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第29章《圆》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④过圆内一点可以画无数条弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．点是外一点，的半径是，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直径，弦，垂足为．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________．
12．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________．
13．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是________ m．
14．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为______．
15．某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心所在直线对称，通过测量得知，长，绣面（圆）最高点E到桌面距离为，到劣弧最高点M的距离为，则支架劣弧所在圆的半径是______．
16．如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接．
(1)求证：．
(2)连接，若，，求的长．（结果保留）
18．（8分）如图，弦和弦相交于内一点E，．
(1)求证：；
(2)若点C是的中点，，求的度数．
19．（8分）如图，在中，直径垂直弦于点E，过点D作，在直径上取点F，使，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
20．（8分）如图，是边长为的正方形的外接圆．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的扇形面积．
21．（8分）如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知．
(1)求证：；
(2)，求直径长．
22．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米．
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
23．（10分）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求所作的半径．
24．（12分）阅读理解：
(1)【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：，
，
，
，
______，（定角）
点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程。
(2)【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______．
(3)【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______．
25．（14分）如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，．
(1)求线段的长度．
(2)当点D落在线段上时，求的长．
(3)连结，求面积的最大值．
(4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离
参考答案
一、选择题
1．A
解：①长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故此说法错误；②同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此说法错误；③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故此说法错误；④过圆内一点可以画无数条弦，故此说法正确．∴正确的共1个．
2．D
解：的半径是，点是外一点，
，
只有满足，
故选：D．
3．A
解：连接，
∵I是的内心，，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．D
解：四边形内接于，
，
由圆周角定理可得：．
5．B
如图，连接，
弦，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：．
6．C
解：∵，
∴，
∵点是中中点，
∴，
故选：C．
7．B
解：如下图所示，
扇形的半径为，
，
阴影扇形的弧长是，
，
，
．
8．D
连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
9．C
解：连接，交于E，
∵沿对折O和D重合，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
10．C
解：设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M，
由正方形的面积为，得，
根据正方形的性质，得，
设，
根据题意，四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，
故直角三角形的另一条直角边的长为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
根据长度不能为负数，故舍去，
∴，
，
，
根据勾股定理，得，
故圆的面积为：．
填空题
11．
解：扇形弧长为，半径为，
扇形面积．
12．
解：的半径为，，
，即点在内，
点到上各点的最大距离为．
13．
解：如图：连接、相交于O，
由题意得，四边形为矩形，，，
，
是等边三角形，的半径是2，
，
改建后门洞的圆弧所对的圆心角为，
改建后门洞的圆弧长是（）．
故答案为．
14．
解：∵底面直径长为，
∴底面圆周长为，即展开图扇形的弧长为，
∵母线长为，
此圆锥的侧面积为．
故答案为：．
15．5
如解图，设P，Q分别为两圆圆心，连接，．
由题意可知，，，．
设，则，在中，由勾股定理得，解得，
支架劣弧所在圆的半径是5cm．
16．
解：过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
设，
∵在中，，
∴，
当在的左侧时，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
即当时，最大为：；
当在的右侧且不在直线上时，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，
令，
则，
∴当，即时，有最大值，
∴故当时，最大为，此时最大值为：；
∵
∴当时，最大为，此时最大值为：．
故答案为： ．
解答题
17．(1)证明：连接，
由题可得，
∴，均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，即半径为5，
∴．
18．(1)
证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵C是的中点，，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
设，则，
在中有，，
∴，
∴．
∴．
19．(1)
证明：连
∵直径垂直弦，
，
连接，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为．
20．（1）解：∵正方形，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴，即，
∴（负值舍去）；
（2）解：由（）得：，，
∴．
21．(1)证明：如图，连接，．
为的切线，
．
．
，
．
．
，
．
∴，
∵，
∴．
．
（2）解：，
∴．
∵，
．
，
．
∴．
，
∴，解得（负值舍去）．
．
22.（1）解：连接，
由题意得：米，米，
在中，有，解得米；
（2）解：连接．
米，
∴在中，（米），
米．
，
∴不需要采取紧急措施．
23．(1)
如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴所作的半径为．
24．（1）①，
点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，
如图1，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
，
点P在以定弦为直径的上，
如图2，连接OC交于点P，此时最小，
点O是的中点，
，
在中，，，，
，
最小值为2，
（2）如图3，连接，
点B，点M关于直线对称，
，
点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
当点M在线段上时，有最小值，
，，
，
的最小值为，
故答案为：4；
（3）①四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∴，；
②连接，交于点O，
点P在运动中保持，
点P的运动路径是以为直径的圆的，
点P的运动路径长为，
故答案为：
25．（1）解：，
在中，；
（2）解：点在线段上，，
，
如图，
在中，，，
，
；
（3）解：，，定弦定角，满足条件的动点的轨迹是圆，设圆心为，
点在以为弦的上，
如图，为的直径，过圆心作于点，延长交于点，点，，，均在上，
同弧所对的圆周角相等，
，
，
，
是等边三角形，
，
的半径为，
，
，
在中，，
，
圆上的点到的最大距离为，
面积为动点到边的距离，，
当点在点处时，面积最大，
面积的最大值为；
（4）解：如图，过点作于点，
点在的角平分线上，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）得，
又，
，
由折叠得，
设，
当点在点和点中间时，，
当点在点和点中间时，，
，
，
，
在中，，
，化简得，
，
或，
点到边的距离为或．

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