A
因为，
所以抛物线对称轴为直线，
点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为，
因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以，
故选：A．
6．A
解：点在二次函数第一象限的图象上
在二次函数第二象限的图象上
异号，，
设，即，
即，则，
故，
，则，
由得，，
故选：A．
7．A
解：根据题意，当时，得：，
解得：或．
∴水面宽度为：（米）．
故选：A．
8．B
解：A、图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点在和之间，
当时，，即，故选项A不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线，
，
由图象可知，当时，，
，故选项B符合题意；
C、由图象可知顶点坐标为，
，
方程的解为，选项C不符合题意；
D、时函数值为最大值，
，即，选项D不符合题意．
故选：B．
9．D
解：分别过点B、D、C作于点F，于点E，于点M，

∵，
∴，
∴，
设，根据抛物线的对称性，得，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
同理②，
①+②得：，
∴，
即这两个二次函数的最大值之和等于12，
故选：D．
10．B
解：关于①，
∵为整式，，
∴设，整理得：，
∴，，
∴，整理得：，
∵，，为互不相等的正整数且不大于，
∴
∴矛盾，
∴①不正确，不符合题意；
关于②，
若，则，
∵，，为互不相等的正整数且不大于6，
∴，，
∵当取任意实数时，整式的值为非负数，
∴，则，
∴，则，
当，解得：，∴符合条件的值为：，
∴或或或，
当，解得：，∴符合条件的值为：，
∴或或，
当，解得：，∴符合条件的值为：，
∴或，
当，解得：，∴没有符合条件的值，
当，解得：，∴没有符合条件的值，
∴将所有满足条件的相加：
的系数：；
的系数：；
常数项：；
∴值为非负数的整式的和为，
∵，
∴②不正确，不符合题意
关于③，
∵，，，为互不相等的正整数且不大于6，
∴，
∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种，
∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种，
∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种，
∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种，
∴综上，满足条件的共有种，
∴③是正确的，符合题意；
∴符合题意的只有③，个数为．
故选：B．
二、填空题
11．
解：依题意，
，
故答案为：．
12．
解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到
，
即．
故答案为：
13．或
解：∵ ，
∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
设点关于对称轴直线的对称点为，
∴根据对称轴公式2，解得，
∵，抛物线开口向上：
∴当在对称轴右侧时，满足，
∴当在对称轴左侧时，满足，
∴m的取值范围是或．
14．的值为8或
解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
①当时，即时，
，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，有最大值为6，
，
解得：；
②当时，即时，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
，
（不合题意，舍去），
③当时，即时，
，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
综上所述，的值为8或．
15．4
解：∵抛物线的解析式为，
∴，
∵时，，
∴当时，，
又当时，，
∴当时，，
即，
解得：，
故答案为：．
16．
解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大．
三、解答题
17．（1）解：∵与成正比例，与成正比例，
∴设，，
∵，
∴，
将和分别代入上式，
得，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）将代入，得．
18．（1）解：把，代入，得：
，
解得；
（2）解：，
∴此抛物线的对称轴是直线，
当时，，
，
设直线的表达式为，直线交直线于点M，
把，代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
，
，，，
，
，
∵的面积等于的面积，
，
，
，
或；
19．（1）解：当时，，
．
，
，，
，，
代入到抛物线的表达式得，
解得，
抛物线的函数表达式为，
对称轴为直线．
（2）解：由（1）得，点，
由平移的性质得，点，，
将点代入函数表达式可知：
解得或（舍去）．
20．（1）解：将，，代入，
可得：，
解得：，
；
（2）解：，
抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下，
当时，函数最大值为，
当时，有最小值，最小值为，
21．（1）解：把代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
当时，，解得，则，
∵，
∴点坐标为．
（2）解：存在．理由如下：
设，
∵，
∴，
得，
当，解得，
此时P点坐标为或，
当时，方程没有实数解．
综上所述，P点坐标为或．
22．（1）解：抛物线为，
对称轴为直线．
即抛物线的对称轴为直线．
（2）解：图象经过点，把代入，则
解得：，
故抛物线解析式，
是抛物线与轴交点的横坐标，
，
解得：，
，
，
，故．
当时，，此时；
当时，，此时．
23．（1）解：由题意得，
解得，
答：用时10分钟，全部学生到达食堂．
（2）解：①设等待排队有名学生，则．
∵，抛物线开口向下，
∴当（分钟）时，（人）．
②可以达到预期效果
理由：，
可以在13分钟内完成全部出餐．
等待排队有名学生，则．
当（分钟）时，（人）
，
每个学生的排队时间不超过5分钟．
此方案可以满足预期效果．
24．（1）把点A代入抛物线，得
∴
∴抛物线的表达式为:
（2）令
解得:（不符合题意，舍去），.
∵落地距离在6.4～6.6得12分.
∴该同学得分为12分.
（3）根据题意知，抛物线的顶点为.
∴设抛物线的表达式为：
将点A代入上式，得
解得：.
∴抛物线的表达式为：.
令.
解得：（不符合题意，舍去），
∵.
∴该同学能得到15分的满分.
25．（1）解：将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴顶点坐标；
（2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示：
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴此时点E符合题意，
∵F为的中点，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
同理根据，可得直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点E的坐标为；
（3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为．

展开更多......

收起↑