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第三十章《直线与圆的位置关系》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知的直径为5，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上
C．点在外 D．无法判断
2．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
4．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三角形的内心 D．三角形的外心
5．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
9．有一道题目：“如图，是的直径，是的切线，要使直线是的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确
C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确
10．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______．
12．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________．
13．如图，，是的切线，，是切点．若，则______°．
14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______．
15．如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线．
17．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．
18．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
(1)四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
(2)若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆．
(1)求的度数
(2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长
20．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长．
21．如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，．
(1)______，求抛物线的解析式．
(2)如图1，是的中点，以点为圆心，为半径作．
①当取什么值时，恰好与两坐标轴相切．
②当取什么值时，恰好与两坐标轴有3个交点．
(3)如图2，点是抛物线第一象限上的一点，连接，，过点作轴于点，交于点，记，的面积分别为，，求的最大值．
23．在图1和图2中，是等边的外接圆．
【阅读】
如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：；
小明给出了自己的证明方法如下：
三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
，
，则为等边三角形，
同理可得：也为等边三角形，
．
【理解】
（1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________，
若的半径为1，则___________．
（2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
【应用】
（3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
解：圆的半径，点P到O的距离，
∴，
∴点P在圆外，
2．C
解：设这个正多边形的边数为n，则
，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴这个多边形是正五边形．
3．B
解：圆心到x轴的距离为，等于半径4，
则圆与x轴相切；
圆心到y轴的距离为，小于半径4，
则圆与y轴相交，
4．C
解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心．
5．B
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，
∴，
即直线在原有位置向下移动后与圆相切．
6．C
解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∴的度数为，
∵点为的中点，
∴的度数为，
∴，
由圆周角定理得：，
7．A
解：连接．
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
8．C
解：如图，连接，，交于，
六边形是的内接正六边形，
，，，
∴为等边三角形，
，，
∵，
∴，
，，
∴，
∴，
，
，
，
9．C
解：，
，
是的切线，
，
，
是的切线，
甲同学的答案正确；
不能说明，
不能说明直线是的切线，
故乙同学的答案错误；
是的直径，
，
，
，
，
直线是的切线，
故丙同学的答案正确；
综上所述，只有甲、丙同学的答案正确．
10．C
解：∵，点是矩形内一动点，
∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，
∵矩形中，，，
∴，
如图所示，取的中点，则

∴点到的最短距离为，
∴面积的最小值为，
二、填空题
11．
解：连接，，如下图，
∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵
∴，
∴这个正多边形的边数．
故答案为：．
12．24
解：和是的两条切线，
，
同理可得：，，
的周长
．
13．25
解：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：25．
14．
解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，
直径是直角边的两倍，
，
，
垂直平分，
，
，
为半径，，
为切线，
为切线，
，
；
故答案为：．
15．
三、解答题
16．
证明：连接，
∵是的直径，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
是半径，
∴是的切线．
17．解：的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴，，．
18．（1）解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，
∴∠IEC=∠IFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE=IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴，
由切线长定理可知： AE=AD，BD=BF，CE=CF，
设半径IE的长为x，则CE=CF=x，
∴AE=AD=8-x，BD=BF=6-x，
∴（8-x）+（6-x）=10， 解得x=2，
∴IE的长为2．
四、解答题
19．（1）解：，
∴的度数为．
（2）解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的长为．
20．(1)如图，点O如图所示：
(2)补全图形见（1）图，连接，如图所示
∵是圆的切线，为切点．
∴，，，
则，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得出，
即，
∴，
解得，
∴．
21.(1)证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，
∵，
,
，
∴；
（3）解：∵，
∴在中，，
结合（1）可得：，
∴．
五、解答题
22．（1）解：∵，
，
，
，
，
把，代入函数解析式得：，
解得：；
．
故答案为：；
（2）①∵，，
∴，即；
∵恰好与两坐标轴相切，
∴；
②当与坐标原点相交时，与两坐标轴有3个交点，
此时；
（3）解：，
∴设直线的解析式为：，
把代入得：，
，
设，则：，
，
，
，
∴当时，的最大值为．
23．解：（1）∵是等边三角形，
，
，
，
连接，过点O作于点D，如下图：
则，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论成立，理由如下：
延长到点E，使，连接，如下图，
∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）连接，过点C作交延长线于点M，如下图，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
由（2）知，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
连接，过点O作于点F，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
延长，
垂直平分，，
经过点A，即为边上的高，
，
∴四边形的面积．

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