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第二十九章《圆》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列有关圆的一些结论：
①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的选项是（ ）
A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤
2．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
6．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，点A，B是圆上的两点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（ ）
A． B． C． D．
9．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（ ）
A．104 B．116 C．120 D．100
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．
13．如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °．
14．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________．

“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数．
17．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，．
(1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径．
18．如图是的直径，是的弦，的平分线交于点D，，求的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，已知四边形内接于，，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
20．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题：
(1)的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
21．综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____ （填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．【问题探究】
（1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数；
【问题解决】
（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由．
23．【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
参考答案
一、选择题
1．D
解：①若三点共线，则不能确定一个圆，此结论错误；
②相等的圆心角，需在同圆或等圆中所对的弧才相等，此结论错误；
③被平分的弦若为直径，则直径不一定垂直于弦，此结论错误；
④圆内接四边形的对角互补，此结论正确；
⑤三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，此结论正确；
综上，正确的是④⑤，对应选项D．
故选：D．
2．C
解：是的直径
与所对的弧相同
．
3．B
解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
4．D
解：∵的度数为，
，
，
为中点，
．
5．B
解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
6．C
解：的长为．
7．A
解：由图知，底面直径为，母线长为，
则底面周长为，
所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积．
8．B
解：如图，过点作，交于点，交于点，
设筒车的半径为，则，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，解得，
∴筒车的直径是．
9．A
解：如图，连接、，
由题意，可知，，，
∴，
∴点C在上，
∴，
∴，
∴．
10．B
解：设的中点为，连接、，如下图：
则，
根据题意可得，，
的最大值，即是的最大值
又∵点M在以半径为2的⊙D上运动
∴的最大值
由勾股定理可得：
∴的最大值为7
∴的最大值为
二、填空题
11．
解：设此弧所在圆的半径为，
根据弧长公式，
将，代入得，
解得，
则此弧所在圆的半径是．
12．
解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：

∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为；故答案为．
13．115
解：作出弧所对的圆周角，
∵，,
∴，
∵沿着弦折叠，
∴，
14．
解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，，
纸条上下边沿平行，且，
，
由垂径定理可知，为中点，为中点，
，，
由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度，
，即，
设，则，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得，
，
水杯杯口的直径为．
15．
解：是等边三角形，
，
又等边三角形的边长为６，
∴的长，
莱洛三角形”的周长是.故答案为：.
三、解答题
16．解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度数为．
17．(1)
解：如图，即所求．
（2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆．
如图，过点作交的延长线于点．
，
，
，
，，
，
，
的最小覆盖圆的直径为．
18．解：如图，连接，
是的直径，
，
∵
∴
的平分线交于点，
，
∴=，
，
在中，，，
，
．
四、解答题
19．（1）解：四边形内接于，
．
，
．
，
是等边三角形，
，
，
．
答：的度数为．
(2)证明：如图，
在上截取，连接，
由（1）知，是等边三角形，
．
，
．
在和中，
，
．
，
是等边三角形，
，
．
20．（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵是的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
即阴影部分的面积为．
21．（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
则：，即：．
（3）解：如图：
∵，
∴，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，
∴，
∵，C是中点，
∴，
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为．
五、解答题
22．解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接，
四边形为的内接四边形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
，
即
（2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下：
如图4所示，延长至F，使，连接，
∵
∴，
从而，
又，
在中，因，，
∴，故，
从而可得，故为直径，，
即，则，
四边形周长
，
当最大时即为直径时，四边形周长最大值为
23．解：
【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示：
∵是直径，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，
∴，
设，则，
∴，，
∴．

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