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第二十八章《旋转》章节检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角为（　　）度．
A．34 B．36 C．44 D．46
4．如图，是由旋转后得到的，下列说法正确的是（　　）

A．旋转中心不是点 B．
C．旋转方向是顺时针 D．
5．如图，在中，，；，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．有一个正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，则的值可能为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．12
7．如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（　　）
A．4 B．3 C． D．
10．如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为_____．
12．如图，将绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与，分别交于点，．若旋转角为，则边与的夹角为______度．
13．在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是_____．
14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则______度．
15．如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则___________．
16．如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转至，连接，作交于点，交于点，若，，则的长为____________．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中作出，使和关于x轴对称．
(2)直接写出点B关于点A的对称点的坐标．
18．（8分）如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：．
19．（8分）如图，在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转后得到长方形，连接、、，交于点．
(1)求的面积；
(2)求的长．
20．（8分）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
21．（8分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，．
(1)判断的形状；
(2)求证：平分．
22．（10分）中，，，将绕点A逆时针旋转后至．
(1)求的度数；
(2)若，线段与，分别交于、，求的长．
23．（10分）如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则：
(1)的度数是 ，线段，，之间的数量关系是 ．
拓展探究：
(2)如图2，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．
24.（12分）按要求完成以下问题
(1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________．
(2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值．
25．（14分）如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．
（1）观察猜想
在图1中，当点D在BC上，点E在AC上时，AE与AM的数量关系是________，∠MAE=________；
（2）探究证明
将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展应用
若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=CD时，请直接写出α的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．D
解：是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：D．
3．B
【详解】解：∵在中，，
∴，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴旋转角为36度．
4．D
解：是由旋转后得到的，
旋转中心为点A，，旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针，旋转角为，
故选：D．
5．D
解：连接，如图所示：
由旋转性质可得，
在等腰中，，则是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，则，
在中，，，则，
，
，则由勾股定理可得，
则，即点与点之间的距离为．
6．D
解：正方形绕旋转中心旋转后与自身重合，
由正多边形性质可知，当一个正边形的边数是的整数倍时，正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，
正边形满足题意，
故选：D．
7．B
解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选：B．
8．A
解：∵，，
∴，，
在中，，
∵，且轴，
∴点的坐标为，
∵，
∴每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，
∵，
∴点的坐标与点的坐标相同，
将绕点顺时针旋转，如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转可知，
，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选：．
9．B
解：连接．
∵，，，
∴．
∵点M是的中点，
∴．
∵将绕顶点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴点P是的中点，
∴，
∵，
∴的最大值为3．
故选：B．
10．D
解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点，
，
，
，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
即当点在点处时，的值最大，最大值为的长，
正方形的面积为2，
，
，
，
的最大面积是．
填空题
11．
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为： ．
12．或120
解：∵将绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，旋转角为，
∴，
又∵
∴
即边与的夹角为度或120度．
故答案为：或120．
13．
解：在正方形中，
∵对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，
∴，
将正方形沿轴向右平移3个单位长度，
∴，
故答案为：．
14．60
解：由旋转的性质得：，
，
，
，
，即旋转角为，
，
故答案为：60．
15．
解：∵正方形的边长为3，为边上一点，，
∴，，
∴，
∵绕着点逆时针旋转后与重合，
∴，，
∴,即，
∴，
故答案为：．
16．
解：如图所示，连接，
由旋转可知，，
，，，
点、、三点共线，是等腰直角三角形，
，
，
为的中点，是等腰直角三角形，
垂直平分，
，
，，
正方形的边长为，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
，，
在中，，
在中，，
，
．
解答题
17．(1)
解：如图为所求：
（2）解：如图，点是点关于点的对称点，由图可知．
18．解：∵将绕点A顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：∵在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转后得到长方形，
∴
∴
（2）解：设，
∵
∴
解得：，
即的长为．
20．(1)
证明：∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
由旋转得，，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
21．（1）解：∵绕点A逆时针旋转，
∴，，
∴为等边三角形；
(2)
证明：∵绕点A逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴平分．
22．（1）解：∵，，
∴，
由旋转知：，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
由旋转知，，，
∴，，
∴，，，
∴，
得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：∵在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；．
（2）解：，理由如下，
∵在中，，，
∴，
同（1）可证，，
∴，，
∴，
∴，即，
∵线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即，
∴．
24．（1）解：把绕顶点旋转到处，连接，此时，
∴，，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，；
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴四点共线，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
25．
（1）结论：AM=AE，∠MAE=60°．
理由：如图1中，
∵AP=PD，BP=PM，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴AM∥BC，
∴∠MAE=∠C=60°，∠MDC=∠ABC=60°
∴△MAE和△CDE为等边三角形，
∴MA=AE．
故答案为AM=AE，60°．
（2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点O，交AE于G．
∵△ABC与△CDE是等边三角形，，
∴BC=AC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD△ACE，
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∴∠ABD+∠CAE=∠CBD+∠ABD =∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠HAC +∠ABH =60°+60°=120°，
∴∠AHB=60°
∵AP=PD，BP=PM，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴AM∥BD，AM=BD，
∴∠MAE=∠BHA=60°，AM=AE，
（3）结合（1）的结论，当CD=，0°＜α＜360°时，ME=，如图3，
∴ME=，
又ME=AE，
∴△AEC为直角三角形，
∴∠ACE=60°，
∴α的值可能为60°或300°
综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．

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