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第十三章《三角形》章节测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下四个图片中的物品，没有利用到三角形的稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，是高线，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长的三角形，其中不能构成三角形的一组是（　　）
A．4、5、6 B．3、5、6 C．6、8、20 D．5、12、14
4．如图，是的一个外角，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7 B．3 C．7或3 D．8
6．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条中线交于一点
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
7．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　 　)
A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0
8．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
10．在直角三角形中，，，，点P是直线上的动点，线段的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．12 D．13
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知三角形的三边分别为n，5，7，则n的范围是 _____．
12．如图，是的外角的平分线，若，，则的度数是_________.
13．如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________．
14．如图，△ABC中，∠A=50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4=____
15．如图，将一角折叠，若，则_______．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图（1）中画的角平分线，标出点D；
(2)在图（2）中，作的边上的高．
17．如图，已知在中，是的一个外角，且，求的度数．
18．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长；
（2）能围成一条边是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由．
19．如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.
（1）若∠1=35°，求∠DAC的度数；
（2）若∠BAC=69°，求∠DAC的度数.

21．如图，在中，，分别是的高和角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)试证明：．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）．
22．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”．
解决问题：
(1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ．
Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数．
23．若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”．
(1)关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是________（填写所有正确说法的序号）；
①在中，若，，，则是“准余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
(2)如图a，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
(3)如图b，，为直线上两点，点在直线外，且．若是直线上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数________．
参考答案
一、单选题
1．D
解：由题意知，A、B、C中均利用三角形的稳定性，故不符合要求；
D中没有利用三角形的稳定性，故符合要求；
故选：D．
2．D
解：A.∵是中线，
∴，故A正确，不符合题意；
B.∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
C.∵是角平分线，
∴，故C正确，不符合题意；
D.∵和中，，但、边上的高相等，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
3．C
解：A、∵6-4＜5＜6+4，
∴以4、5、6为边长能构成三角形，不符合题意；
B、∵6-3＜5＜6+3，
∴以3、5、6为边长能构成三角形，不符合题意；
A、∵6+8＜20，
∴以6、8、20为边长不能构成三角形，符合题意；
A、∵14-5＜12＜14+5，
∴以5、12、14为边长能构成三角形，不符合题意；
故选C．
4．C
解：∵，的一个外角，
∴．
故选：C．
5．B
解：当腰是3时，则另两边是3，7，而，不满足三边关系定理，因而应舍去；
当底边是3时，另两边长是5，5，且，则该等腰三角形的底边可为3；
∴等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边为3．
故选：B．
6．C
解：A．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误；
B．三角形的角平分线是线段，故选项错误；
C．正确；
D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误．
故选：C．
7．D
∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b-c+（c-a-b）
=0．
故选：D．
8．B
解： ，分别为，的中点，
即是的中线，是的中线，
，
．
故选：B
9．B
解：中，
∵，
∴，故A正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，故C正确；
∵，
∴，
∵
∴，故D正确；
∵不一定是，故B符合题意
故选：B．
10．C
解：∵直角三角形中，，
所以点到直线的距离为，
∵点P是直线AB上的动点，
∴线段的最小值为，
故选：C．
二、填空题
11．2＜n＜12
解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜n＜7+5，即2＜n＜12
故n的范围是2＜n＜12．
故答案为：2＜n＜12．
12．
解：为的平分线，，
，
是的外角，
，
，
，
故答案为．
13．5
解：为边的中线，
，
的周长比的周长多，
，
，
，
故答案为：5．
14．260°
解:在△ABC中, ∠A=50°，
∵∠A+∠3+∠4=180°,
∴∠3+∠4=130°,
同理, ∠1+∠2=130°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=260°
故答案是:260°
15．
解：由翻折的性质可知，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
16．(1)
如图所示，线段即为所求；
(2)
如图所示，线段即为所求．
17．解：因为是的一个外角（已知），
所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
所以
解得
所以
18．解：（1）设等腰三角形的地边长为x厘米，则腰长为2x厘米，由题意得：
x+2x+2x=20，解得：x=4，
∴该等腰三角形的各边的长为8cm、8cm、4cm；
（2）由题意可分：
①当5cm为该等腰三角形的腰长时，则底边长为20-2×5=10cm，
∵5+5=10，
∴不符合三角形三边关系；
②当5cm为该等腰三角形的底边长时，则腰长为（20-5）÷2=7.5cm，
∵5+7.5=12.5＞7.5，
∴符合三角形的三边关系，
综上所述：能围成一条边是5cm的等腰三角形，其他两边长分别为7.5cm，7.5cm．
19．解：∵，，
∴在中，，
∵是的角平分线，
∴ ，
又∵是的高线，
∴，
∴．
四、解答题
20．解：（1）∵∠1=35°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠1=70°，
∴∠DAC=180°－∠4－∠3=180°－70°－70°=40°；
（2）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠1，
在△ADC中，∠DAC＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠DAC＋4∠1＝180°，
∵∠BAC＝∠1＋∠DAC＝69°，
∴∠1＋180° 4∠1＝69°，
∴∠1＝37°，
∴∠DAC＝69° 37°＝32°．
21．（1）解：∵，
∴，
∵分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴
．
五、解答题
22．（1）解：如图
连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得
，
，
又∵，
∴；
（2）解：Ⅰ． 由（1）可得，；
又∵，
∴，
故答案为：50；
Ⅱ．由（1），可得，
∴，
又∵平分平分，
∴，
∴．
23．（1）解：①解：根据题意，得，其余情况更不成立，故不是“准余三角形”；
②由是“准互余三角形”，则 ，解得，
该结论错误；
③解：根据三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”．
∴，
∴第三个内角为，
故“准互余三角形”一定是钝角三角形，正确．
故答案为：③．
(2)证明：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
（3）解：∵，，
∴，
∵是“准互余三角形”，
∴，
∴，
∴；
∵是“准互余三角形”，
∴，
解得；
∵，
∵是“准互余三角形”，
∴，
∴；
∴；
故答案为或或．

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